《用初等方法研究數論文選集》連載 002

《用初等方法研究數論文選集》連載 002

001.初等數論理論的最基本概念

1、無中生有0和1

正整數1、2、3……大家再熟悉不過了，從懂事起就學會了。然而，要真正理解它們并非易事。僅僅像八哥學舌般停留在表面是不夠的，只有做到真正深刻理解，并在自己的大腦中構建起一種數學思維方式，才是我們學習數學的基礎。

“無中生有”，若要理解“1”的概念，就必須先理解“0”。那么，“0”究竟是什么呢？

我們不妨先引入一個方程式：y = 1/x，其中x的定義域為除x = 0之外的所有實數。

x可以朝著兩個方向變化，即x趨近于無窮大（x→∞）和x趨近于零（x→0）。當x趨近于無窮大時，y趨近于0，但永遠不會等于0；而當x趨近于0時，y趨近于無窮大。

“無”并非絕對，它隱含于“有”之中。也就是說，我們所處的宇宙是有限的，但其外部卻是無限的；一個物體能夠被分割完畢，但不會被“分割至無”。我們所有的“從無到有”本質上都是由“有”所決定的。就如同我們的電腦程序，未開啟電腦時它處于“無”的狀態，打開電腦后它便呈現為“有”，然而決定這一切的皆是“程序”，按照道家理論，這便是“道”。

道就是一，是“無中生有”，是從 0 到 1。

什么是1？假設我們從“空虛”狀態出發，要在虛無之中創造自然數。首先，我們借助單位長度 1 開辟出一個空間，即一條無限長的數軸。在這條數軸上，每一個 1 都有其自身的位置，該位置可以用兩個參數來表示。

一個量是順序，即 0、1、2、3……（為何從 0 開始，我后面會講），它代表的是順序號；另一個量是該位置上包含數量 1 的多少，即1、2、3…，它代表的是數量。

我們在分析壓力容器的鋼板強度時，會從鋼板中選取“一個單位體積”，再運用微積分展開分析。在數學領域，我們同樣會借助“單位元”或“單位正方形”進行分析。而在物理學中，也是利用“單位”元素，即一個單位的“量”來開展分析。

上述例子充分說明了“1”的重要性。

在天文學里，地球到太陽的距離被定義為1個天文單位，光傳播一年的距離則被稱作1光年。

“1”代表著一個整體，是一個單位。在數學思維中，理解“0”和“1”極為關鍵，這是我們在大腦中構建“數學思維”的最基礎要素，也是數學的根基所在。

2、特殊形式的等差數列

等差數列這種形式的WN+A公式也是等差數列，比如2N+2,3N+2,6N+5等等。

2N+2 N=1，2，3 …… 有數列 4,6,8……

3N+2 N=1，2，3 …… 有數列 5,8,11……

6N+5 N=1，2，3 …… 有數列 11,17,23……

像2N+2 這種出現都是偶數的數列，我們叫它為偶數數列；

像3N+2 這種出現即有偶數也有奇數的數列，我們叫它為奇偶混合數列；

像6N+5 這種出現都是奇數的數列，我們叫它為奇數數列；

我們發現他們進入不同的空間后，等差數列的形式還可以細分。

古代一些一流數學家早已發現以下問題：

1. 有些等差數列能夠表示素數（“等差數列含有素數”這種表述有誤），但不清楚這些素數的數量是有限還是無限，也不明白這些等差數列中包含素數有何規律。

2. 這些等差數列的形式與代數式相同，即初等函數的直線方程。然而，不能直接用其表示“正整數”，因為不同的等差數列可能表示同一個正整數，情況不確定且混亂。

3. 是否存在方法在等差數列與函數之間搭建橋梁，直接將等差數列組轉化為函數方程組？

以上三個問題的價值遠超孿生素數猜想和哥德巴赫猜想，卻被數學家們忽視，他們將重點放在了孿生素數猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想上。

3、Ltg-空間理論

由等差數列組構成正整數的空間結構理論，簡稱Ltg-空間理論。

Ltg-空間理論的定義：

所有正整數1,2,3,…均可由一組等差數列表示，這些等差數列按序1,2,3,…構成無限空間。選定特定等差數列空間后，這個空間與其他空間自動屏蔽，其他數列不再進入這個空間，全部正整數（包括素數及合數）均獲得固定位置，并對應唯一項數N。因此，素數及合數的出現均遵循特定規律而非隨機離散發生。

設Zk為全體正整數空間，則有公式：

Zn=wN+A

其中：w表示維度，w=1,2,3…

N為各正整數對應的項數，N=0,1,2,3…

A為特定空間內等差數列的順序號，A=1,2,3…

用代數式可以這樣表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

許許多多……

在上述的每一組橫向等差數列（空間）中，每一個都可代表所有整數。一旦選定特定的空間，其他空間內的等差數列將不會進入該空間，從而實現了空間的隔離。

如下圖表示，

這個理論把等差數列與函數相連接，是等差數列與函數之間的一座橋梁。

4、簡介不同空間的分類和性質

1）初始空間

初始空間，L(1)空間，公式：Z(1)=N+1（A=1）

表格如下，

它的坐標表示法就是數軸。

它的意義在于是數量和順序的最原始概念，是素數與合數產生的原因，也就是說它就是研究0、1、2、3……的。

這個空間我們叫它：初始空間。

為何項數N從0項開始？因為自然數的初始結構就是這樣的，我們人力無法改變。這也是我與以往數學家們的思維方式的不同之處。

初始空間里的合數項數列：

通過項數N，我們可以構建出一個按順序排列的、數量無限的合數項數列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數項數列公式可以寫成，N(S) =Sn+K 的形式。

注意：這個數列得到的都是合數項，代入公式Z(1)=N+1 后才會形成“合數數列”。

這種方法是便于理論研究。

合數項公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 他們都是項數。

這是一個二元一次的曲面方程，他的解是Sn+K的直線族。

素數項公式， Ns = N-Nh 這是一個素數數量的表達式。

素數的生成公式， S =N+1 且 N ∈ P

合數素數判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必須是整數，所對應的項數N就是一個合數，否則就是一個素數。

素數在正整數中的密度，P=Ns/N

注意：其它空間都具備這些性質，都有這些公式，僅僅是表達復雜了一些。

2） L(O)空間，即偶數空間，公式 Z(O)=ON+A 。

比如，2N+A(A=1、2)，4N+A( A=1、2、3、4) 等等，就是那些空間維數k是偶數的空間。

它的表格表示法，

比如 2N+A (A=1,2)空間，

又比如 4N+A空間，

還有6N+A、8N+A、10N+A空間等等無窮多的偶數空間。

在偶數空間里面有兩類等差數列，奇數等差數列和偶數等差數列。

3）素數空間，公式Z(S)=SN+A，

比如，3N+A(A=1,2,3)空間如下圖，

其它素數和素數形成的合數是，

5k+5=5、10、15、20、25……

7k+7=7、14、21、28……

11k+11=11、22、33、44……

可以總結為：Sk+S=S(k+1)

其中，S是正整數中的全部素數，k+1是全部正整數1、2、3、4……

我們給它起個名稱叫：素數合數公式，用 R(s)表示，

即 R(s)=S（k+1） （公式 .3.6）

結論：所有由素數合數形成的數列都是奇偶數列。

4） L(J)空間，即奇數空間

像9N+A(A=1,2,3……9)，21N+A(A=1,2,3……21)等等空間。

這類空間包含了合數空間，去掉合數空間可以留下全部含素數數列。

對這部《用初等方法研究數論文選集》的說明：

以上內容便是運用初等方法對數論當中一些基礎概念所做的簡單介紹。在后續的文章里，將會針對這些概念進行更為詳盡、細致的分析。不過需要說明的是，我并非數學專業出身，所以無法以專業論文那種嚴謹、規范的形式來表達相關內容，因此后面所寫的文章都屬于科普性質的文章。

這些文章里面既包含了數論方面的知識內容，也融入了我個人在接觸和學習數論過程中的經歷。其中可能會有一些內容讓部分讀者感覺不太舒服，如果出現這種情況，還請大家多多包涵。要是您覺得自己不喜歡這類內容，那么就可以選擇不去看，也不必發表什么評論，直接離開就好。這本《數論文集選》的目的就在于普及數論方面的知識，讓更多的人能夠了解數論這一數學領域的內容。

李鐵鋼 2025年于 保定市