最抽象的數學能讓世界變得更美好嗎？

專欄作者Natalie Wolchover探討應用范疇論能否成為“綠色”數學。

來源 | Quanta Magazine及網絡公開信息

編譯 | 數學家編譯小組

校對 | 慧玲

2011年，John Baez在他的博客上寫道：“我花了很長時間探索傳統數學的水晶般純凈之美，但現在我渴望研究一些更接地氣的東西。”這位在加州大學河濱分校和愛丁堡大學兩地工作的有影響力的數學物理學家，對地球的狀況日益擔憂，并認為數學家們可以為此做些什么。

Baez呼吁發展新的數學——他稱之為"綠色"數學——以更好地捕捉地球生物圈和氣候的運作方式。就他本人而言，他試圖應用范疇論（category theory）——一個他專精的高度抽象的數學分支——來為自然世界建模。

這聽起來像是個白日夢。數學在描述簡單、孤立的系統時表現出色，但當我們從原子到有機體再到生態系統時，簡潔的數學模型通常效果遞減。這些系統實在太過復雜。

在哲學中，“感質（qualia）”指的是我們經驗的主觀特性：比如愛麗絲看到藍色時的感受，或鮑勃感到快樂時的體驗。正如已故哲學家Daniel Dennett所言，感質是“事物在我們看來呈現的方式”。在這些隨筆中，我們的專欄作者追隨他們的好奇心，探索重要但不一定有確定答案的科學問題。

但在Baez發表那篇博文后的幾年里，已有超過100位數學家加入他的行列，作為“應用范疇論者”試圖以新方式為各種現實世界系統建模。應用范疇論現在擁有年度會議、學術期刊、研究所以及由英國政府資助的研究項目。

然而，懷疑論者也大有人在。應用范疇論者Matteo Capucci告訴我：“當我說我們是弱勢群體，沒人喜歡我們時，這不完全正確，但也有一點真實。”

我開始著手了解這個新興研究領域究竟是怎么回事。一個看似最純粹的純數學分支之一，怎么可能幫助揭開像生物圈這樣復雜的系統的神秘面紗？它是否是對其他建模方法的重大改進？數學真的能是綠色的嗎？起初看來希望渺茫。

出乎意料的是，我了解到應用范疇論近來取得了一些成功。雖然應用尚未像Baez希望的那樣綠色，但該方法在包括流行病學和人工智能安全在內的關鍵領域正展現出潛力。似乎最抽象的理想化概念，有可能幫助我們更好地理解最混亂的現實。

范疇論起源于1945年，旨在形式化數學對象之間的關系，并很快發展成為一個強大且富有成果的數學分支。

我們所說的數學對象是什么意思？數字、函數和集合都是例子。對范疇論者來說，定義一個對象的是它與其他對象的關系。國際象棋中的黑王是什么？愛丁堡大學的數學家Tom Leinster說：“你可以說它是一塊木頭，被雕刻成特定的形狀并涂成黑色，但這并不重要；它也可以是一個鹽瓶。”相反，黑王是由它在棋盤上的移動方式、如何捕獲對方棋子或被對方將軍來定義的。

一個范疇（category）就是一系列對象以及這些關系（即態射（morphism））的集合。讓我們把國際象棋視為一個范疇。為此，你可以把它描繪成一個圖表，其中每個對象（合法的棋局位置）用一個小方框表示，然后用箭頭連接方框來表示態射，即可能的移動。范疇論學者研究如何映射、重疊或連接不同的范疇。

我們憑直覺都知道范疇的存在。例如，我們知道5英尺和5美元在數學上并不等同。你可以將5英尺乘以3英尺得到15平方英尺。但你不能將5美元和3美元相乘——沒有"平方美元"這種東西。你可以將5美元和3美元相加，或者將5美元乘以3（這里的3是數字，不是美元）。但5美元乘以3美元是沒有意義的。

對范疇論者來說，美元值是一個稱為一維向量空間的范疇中的對象。想象一下數軸；一個美元金額就像一根從零點開始、沿著數軸延伸一定距離的箭頭（或“向量”）。你可以通過將兩個向量首尾相接來相加，但向量相乘在一維向量空間中不是一個有效的態射。 盡管對向量空間或態射一無所知，我們卻總能在結賬時避免犯尷尬的范疇錯誤。但當概念比距離和美元更多樣、更復雜時，我們就會遇到問題。 Baez告訴我：“這在建模中經常出現，例如流行病學建模。如果你用傳統軟件編寫模型，并在程序中輸入‘35’，這并不能告訴你它是35美元、35個人還是35劑藥物。所以你把這些都混同為數字，這就更容易出錯。”

應用范疇論提供了一個框架，用對象和態射來對現實世界系統進行建模。位于伯克利的Topos研究所（致力于范疇論應用）的聯合創始人兼首席執行官Brendan Fong說：“范疇是組織邏輯結構的方法。”

物理學家Bob Coecke在2000年代將其應用于量子力學，此后又被擴展到量子計算的推理。幾年后，Baez開始思考生物圈的范疇化，而與Fong共同創立Topos研究所的數學家David Spivak則通過思考數據庫獨立開創了應用范疇論。Fong說：“David有一種強烈的愿望，想要將世界形式化并使其清晰可讀。他在世界上最討厭的事情就是溝通不暢。”

在我在線觀看的一場2022年的講座中，Spivak設想了應用范疇論在實踐中的運作方式。一位會計向應用范疇論者講述他們數據庫中的對象，比如員工和美元金額。然后，范疇論者會為該開發一個形式化模型——一個具有嚴格邏輯結構的范疇——然后可以將其連接到其他范疇（對應其他數據庫和電子表格），從而對整個公司進行建模。通過這種方式，應用范疇論成為了一種通用語言，用于描述某個龐大系統中的異質組成部分。

氣候建模——Baez最初提出的綠色數學候選之一——試圖模擬典型的龐大系統：地球本身。地球系統不同領域的專家必須以邏輯方式整合他們的知識和數據流，才能理解整體。但Baez和其他人告訴我，應用范疇論者在氣候科學中尚未取得任何立足點，部分原因是氣候模型已經足夠復雜，能夠運作，盡管它們拼接在一起的方式缺乏數學嚴謹性。數學家們認為，這種嚴謹性可以使模型更強大、更靈活，并且更能整合新信息，但推倒重來既需要說服力也需要付出努力。

愛沙尼亞塔林理工大學的Amar Hadzihasanovic說：“這是我們在應用范疇論中始終面臨的挑戰之一。我們可以去找人們，告訴他們，‘如果你能根據這些首要原則來構建你的模型，它會更好。’他們則會告訴你，‘好吧，那需要多長時間？’在你能夠獲益之前，需要巨大的投入。”

數學對解決氣候危機中政治應對不足的問題幾乎無能為力，但應用范疇論在公眾關注的其他領域則走得更遠。

例如，Baez一直在與Topos研究所和加拿大計算機科學家Nate Osgood合作，后者專攻疾病爆發的流行病學建模。在薩斯喀徹溫大學從事加拿大疫情應對工作時，Osgood對現有建模軟件不允許專家整合不同領域的知識感到沮喪。

為了預測疫情爆發將如何發展，流行病學家經常使用存量-流量圖：圖中包括人群存量（易感者、感染者、康復者、死亡者）和箭頭，箭頭根據暴露或毒力等因素顯示人群之間的流動。存量和流量就是一個范疇中的對象和態射。圖中方框和箭頭的排列可以轉化為描述系統演化的方程。

在過去幾年里，Osgood、Baez和他們的團隊開發了一個名為StockFlow的軟件包，將這類建模形式化。專家們可以對疫情爆發的不同方面進行建模，例如健康差異如何影響易感人群的感染率，而這些范疇可以組合成更大的范疇。Baez說：“范疇論能夠處理那些更復雜的組合形式。”

StockFlow尚未在流行病學家中普及，但Osgood將其教授給他的學生，希望能影響下一代建模者。Leinster說：“這是真正可以應用的東西，是正經的東西。”

與此同時，Hadzihasanovic和Capucci都是“Safeguarded AI”項目的成員，該項目由英國政府資助的先進研究與發明局（ARIA）資助，旨在將范疇論應用于人工智能安全問題。該項目的核心問題是：如何讓不可預測且容易出錯的人工智能系統值得信賴，去操作核電站或電網等關鍵現實系統？

我能看到這里的必要性，而團隊的答案很巧妙：為人工智能構建用于練習的復雜系統形式化模型。這些模型必須具有與現實系統相同的邏輯結構，正確表示許多不同類型對象之間的態射。

Capucci說：“范疇論提供了一種模塊化和組合化的方法來實現這一點。我們正在開發可以在眾多情況下部署的基礎技術。”

應用范疇論者中有一種共識：隨著系統變得越來越復雜和互聯，隨著人工智能的介入越來越深，他們的方法終將獲得回報。憑經驗行事是行不通的。Hadzihasanovic說：“這最終將是一項非常重要的工作。”

許多從業者進入這個領域是因為他們認同Baez的環境保護理念，并希望最終能處理更綠色的課題。Baez仍然抱有很高的期望。作為民謠歌手及活動家Joan Baez的表親，他深受其叔叔（Joan的父親）——一位同時也是積極參與社會活動的貴格會信徒的物理學家——的影響。他說，幫助這個世界而"不只是讓自己開心"是"融入我骨子里"的東西。

我問他，他認為范疇論能幫助我們理解生物圈的哪些方面。

在他看來，我們對生物系統的范疇劃分是不恰當的。我們誤以為它們是機器，是通過攝入物質和能量，產生期望產出和廢物的、執行特定任務的對象。Baez說：“我們只關注我們在乎的部分，而忽視了廢物和能量的來源。我們整個技術，乃至整個數學，都建立在這種態度之上。”

然而，生命系統是另一類范疇。它們并非為執行任務而構建。他說，進化使生命變得“極其微妙和復雜，其方式我們無法完全理解”。例如，基因并非機器中各有其特定目的的獨立部件；它們都有多種作用和影響。在生態系統中，沒有廢物；一個生物的排泄物是另一個生物的美餐。

“我認為我們還沒有能夠理解這類系統的數學，”Baez說，他認為對這些系統建模將涉及具有前所未研究的邏輯結構的新范疇。“這正是我想要發展的那種數學，因為我抱有一個希望：如果我們能更好地理解世界，不再將自然界視為我們機器隨意取用、以實現我們目標的原材料，那么這將有助于我們更友善地對待這個世界。我們現在抱有的那種態度正在碰壁。那種態度最終會毀滅整個星球。”

的確，如果我們能將自己和其他生物、生態系統以及氣候視為共同范疇中的對象，我們或許會更加珍視它們。

像這些數學家一樣，我也渴望在做我所熱愛的事情的同時，讓世界變得更美好。（我們不都是嗎？）從哲學角度看，我看到了應用范疇論的潛力。這種方法是否真能幫助人類或地球，時間會給出答案。但對于那些感到有召喚要去行善、也要去做數學的人來說，值得一試。

本文經授權轉載自微信公眾號“數學家”責編：。

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