三百年幾何猜想被推翻，數學家首次發現「穿不過去」的多面體

選自quantamagazine

作者：Erica Klarreich

機器之心編譯

想象一下，你手里拿著兩個大小相同的骰子。有沒有可能在其中一個骰子上鉆一條通道（tunnel），讓另一個骰子能從中滑過去？

你的直覺也許會告訴你「不可能吧」，如果是這樣，你不是唯一這樣認為的。17 世紀末，一位身份不明的人就此與萊茵河的魯珀特親王打了個賭。魯珀特是英王查理一世的侄子，曾在英國內戰中擔任保皇黨軍隊的指揮官。他在溫莎城堡的實驗室中度過了晚年，從事冶金和玻璃制造的研究。魯珀特贏得了這場賭局。

魯珀特親王

數學家 John Wallis 在 1693 年記述了這個故事，但并未說明魯珀特是否寫下了證明，或者真的在立方體上鉆出了那個通道。不過 Wallis 自己給出了數學證明：如果沿著立方體內部對角線的方向鉆一條直通道，這條通道確實可以足夠寬，讓另一個相同大小的立方體穿過。這是一個極其緊密的契合，如果第二個立方體只比原來大 4%，它就無法通過。

人們自然會好奇，還有哪些形狀具備這種性質。谷歌軟件工程師 Tom Murphy 表示，他在業余時間深入研究過這個問題，并稱，「我認為這個問題非常經典，它一定會被一遍又一遍地重新發現，就算是外星人也會遇到它。」

把一個立方體傾斜到角上，另一個就能穿過它。

形狀的種類太多，無法一一窮盡，因此數學家通常專注于凸多面體，即像立方體那樣具有平面表面、沒有突起或凹陷的形狀。當某種形狀在某些方向上比其他方向寬得多時，通常很容易找到一條可以讓另一個相同形狀通過的通道。但許多著名的凸多面體，例如十二面體或截角二十面體（足球的形狀）具有高度對稱性，難以分析。在這些形狀中，「幾百年來我們只知道立方體具備這種性質，」Statistics Austria 的數學家 Jakob Steininger 說。

直到 1968 年，數學家 Christoph Scriba 才證明四面體和八面體也具備這種稱為「魯珀特性質」的特征。而在過去十年中，專業數學家與業余愛好者又陸續發現，許多廣為研究的凸多面體，包括十二面體、二十面體以及足球形狀，都能找到「魯珀特通道」。

魯珀特性質似乎普遍存在，以至于數學家提出了一個普遍假設：每一個凸多面體都擁有魯珀特性質。幾乎沒人能找到例外，直到現在

諾珀特多面體（Noperthedron）。迄今為止，它是唯一一個被證明不具備魯珀特性質的形狀。

在八月的一篇論文中，Jakob Steininger 與另一位 A&R Tech 的研究者 Sergey Yurkevich 描述了一種擁有 90 個頂點和 152 個面的形狀，他們將其命名為「諾珀特多面體」（Noperthedron，名字源于 Rupert 和 nope 的組合）

他們證明，無論你怎樣在諾珀特多面體中鉆一條直通道，第二個相同的諾珀特多面體都無法穿過

• 論文標題：A convex polyhedron without Rupert’s property
• 論文地址：https://arxiv.org/pdf/2508.18475

這一證明需要理論上的突破與大規模計算機運算的結合，并依賴于諾珀特多面體頂點間一種極其微妙的性質。Steininger 表示：「它能成立簡直是個奇跡。」

穿過陰影

要理解一個立方體如何能穿過另一個立方體，可以想象你手里拿著一個立方體，放在桌面上方，從上方照射光線，觀察它在桌面上的影子。如果你讓立方體保持標準姿勢，影子是一個正方形。但如果你把其中一個角朝上指向光源，影子就會變成一個正六邊形。

1693 年，John Wallis 證明了正方形的影子可以完全嵌入這個六邊形之內，只留下極窄的邊緣。這意味著，如果讓立方體的一個角朝上，你就可以垂直鉆出一條通道，這條通道足以讓第二個立方體穿過。

大約一個世紀后，數學家 Pieter Nieuwland 發現另一種姿態可以投射出更理想的影子 —— 這種影子可以容納一個比原通道立方體大 6% 以上的立方體。

對更復雜形狀的每一次后續分析，都依賴于這樣一個過程：將形狀從不同方向旋轉，尋找一種投影（陰影）可以嵌入另一種之中。在計算機的輔助下，數學家們已經在各種形狀中找到了魯珀特通道。其中，有些契合得極其緊密，例如在一種名為「三尖四面體」（triakis tetrahedron）的形狀中，通道余量僅約為該形狀半徑長度的 0.000002 倍。史密斯學院名譽教授 Joseph O’Rourke 表示：「計算與離散幾何結合的世界已經開花結果，使得這類計算成為可能。」

那些編寫算法以尋找魯珀特通道的研究者注意到一個奇特的二分現象：對于任意給定的凸多面體，算法要么幾乎立刻就能找到通道，要么完全找不到。在過去五年中，數學家們積累了一小批尚未找到通道的「頑固」形狀。

約翰斯?霍普金斯大學的應用數學家 Benjamin Grimmer 使用臺式機連續運算了兩周，只為測試菱方截二十十二面體（rhombicosidodecahedron）。這種立方體由 62 個規則三角形、正方形和五邊形組成。「它似乎就是對任何嘗試都毫不妥協。」

菱方截二十十二面體是目前最有希望的「諾珀特」候選形狀。

但是，這種抗拒并不能證明某個形狀就是諾珀特。原因在于，形狀可以有無窮多種取向方式，而計算機只能檢查有限多種。研究者并不確定這些「頑固者」究竟是真正的諾珀特，還是只是那些魯珀特通道極難找到的形狀。

他們所知道的是，諾珀特候選者極為罕見。從去年開始，Murphy 開始構造數億種不同的形狀。這些包括隨機生成的多面體、頂點分布在球面上的多面體、具有特殊對稱性的多面體，以及他故意移動一個頂點以破壞原有魯珀特通道的多面體。他的算法幾乎能輕松地為每一種找到魯珀特通道。

這些快速成功的結果與少數頑固「候選者」的強烈對比，讓一些數學家懷疑真正的諾珀特確實存在。但直到今年八月，他們擁有的還只是猜測。

無通道

現年 30 歲的 Steininger 和 29 歲的 Yurkevich 從少年時期參加數學奧林匹克競賽時就是朋友。盡管兩人后來都離開了學術界（Steininger 獲得碩士學位，Yurkevich 獲得博士學位），但他們一直在共同探索尚未解決的數學難題。

Sergey Yurkevich（左）與 Jakob Steininger（右）。

「我們三個小時前剛吃了披薩，幾乎整頓飯都在談數學，」Steininger 在接受《量子雜志》采訪時說。「這就是我們平常的樣子。」

五年前，他們偶然看到一個展示「一個立方體穿過另一個立方體」的視頻，并立刻被吸引。他們開發了一種用于搜索魯珀特通道的算法，并很快確信有些形狀是諾珀特。

在 2021 年的一篇論文中，他們提出菱方截二十十二面體并不具有魯珀特性質。他們的研究早于 Murphy 和 Grimmer 的最新探索，因此 Steininger 自認為是第一個提出可能存在不具備這種性質的立方體工作。

• 論文標題：An algorithmic approach to Rupert’s problem
• 論文地址：https://arxiv.org/pdf/2112.13754

如果你想證明某個形狀是諾珀特，就必須排除在兩種形狀的所有可能取向下存在魯珀特隧道的可能性。每一種取向都可以用一組旋轉角度來表示，而這組角度又可以表示為高維「參數空間」中的一個點。

假設你為這兩個形狀選擇了一種取向，計算機告訴你，第二個形狀的陰影超出了第一個陰影的邊界。這就排除了參數空間中的一個點。

但你可能不僅能排除一個點。如果第二個陰影超出的部分相當明顯，那么要讓它重新進入第一個陰影，需要進行較大的調整。換句話說，你可以排除的不只是最初的取向，還包括所有鄰近的取向，也就是參數空間中整塊的區域。

Steininger 和 Yurkevich 提出了一個他們稱為「全局定理」的結果，用于精確量化在這種情況下可以排除的區域塊有多大。通過測試許多不同的點，人們可以逐步在參數空間中排除一個又一個區域塊。

如果這些區域塊覆蓋了整個參數空間，那么你就證明了該形狀是一個諾珀特。但每個區域塊的大小取決于第二個陰影超出第一個陰影的程度，而有時這種超出非常微小。

舉例來說，如果你從兩個形狀完全重合的位置開始，然后僅讓第二個形狀稍微旋轉一點，它的陰影最多只會在第一個陰影之外略微伸出一點，因此全局定理只能排除一個極小的區域塊。這些區域太小，無法覆蓋整個參數空間，這就留下了一個可能性：也許還有某個未檢查到的點對應著一條魯珀特通道。

為了解決這些小幅度重新取向的問題，兩人提出了一個與全局定理互補的結果，他們稱之為「局部定理」。這個定理處理的是在原始陰影的邊界上能找到三個滿足特定條件的頂點（或角點）的情況。例如，如果將這三個頂點連接成一個三角形，它必須包含陰影的中心點。

研究者證明，如果滿足這些條件，那么無論怎樣對形狀進行微小旋轉，都會使新的陰影至少讓其中一個頂點進一步向外延伸。因此，新的陰影無法完全落在原來的陰影之內，也就意味著不會形成魯珀特通道。如果某個形狀的陰影缺少滿足條件的三個頂點，局部定理就無法適用。而此前所有被認為可能是諾珀特的候選形狀，都至少有一個陰影存在這種問題。

Steininger 和 Yurkevich 查閱了一個包含數百個最對稱、最優美的凸多面體的數據庫，但仍找不到一個所有陰影都符合條件的形狀。于是，他們決定自己生成一個合適的形狀。

他們開發了一種算法，用于構造形狀并測試其是否具備「三頂點」性質。最終，該算法生成了「諾珀特多面體」，它由 150 個三角形和兩個規則十五邊形組成。其外觀像一個圓潤的水晶花瓶，底部和頂部都很寬。有位網友已經用 3D 打印制作出一個模型，用作鉛筆筒。

圖源：https://bsky.app/profile/fractalkitty.com/post/3lxkvjiqa2c2p

接著，兩人將取向的參數空間劃分為大約 1800 萬個微小區域塊，并測試每個區域中心點對應的取向是否會產生魯珀特通道。結果一個也沒有。隨后，他們又證明每個區域塊都滿足局部定理或全局定理，從而排除整個區域。由于這些區域塊填滿了整個參數空間，這就意味著諾珀特多面體不存在任何魯珀特通道。這就意味著，「那個被普遍認為正確的自然假設被推翻了。」

至于數學家們能否利用這種新方法構造出更多諾珀特形狀，或找到能夠處理如菱方截二十十二面體等候選者的另一種局部定理，還有待觀察。但既然數學家如今已經確認諾珀特確實存在，「我們就有了堅實的基礎去研究其他形狀了」，Murphy 說。

與此同時，Steininger 和 Yurkevich 正尋找新的問題去挑戰。「我們只是謙遜的數學愛好者，熱愛這類問題，并會一直這樣探索下去。」

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/