金觀濤：《幾何原本》蘊含的“源代碼”是？丨雙體實驗室

大家好，我是船長。

由著名古希臘數學家歐幾里得撰寫的《幾何原本》，不僅奠定了幾何學的基礎，更以其嚴密的公理化體系為后世科學提供了方法論模板，成為現代科學思維的重要源頭之一。今天，在炙手可熱的人工智能、量子計算、宇宙探索等領域的底層邏輯中，依然閃爍著兩千多年前歐幾里得幾何學的智慧。

金觀濤老師將《幾何原本》比作科學史上的“武功秘籍”，其中蘊含著現代科學分形成長的自相似原則。從牛頓的《自然哲學的數學原理》到愛因斯坦的相對論，科學家們無不延續《幾何原本》的推理方式——從幾條自明的公理出發，通過邏輯演繹構建宏大的理論體系。這種革命性的公理化方法成為現代科學的基石。

而數學真實也進一步孕育出科學真實。歐幾里得證明“素數無限”時，無需枚舉所有素數，而是通過邏輯必然性得出結論——這種超越經驗的“公理系統”真實，正是科學理論可靠性的根源。

此外，兩位老師還特別提到《幾何原本》傳入中國的曲折歷程。徐光啟在翻譯時曾驚嘆其“似至晦實至明，似至繁實至簡”，敏銳意識到中西方思維的根本差異。中國完整接受這套體系的時間差，恰恰映射了現代科學在不同文明中扎根的難度。今天我們將通過這本古老的“武功秘籍”，一窺現代科學的起源之路。

《幾何原本》中蘊含的“源代碼”

文/金觀濤

神奇的武功秘籍

歐幾里得是古希臘數學家，曾受業于柏拉圖學園，后應埃及托勒密國王邀請，從雅典移居亞歷山大，從事數學教學和研究工作。今日流傳的歐幾里得事跡大多不可考，但可以確定的是他留下的《幾何原本》。正是在該書的示范作用下，數理天文學誕生了，托勒密的《大匯編》亦成為武功秘籍的附加部分。古希臘與古羅馬文明消亡以后，《幾何原本》和《大匯編》一直保留在阿拉伯文的文獻中，直至文藝復興前幾個世紀才被再一次植入西方天主教文明。哥白尼到意大利比薩留學的時候，《大匯編》的完整版才剛被翻譯成拉丁文。牛頓力學的興起則源于這些武功秘籍的進一步放大并再次發揮作用。近代科學的代表人物——從伽利略、開普勒到牛頓，都受到《幾何原本》的影響。愛因斯坦的相對論和量子力學的背后，同樣存在歐幾里得幾何學理論的影子(見圖2)，正因如此，今天科學家把物理學理論稱為幾何式的。

圖：西方科學傳統

關于牛頓力學的建立如何源于《幾何原本》示范作用的放大，我會在后面的章節詳加分析。據說牛頓一輩子只笑過一次，這發生在他擔任盧卡斯講座數學教授期間，有一個學生問牛頓：歐幾里得的《幾何原本》是否值得一讀？這時牛頓笑了，《幾何原理》怎么會不值得一讀呢？牛頓的《自然哲學的數學原理》一書，就是仿照《幾何原本》的形式寫成的。

在科學史上，許多科學家都效仿《幾何原本》，說明自己的研究結論是如何從最初的幾個作為自明公理的假設中邏輯地推導出來的。量子力學和相對論也是如此，愛因斯坦甚至將《幾何原本》稱為“神圣的幾何學小書”，認為“這本書里有許多斷言，比如三角形的三條高交于一點，它們本身并不是顯而易見的，但卻可以很可靠地加以證明，以至于任何懷疑似乎都不可能”。

在牛津大學的一次演講中，愛因斯坦還提出：“如果歐幾里得未能激起你少年時代的熱情，那么你天生注定不是一個科學思想家。”晚年愛因斯坦在寫給好友的信中，非常清楚地說明了他對于科學理論構造的觀點，那就是科學源于公理體系(見圖2-3)。這一觀點來自歐幾里得幾何學。

圖：科學源于公理體系

正因為歐幾里得《幾何原本》中蘊含現代科學分形成長的自相似原則，在某種意義上《幾何原本》傳入另一文明并對其知識系統起到塑造作用，可以視為近代科學在該文明出現之標志，中國就是明顯的例子。據考證，該書部分內容傳入中國的時間很早，在13世紀就與阿拉伯數學一起傳入中國。但上文所說的示范作用不是指知曉其中某些內容，而是其整個思維方式。

事實上，在1607年由利瑪竇口述、徐光啟筆授的6卷本《幾何原本》中譯本出現前，中國人對這種思維模式是完全陌生的。徐光啟的譯本是根據德國人克拉維烏斯校訂增補的拉丁文《幾何原本》(15卷)譯成的，故17世紀亦被普遍視作中國最早接觸西方近代科學的時期。根據我與劉青峰的觀念史研究，這一觀點是正確的，因為它和中國用“格致”指涉西方近代科學同時發生。

更重要的是，徐光啟翻譯的只是《幾何原本》前半部分，后半部分(共9卷)由清代數學家李善蘭和英國人偉烈亞力合作譯出。這里面的200年時間差正意味著中國接受現代科學的延誤。徐光啟對《幾何原本》的評論極高，他說道：“此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。

有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前后更置之不可得。有三至、三能：似至晦實至明，故能以其明明他物之至晦;似至繁實至簡，故能以其簡簡他物之至繁;似至難實至易，故能以易易他物之至難。易生于簡，簡生于明，綜其妙在明而已。”楊振寧由此指出徐光啟清楚地明白“歐幾里得和中國學者在邏輯思考方面的基本分異”。

科學起源于數學真實

《幾何原本》屬于數學著作，現代科學起源于這一本獨特的數學書，這意味著科學真實最早被包含在數學真實中。什么是“數學真實”？我在第三編和方法篇中會給出其嚴格定義，現只做簡單說明。人們通常將數學之真歸為邏輯推理及邏輯自洽，其實，這并不正確。只要分析《幾何原本》的結構，立即可以看到這一點。《幾何原本》共有13卷，其主要內容由三部分組成：一是平面幾何與立體幾何，二是數論，三是代數方程或代數幾何(見表1)。

縱觀《幾何原本》的三部分內容，能得出如下結論：第一，《幾何原本》沒有將亞里士多德發現的三段論作為討論內容，推導方法不是重言式的形式邏輯法則，即其討論的是數學，而不是邏輯;第二，雖然《幾何原本》中存在計算，但它更關心普遍命題，其核心是數學推導;第三，由于該著作并非單純的幾何，而是由幾何學、數論、代數幾何包括普遍方程求解三部分組成，其推導方式對這些不同的領域都適用，這是一種從自明的公理推出定理或結論的“公理系統”方法。上述三個特征代表了這部武功秘籍的精神，我們可以從中了解數學真實是什么。

內容

1

定義、公設與公理；直線與三角形；平行線；面積

3

直徑、切線

4

圓、內接及外切多邊形、正五邊形問題

5

普遍比例理論

6

比例理論應用于平面幾何；二次方程通解

11

立體幾何學定義；直線形體

12

曲面面積及體積

13

五種正多面體；外接球面

7

定義；最大公約與最小公倍數；比例理論之適用；素數問題

8

級數;復比例

9

平方數、立方數、因子分解;素數數目無限定理;幾何級數和;完整數

10

無理數論；無理根分類。此為諸卷中最長者

圖：《幾何原本》書籍內容

表面上看，上述三個特征平淡無奇。其實只要稍加分析，就可以看到數學真實神奇的性質，因為它并不等同于邏輯推理以及邏輯自洽對應的真實性。也就是說，通常人們注重的“重言式類的包含及自洽”不代表數學的精神。如果沒有邏輯，我們該如何進行推理呢？《幾何原本》當然不是反對形式邏輯，雖然數學推理的每一步都包含形式邏輯，但其有效性依賴某種整體結構——公理化的推理方法，而不是重言式的形式邏輯。

早在古希臘，哲學家就知道，下述類似于三段論的推理不是基于形式邏輯：如果B的面積是A的2倍，C的面積又是B的2倍，則C的面積是A的4倍。也就是說，2X2=4不能從三段論推出，至于為什么如此，古希臘哲學家不能回答。因為其涉及自然數計算，到20世紀才知道，自然數計算不能用邏輯導出。那么數學計算是不是可以歸為經驗推理呢？也不是!為此，讓我們回到《幾何原本》的第二個特征。歐幾里得在《幾何原本》中不是以計算為中心，而是以推出普遍命題作為目標。什么是不等同于計算的普遍命題之推理？下面舉一個素數的例子。

圖：質數螺旋

素數又叫質數，它們只能被1和自身整除。由2開始，3、5、7、11、19、23這么一路延續下去，從前一個素數求出下一個素數，這是計算。但素數有多少個呢？這個問題無法由經驗計算回答，但歐幾里得在《幾何原本》已經證明了素數有無限個。自此之后，有關素數的普遍命題就成為數論研究的重要組成部分，有很多命題至今都沒有解決。

孿生素數猜想就是其中之一。所謂“孿生素數”是指兩個素數前后有差值為2，比如(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)、(29，31)、(41，43)。如果一直列舉下去，我們可以發現其分布越來越稀疏，但似乎始終存在。孿生素數猜想是：孿生素數有無窮多對，不管其分布多少稀疏。這一猜想至今都沒有得到證明。

這個例子明確反映出數學推理的性質：第一，即便現實世界中研究者用再多的計算機來算，也不可能求出所有孿生素數，即它不是經驗所能證明的；第二，只要數“數”這件事是真的，孿生素數的猜想就能被推理證明是否成立，即推出的結論也是真的。《幾何原本》蘊含一個未曾言明的前提：在數學真實的結構中，前提為真，結論就一定為真。“前提為真”往往是顯而易見的，但結論的真實性并非如此。換言之，數學真實強調真實性具有某種公理化的整體結構。

在自然數研究中發現這種不同于形式邏輯又超越出經驗之“公理系統”推理方式，似乎并不太困難。奇妙的是，這種推理方法能從自然數領域延伸運用到線段測量和圖形關系中，這才是《幾何原本》的核心觀點。也就是說，根據《幾何原本》的第三個特征，這種基于“公理系統”真實性的推理方法可以運用到所有知識系統中。

正因如此，它才是現代科學的種子，即現代科學真實起源于數學真實。為了剖析數學真實頗為奇妙的內在結構，讓我們回到歷史脈絡中，分析歐幾里得幾何學在古希臘文明中是如何形成的。

本文系摘選自《消失的真實：現代社會的思想危機》一書第二編第一章3-4兩節。為便于閱讀，部分段落做了拆分和刪減，推文標題為編者所擬，學術討論請以原文為準。文中部分配圖來源于網絡，如有侵權請聯系公眾號后臺刪除。

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內容編校：航琦

內容編排：婧婷

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