保持饑渴才能持續創造，剛逝世的菲爾茲獎得主廣中平祐如是說

日本著名數學家廣中平祐（Heisuke Hironaka）于2026年3月18日逝世，享年94歲。廣中平祐是20世紀代數幾何的先驅之一，最著名的貢獻是1964年部分解決了代數簇的奇點解消問題——他證明在零特征情形下，代數簇的奇點可以通過一系列變換被系統地“消去”，并因此獲得1970年菲爾茲獎。米哈伊爾·格羅莫夫認為廣中平祐在“奇點解消問題”上的貢獻，是世界上最難得到的成果之一，在當今仍然無人能望其項背。

廣中平祐1931年4月9日生于日本山口縣，是家中15個孩子中的第7個。他成長于一個富裕的家庭，戰前父親經營著一家大型和服店和紡織廠。中學二年級開始，廣中平祐被征召到光海軍工廠勞動，學業一度中斷。他曾立志成為鋼琴演奏家和作曲家，在高中自學鋼琴，但因為起步晚，最終放棄了成為職業演奏者的念頭，此后一心熱衷于數學。1950年，他從山口縣立柳井高等學校畢業，隨后進入京都大學理學部學習，其間加入秋月康夫的研究室，后來的菲爾茲獎得主森重文也曾在這里學習。1957年，他赴哈佛大學讀博，師從代數幾何大師奧斯卡·扎里斯基（Oscar Zariski），專注于奇點消解問題，后于1960年獲得博士學位。1962年，他在家中思考時獲得關鍵靈感，構建出相關定理，并于1964年發表論文《在特征零的域上代數簇的奇點解消》。憑借這一成果，他成為第二位獲得菲爾茲獎的日本人。1964年，他受聘為哥倫比亞大學教授；1968年起任哈佛大學教授。2008 年，廣中平祐受邀成為韓國首爾國立大學教授，他的講座深深影響了后來的菲爾茲獎得主許埈珥。廣中平祐的女兒廣中惠理子（Eriko Hironaka）亦為數學家，任教于佛羅里達州立大學。

除了嚴謹深邃的數學工作，廣中平祐還積極參與數學教育工作，寫過諸多關于研究和教育的隨筆，展現出一位數學家獨特的多維度思考。由于親歷戰爭時期，他對生命與“渴望”（want）有著格外深刻的體認，也影響了他后來關于創造力的思考：多次強調真正的創造源于內在的渴望，在自由的積累與逆境的觸發中得以顯現。從廣中平祐的自傳《數學與創造》中，我們可以一窺大師的風采。

《數學與創造：廣中平祐自傳》（人民郵電出版社，2022年11月）

撰文丨廣中平祐

1

奇點解消問題

漫漫人生路上，每個人都會懷揣各種夢想闊步向前。

有的人認為自己從出生到現在幾乎沒有過像樣的夢想，但其實他們的夢想不比那些現實中擁有很多夢想的人少，只不過那些夢想隨著時光的流逝還沒來得及實現就消失了。

有的夢想微不足道，有的夢想宏偉遠大。有的夢想不會因歲月而褪色，有的夢想在未能實現的時光中像泡沫一般消失。

有的夢想似乎能立馬實現，有的夢想脫離現實，無論我們付出多少時間和汗水都無法實現。

無論怎樣，夢想是一個不可思議的東西。即使無法實現，但只要你的心中仍懷有這份夢想，它就會給你帶來生活的動力，使你的心靈變得富足。

我年輕時也擁有過這樣的夢想。

三十年前，我在讀大學三年級的時候，就下定決心走數學這條道路。我對數學中的代數幾何格外感興趣，并投入了極大的學習熱情。

代數幾何在百年前以意大利為中心發展起來。不過，它的起源可以追溯到法國哲學家、物理學家、數學家笛卡兒（1596-1650，解析幾何的創始人）。笛卡兒發明了由 X 坐標和 Y 坐標構成的坐標軸，由此，各種各樣的圖形可以變換成代數方程。反過來，隨著坐標系的發展，復雜的方程也可以轉換為圖形。代數幾何學就是以解析代數方程定義的圖形（代數簇）的結構為目的發展起來的。

用更加專業的術語來講，代數幾何學這門學問研究的是由有限個變量 x1 , x2 , …, xn 的有限個多項式所構成的聯立方程f1(x)=f2 (x)=…=fn (x)=0。

我原本非常喜歡幾何學。然而，當時的我參加了京都大學舉辦的代數幾何學研討班，在那里，代數幾何學讓我感受到了幾何與代數中都沒有的樂趣。

我第一次在京都大學研討班上接觸這個課題——奇點解消問題。當時，數學界并不是沒有奇點解消的理論。雖然任何維度的圖形都會產生奇點，但維度小于四的圖形中的奇點，其解消理論早已誕生。

然而，當時的理論還不足以稱為定理。人們普遍認為這個定理可能要很久之后才會出現，甚至懷疑是否真的存在這樣的理論。之所以這么說，是因為三維圖形的奇點解消理論給人留下一種很別扭的印象，總之十分費解，讓人覺得沒有比它更難的東西了。

三維圖形的奇點解消理論已經如此深奧，那么四維以上圖形的奇點解消理論就更加遙不可及了吧。我想這是參加研討班的同學們的共識，也是全世界數學家們的真實想法。這是一個從未有人解決過也沒人能解決的世界難題。

換一種稍帶神秘色彩的說法解釋奇點解消定理，那就是它是一種解析物體本身與其影子之間關系的理論。

用過山車軌道的例子來說明，就是該定理用于證明沒有奇點的過山車軌道本身與具有奇點的過山車軌道影子之間的關系。一旦發現這樣的定理，就能徹底消除奇點，所有影子就會與其本身如出一轍。

當時的我尚未擁有十分精湛的數學技能，也并非天賦異稟之人，所以壓根沒想著去挑戰這個問題。

十年后，也就是1962 年我完成論文《在特征零的域上代數簇的奇點解消》，并于 1964 年在美國的《數學年刊》（Annals of Mathematics）上發表。作為 20 世紀的數學定理之一，這個奇點解消定理應用廣泛，得到了很高的評價。

我用一個例子來解釋一下這個問題。

假設要建設一條連接東京和大阪的高速公路，路線中間會繞琵琶湖一圈。然而，按照這種施工要求去建設會在某地形成一個交叉點，所以我們無法在平面上建成一條沒有交叉點的高速公路。這個交叉點就是奇點。那么我們要如何消除奇點呢？

繞湖一周的道路只要采用立體交叉的方式建造就可以了。也就是說，只要增加一個高度就能解決問題。在數學領域中，這種做法叫增加參數。在平面戶型圖中，一樓和二樓的廁所錯綜復雜地重疊在一起，讓人難以區分清楚，但若加入高度這個參數，則變得一目了然。

雖然通過增加高度這個參數消除了道路本身的交叉點，但是上下兩段路落在地上的影子仍然存在交叉的地方。也就是說，盡管道路本身沒有奇點，但是它們的影子中依然存在奇點。那么，該如何消除影子中的奇點呢？這就需要不斷增加或減少參數。

這只是平面中存在的奇點問題，令人棘手的是任何維度的圖形中都會產生奇點。奇點解消的目標就是消除任意維度的圖形中產生的奇點，并證明能實現這一目的的理論。

所有現象都可以用圖來表示，經濟現象也是如此。如今經濟發展日新月異，表現出的經濟現象涉及多個方面，需要分析的參數也隨之增加，用于闡明復雜的經濟現象而制作的圖也成了多維的。如果用一張圖來表示所有的經濟現象，那么復雜的圖形中會出現很多交叉的或突出的奇點。在這種高維的圖中，如果我們對其中產生的奇點置之不理，在分析現象時就會很難進行計算，普通定律根本不奏效。在這種情況下，如果能用奇點解消定理將其轉換成沒有奇點的圖，不僅計算會變得簡單，方程也會變得容易處理。錯綜復雜的經濟現象通過若干圖表的簡單組合就能清晰地呈現出問題的內容了。

這就是奇點解消定理的應用示例之一。

最開始這個問題被無數人否定，包括當時是法國數學界的代表人物之一克勞德·夏瓦雷。

但是在法國的韋伊（A.Weil）和塞爾（J.-P.Serre），美國的扎里斯基（O.Zariski）等多位數學大師的的鼓勵下，我終于突破最后一道防線，找到了解決問題的大方向。

我的研究目標是創造一個可以解決任意維數奇點解消問題的理論。

我秉持堅韌不拔的信念，經過多次挑戰和不懈努力，終于用不同于扎里斯基教授的方法解決了任意維數的奇點解消問題。并在1970年獲得了菲爾茲獎。

2

逆境與人

人活著就要學習，學習充滿樂趣；人活著還要有所創造，創造的過程中蘊藏著在學習階段無法體會到的驚喜。它適用于任何人的人生，做學術的人更應該銘記于心。

換句話說，我認為學術界中學習的樂趣和創造的樂趣就是思考的樂趣。無論什么領域的學問，唯有獲取新的發現，有所創造，才會有它存在的意義。學問只有在“發現”和“創造”中才會產生意義。

機械地輸入輸出知識不會產生學問，也不值得我們對其進行評價。各種各樣的知識是思考的資料，而讀書則向人們提供思考的契機。

有了這樣的思想準備，知識積累起來就會變得意外輕松，讀書也不再是一件苦差事。思考時用耳朵聽、用身體感受、用眼睛閱讀，思考后忘掉此前的所見所聞也無妨。倘若以“不能遺忘”的標準來要求自己，那么在真正做學問前就會身心俱疲，沒有動力去學習了。做學問原本就沒有那么難，喜歡思考的人都可以做學問，都能體會到其中的樂趣。

這是我在自己歷經半個世紀的人生之旅中得出的結論。下面我想先談談年輕朋友們的人生。創造的動力究竟從何而來？創造背后的重要條件是什么？下面我想與大家一起來思考一下這個問題。

法國著名數學家龐加萊（Poincaré）曾說：“創造就像蘑菇。”作為一個日本人，一說起蘑菇，我立馬聯想到了松茸。也就是說，按照龐加萊的說法，松茸之類的蘑菇就是創造。

眾所周知，松茸在地表下長有菌根。在極其適宜的條件下，它的根會在生長的過程中形成圓形的蘑菇圈。然而，如果松茸的根一直處于這種適宜的條件之中，菌根就會瘋長，無法長成蘑菇，最終衰老枯萎。

據一位很懂植物的朋友介紹，有的松茸甚至可以在長達 500 年的生命歷程中只長根，不長蘑菇。那么，怎樣才能長出蘑菇呢？我們必須選取一定的時機，給發達成熟的根部施加干擾菌根生長的條件。此時的干擾條件可以是季節更替帶來溫度變化等外在的自然條件，也可以是使用松香或酸性物質等物質進行干預的人為條件。

總之，施加此類條件后，菌根為了繼續生長會在根部不斷形成孢子形態的種子，不久后便會長成松茸。

創造就像松茸。對于龐加萊說的這句話，我的解釋如下。

人若想有所創造，首先必須經歷一個積累的階段，就像松茸的根在地表下不斷生長一樣。但是，倘若一直處在積累的階段，就會像松茸無法形成蘑菇而走向枯萎那樣，注定此生與創造無緣。

在實際生活中，往往是“逆緣”給我們帶來奮勇向前的動力。“逆緣”用我們常用的詞語來表達，就是“逆境”。

3

創造與情緒

有些人會對自己的先天條件持否定態度。例如，有人感嘆，正是因為從父母那里繼承了聰明的頭腦，人生才走錯了路。相反，也有人抱怨父母的腦袋不靈光，所以自己很難成事。甚至有富家子弟覺得自己要是像二宮金次郎那樣出生在貧苦家庭，肯定會好好學習。

與之相反，有些人會積極地看待自己的先天條件，并把這些條件全都用于提升自我。

我記得松下幸之助好像在哪里說過“景氣好，不景氣更好”這樣的話。把這句話套用到人生上，就是“順境好，逆境更好”的意思。對一些人而言，無論是順境還是逆境，他們都能走向成功。

在我看來，世上的所有成功人士，都具備把逆境轉化為自己人生寶貴財富的能力。不得不承認，創造也與逆境密不可分。

我在巴黎遇到過一位學者，這一點在他的身上體現得淋漓盡致。1958 年，也就是我在哈佛大學留學的第二個年頭，學校從法國請了一位數學家過來講課。這位數學家叫亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck），在代數幾何領域，他是一位赫赫有名的大人物。當時致力于研究代數幾何的約翰·泰特（John Tate）教授在哈佛大學任教，在他的建議下，校方決定讓格羅滕迪克來美國做為期一年的特聘講師。

格羅滕迪克不是高校的教授，他是法國高等科學研究所（IHES）的研究人員。法國高等科學研究所是一個私立研究所，主要創始人是原巴黎大學的數學教授迪厄多內（Dieudonné）和酷愛數學的實業家莫查納（Motchane），經費也主要是他們兩人從商界籌集來的。當時哈佛大學看中格羅滕迪克的才華，向他拋出橄欖枝。如此能力出眾的他為何從來沒有在大學擔任過教授呢？這跟他的出身有關。

與扎里斯基教授一樣，格羅滕迪克也是猶太人，1928 年出生于德國柏林，父親是革命家，母親是記者。在第二次世界大戰期間，他被迫進入德國的收容所，16 歲時隨母親一起來到法國。受時代背景和家庭環境所限，他未接受過正經的初等教育。然而，他進入蒙彼利埃大學后，充分展現了自己的數學才能，并在后來成為菲爾茲獎得主。

格羅滕迪克是如何躲過德國納粹的圍捕逃到法國的呢？他在蒙彼利埃大學是跟隨哪位教授學習，從而挖掘出數學才能的呢？在成為法國高等科學研究所的研究人員之前，他又經歷了什么呢？對此，我幾乎一無所知，但我知道他是猶太人，而且沒有國籍。美國的大學向所有的有識之士敞開教學的大門，完全不介意教授是否有國籍，也不介意國籍是哪里，哈佛大學就是如此。但是，法國和日本很像，奉行等級森嚴的官僚制度，無國籍人士是不允許擔任大學教授的（現在似乎有所改變）。

盡管擁有聰明的頭腦和高深的研究課題，但因為自己的出身，格羅滕迪克從未當過教授。幸運的是，我在哈佛大學留學期間聽了一年他的課。

當時的格羅滕迪克將研究領域從解析幾何轉向代數幾何后，開始了徹底改寫代數幾何學基礎的工作，不斷推進概型理論的創立。

在聽課和切磋學術的過程中，我與格羅滕迪克成為好朋友。有一天他問我，等他在哈佛大學的教學任務結束以后，是否愿意與他一起回巴黎的研究所。當時格羅滕迪克對我的研究給予了很高的評價，并邀請我到法國高等科學研究所工作 6 個月。

在第二次世界大戰爆發之前，德國是研究數學的中心，戰后中心轉移到了法國。20 世紀 50 年代，法國數學稱霸整個歐洲，全世界的頂尖數學家都聚集在那里。有一種觀點認為，數學家若不具備這種國際性，就算不上真正的數學家。我自然接受了格羅滕迪克的邀請。

1959 年年底，我來到了期待已久的法國。現在的法國高等科學研究所位于巴黎郊外一個叫伊維特河畔比爾的地方，規模相當龐大。然而，當初的研究所只是租用了市內一家博物館的一層樓，研究所內僅有辦公室和教室。成員只有四人，包括創建者迪厄多內和莫查納，還有被迪厄多內發現的格羅滕迪克，以及一位秘書。

我是這個研究所的第一個外來成員。在此后的半年間，我既是研究所的成員，又是格羅滕迪克的學生。雖然僅有短暫的半年時間，但我學到了很多寶貴的東西。

格羅滕迪克是個了不起的人物，他能在數學世界中無所畏懼地進行探索。一般來說，數學家會花很長時間來選擇適合自己的研究課題，但他是一位非常豪爽、不拘小節的“怪才”，無論碰到什么課題都照單全收。他精力充沛，一天之內能寫出一二百頁的論文，并能從中迸發出新的想法。總之，他是一位非同尋常的激進型學者。

1966 年，在莫斯科召開的國際數學家大會上，格羅滕迪克被授予菲爾茲獎，他開創了代數幾何的一個新紀元。他的主要成就簡單來說就是為了嚴密地證明韋伊猜想，在代數幾何學的基礎上完全使用了上同調代數學，并提出了“格羅滕迪克同調”的新概念。我從格羅滕迪克身上認識到了數學家的多樣性，并且受到了他的影響。

同時，從格羅滕迪克對數學這門學問的態度中，我學到了無法替代的東西。

格羅滕迪克對數學的執念和熱情十分驚人。他的這種執念和熱情是從哪里來的呢？帶著這樣的疑問仔細觀察他的學術態度后，我認為這可能來自于他經歷過的讓人難以想象的逆境。

格羅滕迪克從來沒有向我傾訴過他的艱辛經歷。一是他不是這樣的人，二是即使我向他打聽，也無法真切地感受到他從德國的收容所逃到法國，沒有國籍，專心鉆研數學的殘酷經歷。

此外，對于他人眼中那些凝結著心血與汗水的艱辛經歷，他本人可能從未覺得困難和辛苦。人在對某件事著迷的時候，即使吃再多的苦，也不會覺得辛苦。雖然我的經歷完全無法與格羅滕迪克的相比，但通過我自己的經歷可以推測，他應該也不曾感到辛苦。

無論如何，我認為連續不斷的逆境最終轉化為他對數學的熱情，也許正是這一腔熱情支撐著他干勁十足地開展著創造性活動。

有人曾說，藝術家若想一直從事創造性活動，就要保持饑渴的狀態。我從格羅滕迪克這樣的數學家身上發現，這句話也適用于學術界的創造性活動。我認為學者也是如此，若不保持饑渴狀態，就無法持續地進行創造。

人們普遍認為數學這門學問與感情或熱情沒有什么關系，但按照前面所講的內容，數學的創造性活動似乎與熱情有著千絲萬縷的聯系。看上去與人的熱情無緣的自然科學，在我們創造新的理論、定律、定理時，恐怕都要大力借助這種熱情的力量。

4

欲望與需求

創造需要熱情的力量。藝術界中的創造自然不用說，各類學問的創造和日常生活中的創造也需要這種熱情的力量。那么，這股熱情具體指什么樣的感情呢？

愛迪生說過“需求是發明之母”（necessity is the mother of invention）。這句話的意思是需求會催生發明或創造。不過，“需求”這個詞語又該如何解釋呢？

“需求”在英語中主要有兩種表達方式，一種是 needs，一種是 want。雖然它們都被翻譯成“需求”，但實際上二者的意思并不相同。

從空間層面上講，needs 這個詞用于表示判斷外部情況后推斷出來的需求，從時間層面上講，用于表示以人從過去到現在所積累的經驗和形成的認知為標準推斷出來的需求。而 want 表示內部需求，從時間層面上講，表示現在和未來的需求。也就是說，want 是包含欲望和短缺等含義的“需求”。

說點題外話。我們經常在企業的宣傳冊上看到“精準捕捉消費者的需求（needs）……”之類的話，我認為這種表達方式不太恰當，因為 needs 是從過去的認知中推斷出來的，如果按照這種方針經營，那么企業可能會走向衰落。如果非要表達這種意思，我認為應該寫成“準確把握消費者之所想（want）……”。

總之，needs 是理性判斷的產物，而 want 是當下自己內心的一種執念，一種難以忍受的需求。我認為，對創造而言，needs固然不可或缺，但有時沒有 want 也是不行的。也就是說，在支撐創造性活動的背后，必須有“要是創造出這樣的東西就好了”這種原始的欲望，以及不斷探求所缺之物的執念。

我想向年輕的讀者朋友特別強調這一點。人在決定自己未來的發展方向時會有各種各樣的信息作為參考。例如，根據自己的偏差值 選擇院校和專業，或者根據職業種類選擇就職企業等。很多人就是這樣根據各種信息推斷出自己的需求，繼而決定自己的發展方向的。

但是我認為，按照這種方式做出決定的人，如果不能通過某種方法將 needs 轉換成 want，就會在實踐中遭遇挫折。總之，擁有“我想鉆研這門學問”“我想從事這項工作”的欲望是不可或缺的。

格羅滕迪克和扎里斯基教授都是那種在難以想象的逆境中保持饑渴狀態的數學家，他們取得輝煌成就的原因之一就是擁有want，這種熱情在向他們源源不斷地提供前進的動力。

總的來說，在創造的過程中需要實現飛躍。創造的東西越新穎，實現飛躍就越重要。實現飛躍必須借助內在欲望的力量。我認為，飛躍的原動力并不是 needs，而是 want。

縱觀數學史后判斷出有必要解決這個問題并不是我對奇點解消問題產生興趣的原因。也就是說，我不是因為認識到了 needs才決定去解決這個難題的。我只不過覺得發現奇點解消定理是一件很酷的事而已。可以說，我對未來數學的 want 讓我迷上了這個問題。而且，正是這種源自內在的 want，在長達八年的時間里一直支撐著我的夢想，并提供了向創造飛躍的原動力。

本文經授權節選自《數學與創造：廣中平祐自傳》（人民郵電出版社2022年11月），標題為編輯所加。

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