一個銀幣：隱藏著東西方數學故事

在微積分展區的神秘角落，

一枚古銀幣靜靜地躺著，

它看似平凡，卻大有來頭。

每一道紋理、每一個符號

都在訴說著數學發展歷程中的傳奇故事，

從微觀到宏觀、從離散到連續、

從有限到無窮的偉大思想征程，

下面是這個二進制銀幣的故事

1與0，一切數字的神奇淵源。

這是造物美妙的典范，

因為，一切無非都來自上帝。

從一枚古銀幣談起

1697年元旦，萊布尼茨寫了一封信給魯道夫·奧古斯都公爵。

寫信的同時，他贈送了一顆自己制造的銀幣給公爵，這顆銀幣的出現，真正預示著二進制的誕生。

銀幣的正面當然是公爵帥氣威風的肖像，這是為了獲得“科研經費”必須做出的妥協。

反面是一則創世故事：水面上籠罩著黑暗，頂部光芒四射……中間部分雕刻的是從1到17的二進制數學式。

考慮到公爵的智商，文筆晦澀的萊布尼茨講述了他構思的一枚題為“造化之象”的紀念幣：全能的上帝從無創造有。現在我們可以說，數字的起源是世上能最好展示和說明這種力量的事物，它以“一”和“零”或者說“無”的形式呈現，既樸素又簡練。

銀幣上面刻著十進制與二進制的對比狀態：

十進制 二進制

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

……（以此類推）

13 1101

14 1110

15 1111

16 10000

17 10001

從這一天起，現代數學意義上的“二進制”誕生了。

1

十進制PK二進制

牛頓與萊布尼茨的對話

牛頓實在是看不下去了，你丫為了騙“科研經費”，又開始忽悠領導了。

作為萊布尼茨的老對手，牛頓這次放出話來要正面KO死萊布尼茨。

老祖宗傳承下來的十進制不是用得好好的嗎？搞個二進制出來完全是制造社會混亂，混淆人類視聽，可惜英國的警察不能跨省去德國，否則早就把這廝抓回劍橋整成神經病。

我都用它推導出萬有引力來了，還有什么事情十進制搞不定？

萊布尼茨心里也正窩著火呢，PK就PK，關于微積分的事情，你丫多次“洗我的稿”還沒時間找你呢，正好一起算總賬。

PK正式開始：

牛頓：你丫憑什么說二進制比十進制更簡潔？

萊布尼茨：上帝只用二根手指就可以搞定一切。

牛頓：你確定兩根手指可以演算世間萬物？

萊布尼茨：你看看我這張東方的康熙皇帝賜予的“先天八卦圖”就明白了。

牛頓嚇了一大跳，我靠，這丫背景很硬，連東方的皇帝都搞上關系了，我得小心。

牛頓認真研究了下《萊布尼茨——二進制與伏羲八卦圖考》，作為具有大智慧的人物，牛頓恍惚有些明白，他心中怦怦直跳，萊布尼茨這丫看來又要搞大事啊。

牛頓當然不會認輸：可二進制與十進制比，在計數上沒什么太大意義。

萊布尼茨：計數上意義不大，但它具有邏輯性，“零”表示“無”，“壹”表示“有”，我的二進制不是代數運算，而是數理邏輯運算。

…………（這個有點難，牛頓花了點時間才算整明白）

牛頓：可這二進制實在太麻煩，完全沒有辦法制造機器運算。

萊布尼茨：我這個又不是給你用，我這個是給計算機準備的。

牛頓傻眼了：計算機是什么玩意兒？

萊布尼茨：說了你也不懂，那是200多年后的寶貝。

牛頓氣得口吐白沫：就不能好好說個話嗎？

萊布尼茨：沒辦法，你代表的是古典十進制，我代表的是未來的二進制。

2

為什么計算機只愛“二進制”

人類天生有十個手指，自然也就有了十進制。

在亞馬遜邊上打漁回來分食人魚，所有人伸出十個手指，基本夠用。

那數字到底怎么表述呢，人類畢竟是視覺動物。

東方的圣賢說：零一二三四五六七八九十……

西方的大哲說：one,two,three,four,five,six,seven,eight,nine,ten.....

兩者爭得不可開交時，從沙漠趕來的阿拉伯人翻譯道：還是用我們的0123456789吧。

經過上千年的折騰，人類基本達成了一致，看在真主的份上，那就用阿拉伯數字。

但到了計算機時代，計算機怎么識別0123456789呢。

偉大的馮諾依曼為這事一臉愁容，折騰了一年，才發現問題出在十進制。

這時候一個聰明人想到了：電這東西其實可以表示很多狀態，比如用電流來表示數字，0~0.9A表示0，1A表示1，2A表示2，3A表示3。想到這里，聰明人開始自我表揚了，這世界上還有難題可以擊倒我嗎？！

馮諾依曼翻了個白眼，這個還需要你提醒嗎，這畢竟是1945年，二次大戰還沒有完全結束呢，這個時候的電子元件根本無法讓電流變得非常穩定。

聰明人表示了不滿：這都控制不了，搞什么科學研究。

馮諾依曼心中有一萬匹草泥馬跑過：you can you up, no can no bb！

其實這還不是馮諾依曼最擔心的，最讓人焦慮的是圖靈提出來的“計算思想”的問題，就算用電流計算的方式表示出10個狀態，也沒有辦法讓電腦真正思考啊。畢竟電子計算機除了計數之外，還有判斷對錯的問題。

這個晚上，馮諾依曼做出一個重要的決定，根據電子元件雙穩工作的特點，在電子計算機中采用二進制。

3

二進制的計算原理

我的智商有限，讓諸葛亮先生來告訴你二進制的計算原理。

諸葛亮為了北定中原興復漢室，親自駐守西城，此時的司馬懿兵強馬壯，諸葛亮派愛將馬謖駐守街亭，與西城首尾相望。

街亭山高谷深，地勢險要，為兵家必爭之地，進可攻關中，退可守隴右。

諸葛亮叮囑馬謖：魏軍若來100人，你就點亮1盞“孔明燈”通知我，我想清楚知道魏國來了多少敵軍，我派王平和趙云做好準備，這次必將活捉司馬懿。

馬謖腦瓜兒挺機靈：丞相我懂了，若是敵人來了100個，我就放飛1盞孔明燈。若是敵人來了1000個，我就放飛10盞孔明燈。若是敵人來了10000個，我就放飛100盞個孔明燈。若是敵人來了100000個，我就放飛1000盞孔明燈。

諸葛亮差點跳起來：你以為孔明燈那么好做，放飛250盞孔明燈，你知道要多少軍費嗎？今天下三分，益州疲弊，你還這么浪費。

馬謖腦眼珠一轉：丞相我懂了，敵人來了一個，我就點亮一次，這樣的話，我就只需要1盞孔明燈了。

諸葛亮長嘆了口氣：幼常啊，你想一想，我現在快五十歲的人了，又近視得厲害，你認為我能夠看得清楚你點了多少次嗎？而且你這點來點去的，中間萬一數錯了呢？

馬謖這下傻眼了：丞相，求答案。

諸葛亮搖了搖羽毛扇：你得學學二進制，多安幾盞孔明燈，你把它們裝在街亭最高處，但注意，必須以同樣的距離排列。

馬謖完全糊涂了：丞相，什么是二進制？

諸葛亮搖了搖羽毛扇：二進制，乃天人之學也。

兩人耳語甚久，馬謖似懂非懂，最終拜服，丞相乃天人也。

諸葛亮道：現今你明白了二進制，只須排列好10盞燈，就可以將敵情準確上報。我在西城定好位置，按照定好的方位觀察亮燈的位置，就可以運籌帷幄。

0000000000，8盞燈全滅，說明無敵軍來犯。（狀態0）

0000000001，第一個位置亮了燈，來了100個敵人，你負責干掉他就行了。（狀態1）

0000000010，第二個位置亮了燈，來了200個敵人，小菜一碟，街亭無憂。（狀態2）

0000000011，第一二位置都亮了燈，來了300個敵人，也不是什么大事。（狀態3）

0000000100，第三個位置亮了燈，來了400個敵人，派出小股軍隊滅了他們。（狀態4）

0000000101，第一三位置都亮了燈，來了500個敵人，得小小注意下了。（狀態5）

諸葛亮擔心馬謖還是沒有真正地聽明白，特意給了他一張密碼對照表，按照這個密碼表，點起孔明燈就是了。

附表：

10進制編號 燈泡表示

狀態 1 0000000001

狀態 2 0000000010

狀態 3 0000000011

狀態 4 0000000100

狀態 5 0000000101

……（以此類推）

狀態 996 1111100100

狀態 997 1111100101

狀態 998 1111100110

狀態 999 1111100111

狀態 1000 1111101000

這就是二進制的基本工作原理，說實在的，確實比十進制有用多了。

4

《周易》和二進制

很多人談到二進制，就會說起中國的《周易》。

還有一些人迷信：因為白晉給萊布尼茨看了中國的先天八卦圖，萊布尼茨才創造了二進制。

在很多人眼中，中國傳統文化就是這么所向披靡，無往而不勝。

事實上，萊布尼茨在沒有看到先天八卦圖前的1697年，就已完成了論文《二進制算術》的草稿，也就是他在向公爵忽悠“科研經費”時已經完全搞定論文。古代的科學家真是非常敬業，有了成果后才好意思要經費。萊布尼茨詳盡說明了“二進制”算術原理，而且還給出了加、減、乘、除四則運算的規則。

1701年，萊布尼茨心血來潮想巴結下東方的帝王，給自己找條后路，畢竟那時候的西方世界被牛頓給統治了。他聽說康熙皇帝喜歡數學，就給在北京的法國傳教士白晉的信中，闡述了“二進制”的算術規則，并希望白晉將“二進制”介紹給康熙皇帝。收到信的白晉感覺萊布尼茨的“二進制”似乎與中國的八卦圖形有某種聯系，比如八卦中的陰爻“——”就像“二進制”中的“0”，陽爻“——”就像“1”。于是他在回信中說明了自己的這個想法，并且把一幅“伏羲六十四卦方位圖”一并寄回。這才是《周易》和二進制相遇的原因，傳教士真是個好東西。

萊布尼茨見到那張六十四卦圖已是1703年，收到東方帝王關照的萊布尼茨興奮不已，很快就在法國科學院院報上發表了自己那篇關于“二進制”的文章，題目就叫《關于只用兩個記號0和1的二進制算術的解釋——和對它的用途以及它所給出的中國古代伏羲圖的意義的評注》。

中國的八卦符號分為連續的與間斷的橫線兩種。這兩個后來被稱為“陰”、“陽”的符號，在萊布尼茨眼中，就是他的二進制的中國翻版。萊布尼茨完全是以個人的杰出才華，依靠一己之力推演出二進制。

二進制是最完美的邏輯語言

2018年，在德國圖靈的郭塔王宮圖書館里，仍然保存著一份珍貴手稿，其標題為：“1與0，一切數字的神奇淵源。這是造物美妙的典范，因為，一切無非都來自上帝。”這是天才萊布尼茨的手跡。

二進制最適合邏輯運算，它只有兩個數碼，正好與邏輯代數中的“真”和“假”相吻合。二進制兩個數碼正好與邏輯命題中的“真（True）”、“假（False）”或稱為”是（Yes）”、“否（No）”相對應。

200多年前，沒有誰明白二進制的偉大，唯有萊布尼茨一眼就洞穿數理邏輯的終極奧義，當現在回溯AI的起源時，有些人將萊布尼茨視為真正的鼻祖。

如果看到今天二進制在人類文明中所占據的位置，

萊布尼茨可以對著遙遠的東方重復他曾經說過的話：

二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言。