初等函數在定義區間內可導，則在定義區間內都能利用“先求后代”來求導數值嗎？

由于電子文檔以外部鏈接存放具有不穩定性與不可控性，為此，咱們公眾號的部分封面圖片原始高清文件和推文中明確有PDF文檔分享的電子文檔下載請通過考研競賽交流圈（點擊打開）文件或美圖分類，或相應分類標簽快速獲取。文檔上傳時間一般要晚于推文幾天，或者會集中在月底上傳。咱號不贊成積累、打印電子文檔，希望學友們通過筆記本、草稿紙，抄抄寫寫學數學！

練習

題目：設函數 , 求 的定義域 , 并判斷 在 處是否可導 , 如果可導, 求 ; 如果不可導 , 請說明理由.

【注1】感謝學友投稿，建議（一定）自己在草稿紙上動手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細參考解答（多解）參看高數、數分綜合提高練習冊，點擊推文鏈接：了解詳情！

【注2】一般考研、競賽題題目、題型很具有典型性，涵蓋的知識點基本上屬于課程、考研、大學生數學競賽必須掌握的內容，所以除了是準備全國競賽和考研是很好的資料外，對于加強課程學習、理解，打基礎，提升、強化、鞏固復習效果有很大的促進、提升作用！

【注3】數學內容推文整理分享、閱讀都不容易，費時費力更費腦！參考解答僅供參考，解答過程與思路僅代表作者對問題的理解，解答過程不一定嚴謹或完全正確，或者是最優的，希望在對照完以后，不管是題目有問題，還是參考解答過程有問題，希望學友們在文后留言不吝指出！如果有更好的解題思路與過程，也歡迎通過管理員郵箱、微信或QQ以圖片、或Word文檔形式發送給管理員，對于分享的完整思路與解答過程，管理員將盡可能在第一時間推送和大家分享，謝謝！

練習參考簡答

題目：設函數 , 求 的定義域 , 并判斷 在 處是否可導 , 如果可導, 求 ; 如果不可導 , 請說明理由.

[分析及解答]: 由于 ，故 的定義域為 . 又函數為初等函數，故在定義區間內連續、可導，即 在 內連續且可導，從而 在 處可導。

那么，對于 的值的計算是否可以采取“先求后代”(即先求導函數在求導數值)的方法來計算呢？對 求導，得

由上式可知， 在 處沒有定義，故不能采用“先求后代”的方法來求 . 那應該如何計算呢？

其實，由函數的表達式不難看到咱們熟悉的絕對值函數的初等函數描述式，即 ，對它連續性可導性的討論是以 為分界點，分區間討論來討論. 故該函數在 處可導性的討論與導數值的計算也應該考慮定義法比較合適. 于是

從而可知， 在 可導，且 .

事實上，不能利用先代后求來求函數 在 處的導數值的原因可以歸結為它不符合復合函數求導的條件，復合函數求導法則的定理如下：

定理 如果 在點 處可導，而 在點 處可導，那么復合函數 在點 處可導，且其導數為 .

而在該題中，當令 時，中間函數 在 處不可導，故不能直接應用復合函數求導法則，只能考慮定義法來求其導數值.

往期推薦閱讀

1、

2、

3、

4、

5、

6、

微信公眾號：考研競賽數學(ID: xwmath)大學數學公共基礎課程分享交流平臺！支持咱號請點贊分享！