三百年幾何猜想被推翻，數(shù)學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)「穿不過去」的多面體

選自quantamagazine

作者：Erica Klarreich

機(jī)器之心編譯

想象一下，你手里拿著兩個(gè)大小相同的骰子。有沒有可能在其中一個(gè)骰子上鉆一條通道（tunnel），讓另一個(gè)骰子能從中滑過去？

你的直覺也許會(huì)告訴你「不可能吧」，如果是這樣，你不是唯一這樣認(rèn)為的。17 世紀(jì)末，一位身份不明的人就此與萊茵河的魯珀特親王打了個(gè)賭。魯珀特是英王查理一世的侄子，曾在英國內(nèi)戰(zhàn)中擔(dān)任保皇黨軍隊(duì)的指揮官。他在溫莎城堡的實(shí)驗(yàn)室中度過了晚年，從事冶金和玻璃制造的研究。魯珀特贏得了這場賭局。

魯珀特親王

數(shù)學(xué)家 John Wallis 在 1693 年記述了這個(gè)故事，但并未說明魯珀特是否寫下了證明，或者真的在立方體上鉆出了那個(gè)通道。不過 Wallis 自己給出了數(shù)學(xué)證明：如果沿著立方體內(nèi)部對角線的方向鉆一條直通道，這條通道確實(shí)可以足夠?qū)挘屃硪粋€(gè)相同大小的立方體穿過。這是一個(gè)極其緊密的契合，如果第二個(gè)立方體只比原來大 4%，它就無法通過。

人們自然會(huì)好奇，還有哪些形狀具備這種性質(zhì)。谷歌軟件工程師 Tom Murphy 表示，他在業(yè)余時(shí)間深入研究過這個(gè)問題，并稱，「我認(rèn)為這個(gè)問題非常經(jīng)典，它一定會(huì)被一遍又一遍地重新發(fā)現(xiàn)，就算是外星人也會(huì)遇到它。」

把一個(gè)立方體傾斜到角上，另一個(gè)就能穿過它。

形狀的種類太多，無法一一窮盡，因此數(shù)學(xué)家通常專注于凸多面體，即像立方體那樣具有平面表面、沒有突起或凹陷的形狀。當(dāng)某種形狀在某些方向上比其他方向?qū)挼枚鄷r(shí)，通常很容易找到一條可以讓另一個(gè)相同形狀通過的通道。但許多著名的凸多面體，例如十二面體或截角二十面體（足球的形狀）具有高度對稱性，難以分析。在這些形狀中，「幾百年來我們只知道立方體具備這種性質(zhì)，」Statistics Austria 的數(shù)學(xué)家 Jakob Steininger 說。

直到 1968 年，數(shù)學(xué)家 Christoph Scriba 才證明四面體和八面體也具備這種稱為「魯珀特性質(zhì)」的特征。而在過去十年中，專業(yè)數(shù)學(xué)家與業(yè)余愛好者又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)，許多廣為研究的凸多面體，包括十二面體、二十面體以及足球形狀，都能找到「魯珀特通道」。

魯珀特性質(zhì)似乎普遍存在，以至于數(shù)學(xué)家提出了一個(gè)普遍假設(shè)：每一個(gè)凸多面體都擁有魯珀特性質(zhì)。幾乎沒人能找到例外，直到現(xiàn)在

諾珀特多面體（Noperthedron）。迄今為止，它是唯一一個(gè)被證明不具備魯珀特性質(zhì)的形狀。

在八月的一篇論文中，Jakob Steininger 與另一位 A&R Tech 的研究者 Sergey Yurkevich 描述了一種擁有 90 個(gè)頂點(diǎn)和 152 個(gè)面的形狀，他們將其命名為「諾珀特多面體」（Noperthedron，名字源于 Rupert 和 nope 的組合）

他們證明，無論你怎樣在諾珀特多面體中鉆一條直通道，第二個(gè)相同的諾珀特多面體都無法穿過

• 論文標(biāo)題：A convex polyhedron without Rupert’s property
• 論文地址：https://arxiv.org/pdf/2508.18475

這一證明需要理論上的突破與大規(guī)模計(jì)算機(jī)運(yùn)算的結(jié)合，并依賴于諾珀特多面體頂點(diǎn)間一種極其微妙的性質(zhì)。Steininger 表示：「它能成立簡直是個(gè)奇跡。」

穿過陰影

要理解一個(gè)立方體如何能穿過另一個(gè)立方體，可以想象你手里拿著一個(gè)立方體，放在桌面上方，從上方照射光線，觀察它在桌面上的影子。如果你讓立方體保持標(biāo)準(zhǔn)姿勢，影子是一個(gè)正方形。但如果你把其中一個(gè)角朝上指向光源，影子就會(huì)變成一個(gè)正六邊形。

1693 年，John Wallis 證明了正方形的影子可以完全嵌入這個(gè)六邊形之內(nèi)，只留下極窄的邊緣。這意味著，如果讓立方體的一個(gè)角朝上，你就可以垂直鉆出一條通道，這條通道足以讓第二個(gè)立方體穿過。

大約一個(gè)世紀(jì)后，數(shù)學(xué)家 Pieter Nieuwland 發(fā)現(xiàn)另一種姿態(tài)可以投射出更理想的影子 —— 這種影子可以容納一個(gè)比原通道立方體大 6% 以上的立方體。

對更復(fù)雜形狀的每一次后續(xù)分析，都依賴于這樣一個(gè)過程：將形狀從不同方向旋轉(zhuǎn)，尋找一種投影（陰影）可以嵌入另一種之中。在計(jì)算機(jī)的輔助下，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)在各種形狀中找到了魯珀特通道。其中，有些契合得極其緊密，例如在一種名為「三尖四面體」（triakis tetrahedron）的形狀中，通道余量僅約為該形狀半徑長度的 0.000002 倍。史密斯學(xué)院名譽(yù)教授 Joseph O’Rourke 表示：「計(jì)算與離散幾何結(jié)合的世界已經(jīng)開花結(jié)果，使得這類計(jì)算成為可能。」

那些編寫算法以尋找魯珀特通道的研究者注意到一個(gè)奇特的二分現(xiàn)象：對于任意給定的凸多面體，算法要么幾乎立刻就能找到通道，要么完全找不到。在過去五年中，數(shù)學(xué)家們積累了一小批尚未找到通道的「頑固」形狀。

約翰斯?霍普金斯大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家 Benjamin Grimmer 使用臺(tái)式機(jī)連續(xù)運(yùn)算了兩周，只為測試菱方截二十十二面體（rhombicosidodecahedron）。這種立方體由 62 個(gè)規(guī)則三角形、正方形和五邊形組成。「它似乎就是對任何嘗試都毫不妥協(xié)。」

菱方截二十十二面體是目前最有希望的「諾珀特」候選形狀。

但是，這種抗拒并不能證明某個(gè)形狀就是諾珀特。原因在于，形狀可以有無窮多種取向方式，而計(jì)算機(jī)只能檢查有限多種。研究者并不確定這些「頑固者」究竟是真正的諾珀特，還是只是那些魯珀特通道極難找到的形狀。

他們所知道的是，諾珀特候選者極為罕見。從去年開始，Murphy 開始構(gòu)造數(shù)億種不同的形狀。這些包括隨機(jī)生成的多面體、頂點(diǎn)分布在球面上的多面體、具有特殊對稱性的多面體，以及他故意移動(dòng)一個(gè)頂點(diǎn)以破壞原有魯珀特通道的多面體。他的算法幾乎能輕松地為每一種找到魯珀特通道。

這些快速成功的結(jié)果與少數(shù)頑固「候選者」的強(qiáng)烈對比，讓一些數(shù)學(xué)家懷疑真正的諾珀特確實(shí)存在。但直到今年八月，他們擁有的還只是猜測。

無通道

現(xiàn)年 30 歲的 Steininger 和 29 歲的 Yurkevich 從少年時(shí)期參加數(shù)學(xué)奧林匹克競賽時(shí)就是朋友。盡管兩人后來都離開了學(xué)術(shù)界（Steininger 獲得碩士學(xué)位，Yurkevich 獲得博士學(xué)位），但他們一直在共同探索尚未解決的數(shù)學(xué)難題。

Sergey Yurkevich（左）與 Jakob Steininger（右）。

「我們?nèi)齻€(gè)小時(shí)前剛吃了披薩，幾乎整頓飯都在談數(shù)學(xué)，」Steininger 在接受《量子雜志》采訪時(shí)說。「這就是我們平常的樣子。」

五年前，他們偶然看到一個(gè)展示「一個(gè)立方體穿過另一個(gè)立方體」的視頻，并立刻被吸引。他們開發(fā)了一種用于搜索魯珀特通道的算法，并很快確信有些形狀是諾珀特。

在 2021 年的一篇論文中，他們提出菱方截二十十二面體并不具有魯珀特性質(zhì)。他們的研究早于 Murphy 和 Grimmer 的最新探索，因此 Steininger 自認(rèn)為是第一個(gè)提出可能存在不具備這種性質(zhì)的立方體工作。

• 論文標(biāo)題：An algorithmic approach to Rupert’s problem
• 論文地址：https://arxiv.org/pdf/2112.13754

如果你想證明某個(gè)形狀是諾珀特，就必須排除在兩種形狀的所有可能取向下存在魯珀特隧道的可能性。每一種取向都可以用一組旋轉(zhuǎn)角度來表示，而這組角度又可以表示為高維「參數(shù)空間」中的一個(gè)點(diǎn)。

假設(shè)你為這兩個(gè)形狀選擇了一種取向，計(jì)算機(jī)告訴你，第二個(gè)形狀的陰影超出了第一個(gè)陰影的邊界。這就排除了參數(shù)空間中的一個(gè)點(diǎn)。

但你可能不僅能排除一個(gè)點(diǎn)。如果第二個(gè)陰影超出的部分相當(dāng)明顯，那么要讓它重新進(jìn)入第一個(gè)陰影，需要進(jìn)行較大的調(diào)整。換句話說，你可以排除的不只是最初的取向，還包括所有鄰近的取向，也就是參數(shù)空間中整塊的區(qū)域。

Steininger 和 Yurkevich 提出了一個(gè)他們稱為「全局定理」的結(jié)果，用于精確量化在這種情況下可以排除的區(qū)域塊有多大。通過測試許多不同的點(diǎn)，人們可以逐步在參數(shù)空間中排除一個(gè)又一個(gè)區(qū)域塊。

如果這些區(qū)域塊覆蓋了整個(gè)參數(shù)空間，那么你就證明了該形狀是一個(gè)諾珀特。但每個(gè)區(qū)域塊的大小取決于第二個(gè)陰影超出第一個(gè)陰影的程度，而有時(shí)這種超出非常微小。

舉例來說，如果你從兩個(gè)形狀完全重合的位置開始，然后僅讓第二個(gè)形狀稍微旋轉(zhuǎn)一點(diǎn)，它的陰影最多只會(huì)在第一個(gè)陰影之外略微伸出一點(diǎn)，因此全局定理只能排除一個(gè)極小的區(qū)域塊。這些區(qū)域太小，無法覆蓋整個(gè)參數(shù)空間，這就留下了一個(gè)可能性：也許還有某個(gè)未檢查到的點(diǎn)對應(yīng)著一條魯珀特通道。

為了解決這些小幅度重新取向的問題，兩人提出了一個(gè)與全局定理互補(bǔ)的結(jié)果，他們稱之為「局部定理」。這個(gè)定理處理的是在原始陰影的邊界上能找到三個(gè)滿足特定條件的頂點(diǎn)（或角點(diǎn)）的情況。例如，如果將這三個(gè)頂點(diǎn)連接成一個(gè)三角形，它必須包含陰影的中心點(diǎn)。

研究者證明，如果滿足這些條件，那么無論怎樣對形狀進(jìn)行微小旋轉(zhuǎn)，都會(huì)使新的陰影至少讓其中一個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)一步向外延伸。因此，新的陰影無法完全落在原來的陰影之內(nèi)，也就意味著不會(huì)形成魯珀特通道。如果某個(gè)形狀的陰影缺少滿足條件的三個(gè)頂點(diǎn)，局部定理就無法適用。而此前所有被認(rèn)為可能是諾珀特的候選形狀，都至少有一個(gè)陰影存在這種問題。

Steininger 和 Yurkevich 查閱了一個(gè)包含數(shù)百個(gè)最對稱、最優(yōu)美的凸多面體的數(shù)據(jù)庫，但仍找不到一個(gè)所有陰影都符合條件的形狀。于是，他們決定自己生成一個(gè)合適的形狀。

他們開發(fā)了一種算法，用于構(gòu)造形狀并測試其是否具備「三頂點(diǎn)」性質(zhì)。最終，該算法生成了「諾珀特多面體」，它由 150 個(gè)三角形和兩個(gè)規(guī)則十五邊形組成。其外觀像一個(gè)圓潤的水晶花瓶，底部和頂部都很寬。有位網(wǎng)友已經(jīng)用 3D 打印制作出一個(gè)模型，用作鉛筆筒。

圖源：https://bsky.app/profile/fractalkitty.com/post/3lxkvjiqa2c2p

接著，兩人將取向的參數(shù)空間劃分為大約 1800 萬個(gè)微小區(qū)域塊，并測試每個(gè)區(qū)域中心點(diǎn)對應(yīng)的取向是否會(huì)產(chǎn)生魯珀特通道。結(jié)果一個(gè)也沒有。隨后，他們又證明每個(gè)區(qū)域塊都滿足局部定理或全局定理，從而排除整個(gè)區(qū)域。由于這些區(qū)域塊填滿了整個(gè)參數(shù)空間，這就意味著諾珀特多面體不存在任何魯珀特通道。這就意味著，「那個(gè)被普遍認(rèn)為正確的自然假設(shè)被推翻了。」

至于數(shù)學(xué)家們能否利用這種新方法構(gòu)造出更多諾珀特形狀，或找到能夠處理如菱方截二十十二面體等候選者的另一種局部定理，還有待觀察。但既然數(shù)學(xué)家如今已經(jīng)確認(rèn)諾珀特確實(shí)存在，「我們就有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)去研究其他形狀了」，Murphy 說。

與此同時(shí)，Steininger 和 Yurkevich 正尋找新的問題去挑戰(zhàn)。「我們只是謙遜的數(shù)學(xué)愛好者，熱愛這類問題，并會(huì)一直這樣探索下去。」

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/