數學里存在不可能被證明的問題嗎？

現在讓我為您奔走，我會努力做到不可能之事。

——威廉·莎士比亞，《凱撒大帝》，里加律斯對布魯塔斯所說

來源 | 《不可能的幾何挑戰：數學求索兩千年》

作者：[美] 大衛?S. 里奇森（David S. Richeson）

作者 | 姜喆

韋氏詞典對“不可能”的定義是“無法存在或出現”，但我們并不總是這么用這個詞。

我們經常用“不可能”（impossible）來代替“不大可能”（improbable）。我們用它來描述有些盡管并非完全不可能，但還是很難做到的事。如果我們把一個打亂了的魔方給一個新手，他沒辦法把它復原，因為背后的邏輯要求太復雜了，在沒有人幫助的情況下，魔方很難復原。亂擰一氣復原魔方的概率更是低之又低。

這時，我們就會說他不可能復原魔方。同樣，對于一個沒什么經驗的保齡球選手來說，他幾乎不可能打出 300 分的完美比賽 。一只猴子也幾乎不可能用鍵盤敲出莎士比亞全集。

這種“大海撈針”式的情景并非真的不可能，而是因為概率太低，就好像真的不可能一樣。（我們需要指出，某些此類場景對于任何個人來說都是沒有希望的，卻很可能在某個人身上發生，比如中彩票。）

有些事在實際上不可能，例如用手寫出 的前 位數字。有很多因素限制了我們這樣做：人類的壽命沒有長到能寫出這么多數字，而且我們還不知道 的這么多位數字。即便我們知道，宇宙中也沒有足夠的墨水和紙讓我們把它寫出來。這是不可能的。

有些事被認為在物理上不可能。如果某些想法或者行動是可能的，那么它們就會違背我們對世界的認知。它們有悖于我們相信的物理定律。永動機就是個最好的例子。存在一個無須外部能量就能永遠工作的機器聽起來過于荒唐，它違背了包括能量守恒定律在內的多個物理定律。

當然，在很長一段時間里，我們對于物理或者生物領域的認知都是錯誤的。在 4 分鐘內跑完 1 英里曾被認為是不可能的，但是羅杰·班尼斯特在 1954 年顛覆了我們的認知。載人飛行曾經也被認為是天方夜譚，但是萊特兄弟證明了這并非幻想。

當化學家們發現鉛和金是兩種不同的元素時，能點石成金的賢者之石或煉金術也就成了無稽之談。但是，粒子加速器的誕生，讓煉金術士們的夢想也變得可能，盡管并不實際。

時至今日，因為無法在現有科學框架中實現，有些事情還被認為不可能。在 18 世紀后半葉，學者們認為石頭不可能從天而降；他們認為除了月亮，不存在其他的小型天體。他們把隕石（“雷電石”）的目擊報告當作民間傳說。在 1768 年，包括年輕的拉瓦錫在內的一個三人團隊用現代化學手段研究了一塊隕石。他們的結論是，它是一束閃電擊中富含黃鐵礦的砂石的產物。

1807 年，美國耶魯大學的兩位教授發表了一篇論文，論述了一塊落在康涅狄格州韋斯頓鎮的隕石。出于懷疑，（受過科學教育的）時任總統托馬斯·杰斐遜聲稱：“他們可能是正確的，但對于我來說，比起石頭從天而降，還是兩位洋基教授撒謊更有可能。”這則逸聞廣為流傳，不過未必真實，至少存在添油加醋的可能。不過它的確反映了當時人們的看法。

有些事情被認為不可能，則是因為人們不夠創新或是過于短視，想象不到它們如何成真。如果我們向 19 世紀的人描述現代的計算機技術，他們一定會說，這樣的機器是不可能存在的。在 20 世紀 50 年代時，簡單（以今天的標準來看）的計算機也要占據整個房間。如果我們對 50 年代的人說，現如今我們把更強大的計算機放在口袋中或者手腕上，他們肯定會懷疑地搖頭，說這不可能。

01

數學上不可能

某事在數學上不可能是指什么呢？我們又如何證明它不可能呢？

讓我們來看看不可能性定理的一個簡單例子。這個例子是有關偶數的，比如 0、8、- 102 等。我們都知道偶數是什么，但為了在數學中運用偶數，我們必須清楚明白地定義它們：如果存在整數 ，使得 ，則 是偶數。因為 0 = 2·0，8 = 2·4，-102 = 2(-51)，所以它們都是偶數。

我們可以用這個定義和整數的性質來證明一個我們都知道的定理：兩個偶數的和不可能為奇數。證明如下：設 和是偶數，則存在整數和，使得，。那么。因為整數的和還是整數，所以是整數。因此是偶數。一個整數不可能既是偶數又是奇數，所以我們的不可能性定理得證。

我們從這個例子中能學到幾件事。正如存在無窮多偶數一樣，用尺規可以作無窮多的圖形。我們不必檢查所有可能的和來證明上述定理，只需要整數和偶數的一般性質來證明它。同樣，可以用直線和圓的一般性質來證明我們的不可能性定理。

此外，如果我們只有偶數，那么它們的和也總是偶數。無論用什么順序，加了多少個偶數，我們永遠也不會“離開”偶數的集合并得到一個奇數。我們的和不會是 257 或者 1301，這不可能。我們將會看到，這和第 1 章提到的可作圖數的集合類似；如果對可作圖數進行特定的算術運算，我們只會得到其他可作圖數。

偶數相加的例子可能看起來太簡單了（盡管并非如此），并且可能有點兒牽強。因此，我們現在要來看一個更有趣一點兒的不可能性的例子。這次，我們的證明還是關于奇數和偶數的集合的。

02

薩姆·勞埃德的無解之謎

1880 年，就像一個世紀之后的魔方那樣，一個機械智力游戲風靡美國。這個機械游戲就是 15 - 數字推盤游戲。時至今日，我們仍能找到它的身影。游戲的目標是通過在一個 4×4 的板中上下左右滑動 15 個有編號的方塊，來讓它們按編號順序排列好。

那個時候，著名的美國智力游戲設計師薩姆·勞埃德懸賞 1000 美元（約合現在的 25 000 美元）求解他的15 - 數字推盤游戲。勞埃德的游戲和一般游戲相差無幾，但它的初始方塊配置很特別：方塊按數字順序排列，但是 14 和 15 是反過來的（圖 2.1）。

圖 2.1　薩姆·勞埃德的 15- 數字推盤游戲（圖文：謎題大陸的 14-15 謎題）（S. Loyd, 1914,《薩姆·勞埃德的智力游戲百科》，紐約：Lamb 出版社）

勞埃德可不是亂花錢的人。他知道自己永遠不用付錢，因為在 1879 年，兩名數學家證明了這樣的初始配置是不可解的。讓我們來看看為什么。

要解決 15 - 數字推盤游戲，我們必須把編號按從左到右、從上到下的順序用線連起來。從結果來說，為了讓證明更簡單，我們需要改變勝利條件：方塊的編號需要按蛇形排列——第一行從左到右，第二行從右到左，第三行從左到右，第四行從右到左。不過我們不會改變游戲規則。相對地，可以想象成我們把新的編號貼到了方塊上——把 8 貼到 5 上，把 7 貼到 6 上，以此類推（圖 2.2）。

圖 2.2　重新編號的 15- 數字推盤游戲

假設我們拿到了一個打亂順序的 15 - 數字推盤游戲，如圖 2.3 所示。我們把編號拿出來，然后按蛇形順序列出，并且跳過空格。在這個例子中，這個列表是 2、13、5、1、4、12、11、10、3、14、15、6、9、7、8。對于表中的每個數字，我們都記錄它右邊的數中有多少個比它小。2 的右邊只有 1 個比它小的數，13 的右邊有 11 個數比它小，以此類推。然后我們把這些數加起來，得到的和是 44。也就是說，一共有 44 對方塊按錯誤的順序排列了，這也被叫作逆序對。最終的答案中應該沒有逆序對。表 2.1 列出了我們的例子中的逆序對。

圖 2.3　一個打亂順序的 15- 數字推盤游戲

表 2.1　我們的 15- 數字推盤游戲中的逆序對

現在我們把一個方塊推入空格，然后看看逆序對有什么變化。如果把一個方塊向左或者向右推入空格，比如例子中的 14 或者 15，那么序列沒有改變，因此逆序對的數量也不變。如果我們在蛇形排列換行的地方把一個方塊上移或者下移，序列也不會改變。

如果我們在其他地方上移或者下移方塊，逆序對的數量就會改變了。但是這不會影響所有的方塊，這樣的一步只會影響到 3 個、5 個或者 7 個方塊。這取決于空格的位置，以及究竟是哪個方塊被推進了空格。只有這幾個方塊的逆序對會被影響。

如果我們下移 12，它就被挪到了 14 和 15 之間。所以它只會影響 12、11、10、3 和 14。注意，12 比 11、10 還有 3 都大，但是小于 14。所以，當它被移走之后，它的逆序對數量減少了 3，但 14 的逆序對數量增加了 1。

這樣，總逆序對數量就減少了 2，變成了 42。同樣，如果我們把 9 上移，序列會從 15、6、9 變成 9、15、6。因為 9 比 6 大，比 15 小，它的逆序對數量會增加 1，15 的逆序對數量會減少 1。因此，總的逆序對數量保持不變，如表 2.2 所示。

表 2.2　移動方塊 12 和方塊 9 之后的逆序對情況

通常，垂直移動會影響
個方塊，其中可能是 2、4 或者 6。我們移動的方塊比剩下的個方塊中的個小，比個大。如果我們下移方塊，總的逆序對數量變化就是；如果我們上移方塊，這個變化就是。這個變化量無關緊要，重要的是這些數都是偶數。

所以，每次移動之后，逆序對總數的奇偶性保持不變——原來是奇數的還會是奇數，原來是偶數的也還會是偶數。如果初始配置有偶數個逆序對，那么這個和在游戲中一直都會是偶數。我們不可能通過移動方塊來讓這個和變成奇數。同樣，如果和開始是奇數，那么它也一直都會是奇數。

我們再來考察勞埃德謎題。他把 14 和 15 調換了順序。在我們重新編號的例子中，調換了順序的方塊是 13 和 14。正如我們在表 2.3 中看到的，勞埃德謎題中逆序對數量是 1，而 1 是個奇數。但游戲目標是讓方塊按數字順序排列，目標排列的逆序對數量是 0，而 0 是個偶數。因為游戲中逆序對數量的奇偶性不變，所以我們不可能解開勞埃德謎題并拿走 1000 美元！

表 2.3　勞埃德謎題中逆序對的數量和目標排列中逆序對數量的奇偶性不同

03

基本法則的重要性

規則決定一切。如果沒有規則，那么不可能也會變成可能。看看德·摩根和達德利遇到的化圓為方者和三等分角者就知道了！在數學中，公理和定義就是基本法則。它們包括在具體問題或者定理陳述中用到的假設，也包括那些使我們得以構建堅實數學證明的邏輯規則。如果我們忽略或者改變它們，就有可能完成先前被認為不可能的任務。

如果在我們的偶數例子中可以使用除法，就能從偶數獲得奇數（14÷2=7 是一個奇數）。這樣，不可能也成了可能。類似地，在給定規則下，勞埃德的 15 - 數字推盤游戲是無解的。但如果我們能把方塊拿出來，然后重新組裝，那它就是可解的。

許多小孩子（和他們的家長）都曾用這種方法“復原”過魔方。數學中也存在這種類型的例子。歐幾里得證明了三角形內角和是 180°。因此，不可能作一個內角和是其他數值的三角形。但是在 19 世紀，數學家們意識到，如果可以修改規則并且改變歐幾里得的公設，他們就能創造出全新的、自洽的非歐幾何體系。

這些幾何體系具有奇怪的表現。例如，三角形內角和可能不是 180°。在圖 2.4 左圖中，我們會看到球面上的一個三角形（三邊均為大圓上的弧）。這個三角形的三個角均為 90°，所以它的內角和是 270°，比 180°要大。在右圖中，我們會看到一個馬鞍形曲面上的三角形。這個三角形的內角和小于 180°。因此，如果改變規則，我們就能化不可能為可能。

圖 2.4　三角形內角和有可能大于（左）或小于（右）180°

這本書中的很多地方都將討論，如果我們能改變規則會怎樣——可能是使用額外的工具，也可能是舍棄一些工具，又或者是做一些完全不同的事情。然后我們將探究改變規則后又可以作什么圖，尤其是，要解決古典問題需要做什么。

最后是一個警告：我們不能過分自信。我們確實可以肯定地說某事在數學上不可能，但是不能錯誤地認為這樣的論證也適用于生活中的其他地方。1903 年 10 月 22 日，在萊特兄弟于北卡羅來納州小鷹鎮成功飛行還不到兩個月前，約翰霍普金斯大學的數學教授西蒙·紐康（1835—1909）寫了如下文字：

今天的數學家承認他們無法化圓為方、倍立方或者三等分角。類似地，我們的機械師們，會不會也最終被迫承認，在空中飛行也是人類永遠無法解決的那一大類問題之一，并且不再嘗試解決它？

04

閑話　九個不可能性定理

只要樂于鉆研，精于實踐，我們立刻就能克服困難，只要再多一點時間，就能超越認知。 ——美國阿靈頓國家公墓外海蜂（美國海軍工兵營）紀念碑碑文

數學中一些最偉大的定理就是關于不可能性的定理。這里我們將介紹其中最著名的九個定理。

（1） 是無理數。傳說，梅塔龐托的希伯斯（活躍于公元前 5 世紀）是畢達哥拉斯（約公元前 570—約公元前 495）的一個追隨者。他因為證明正方形的邊和對角線不可公度而讓他的同僚震怒。用今天的術語來說就是，他證明了 是無理數。也就是說，我們無法找到整數 和 ，使得 。我們會在第 4 章深入討論這一發現。

（2）費馬大定理。1637 年，皮埃爾·德·費馬（1601 或 1607— 1665）在他的一本書的空白處寫下了這句著名的話：“不可能把一個立方數分為兩個立方數，或是把一個四次冪分為兩個四次冪。更一般地，不可能把一個高于二次的冪分為兩個同次冪。關于此，我發現了一種美妙證法，但這里空白太小，沒法寫下。”換句話說，如果 是一個整數，那么 沒有正整數解。這個結論被稱為費馬大定理。超過三個半世紀以來，人們都無法證明它。直到 1994 年，秘密研究了 7 年的安德魯·懷爾斯才終于證明了費馬大定理。

（3）哥尼斯堡七橋問題。18 世紀中葉，普魯士城市哥尼斯堡有七座跨越普列戈利亞河的橋（圖 T.3）。當地居民在閑暇時，就會尋找一條走過每座橋剛好一次，并最終回到起點的散步路線。這一游戲被萊昂哈德·歐拉（1707—1783）得知，他在 1735 年證明了不存在這樣一條路線。歐拉的方法如今被認為是圖論領域的開端。

圖 T.3　不能同時經過哥尼斯堡的七座橋的路線

（4）五次方程無根式解。二次方程的求根公式算得上是高中代數課內容的巔峰了。它為求方程 的兩個根提供了一種簡單的計算方法。公式如下：

盡管復雜得多，三次方程和四次方程的根也有類似的表達方式。但是，五次或更高次方程的根無法用這樣的公式來計算。特別是，多項式 有一個實數根，大約是 - 1.673 04，但我們無法用整數、四則運算以及開方來表達這個數。尼爾斯·阿貝爾（1802—1829）在 1824 年給出了這個不可能性定理的第一個完整證明。

（5）連續統 不可數。我們有十根手指。我們知道這一點，因為手指和集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 中的元素可以一一對應起來。小孩子就是這樣數手指的。格奧爾格·康托爾（1845—1918）推廣了這一概念——用來數無窮集。如果一個集合能和正整數集 {1, 2, 3,…} 一一對應，那么我們稱該集合可數無窮。整數、偶數、質數都是可數無窮集。最令人驚訝的是，有理數也是可數無窮的。但是康托爾證明了不是所有無窮集都是可數的，更大的、不可數的無窮是存在的。他證明了正整數和實數之間不存在一一對應的關系。這一發現震驚了數學界。如今它被認為是數學史上最重要的成果之一。它也是下面第 6 和第 9 個定理的核心所在。

（6）停機問題。任何寫過簡單計算機程序的人都知道，存在無限循環無法停止的程序。它可能只是個重復打印簡單文字（“Hello world! Hello world! Hello world!...”）的程序，也可能是程序中的一個難以察覺的漏洞。當用戶輸入預想之外的內容時，這個漏洞就會導致程序進入無限循環。要是有個計算機程序能判斷另一個計算機程序對于特定輸入會不會無限循環不是挺好的嗎？不幸的是，這樣的程序并不存在。1936 年，艾倫·圖靈（1912—1954）證明了這個不可能性定理。該問題現在被稱作停機問題。

（7）阿羅不可能性定理。有很多著名的選舉被“第三方攪局者”影響。假設候選人 和一對一角逐的話，會獲勝，甚至可能大勝。但如果與有著類似政見的候選人參加選舉，某些本來會投的人就會投，那么這反而會讓贏得選舉。所以不是因為更受歡迎而勝選，而是因為多數投票沒辦法很好地適用于有三名候選人的情況。我們也有其他的投票機制，比如同意投票或者排序復選制等。每種投票機制都有其利弊。沒有一種投票機制是完美的。1950 年，經濟學家肯尼斯·阿羅（1921—2017）研究了排序投票制。在排序投票中，每位投票人對于候選人都有一個喜好排序。系統最后會得出一個總的候選人排名。阿羅給出了幾個公平的投票機制應該具有的常識性的標準。他隨后證明了不存在滿足所有標準的完美投票機制。

（8）平行公設。歐幾里得用一些定義、五條公理和五條公設證明了《幾何原本》中的全部定理。第五公設現在被稱作平行公設，它聽上去有些拗口，有些難以理解。約翰·普萊費爾（1748—1819）給出了下面這個更直觀的等價版本：

“經過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線。”

數百年間，數學家們曾認為平行公設是多余的，并且可以用其他四條公設推導出來。我們現在知道這是不可能的。在 19 世紀，數學家們發現了滿足前四條公設，卻不滿足第五公設的非歐幾何。在非歐幾何中，普萊費爾公理并不成立。同理，第五公設也不成立。在馬鞍形上，給定直線和直線外一點，有無數條經過這點的直線與已知直線不相交。在球面上，所有的線（大圓）都相交，所以經過一點不存在任何與已知直線毫無交點的直線。因為非歐幾何的存在，我們知道了不可能用前四條公設推導第五公設。

（9）哥德爾不完備定理。最后一個不可能性定理精巧、深刻，又震撼人心：無法證明的定理是存在的，即便它們是真正的數學表述。數學家們很熟悉那些看上去無法證明的猜想，例如孿生素數猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想。樂觀的數學家們認為它們最終都會得證。但即便它們永遠不會得證，那就意味著我們不可能證明它們嗎？或許吧。有可能它們可以被證明，只是數學家們還不夠有創新性，沒能發現證明。但它們也有可能是正確的，并且是無法證明的。在 19 世紀和 20 世紀之交，數學家們致力于為數學構建一個堅實基礎——一組能推導出所有數學的定義和公理。這夢想是如此宏大，最終卻又化作泡影。1931 年，庫爾特·哥德爾（1906—1978）證明了不完備定理。第一不完備定理指出，在任何足夠復雜的公理體系中，都存在不能被證明的真命題。在某種意義上，這是最極致的不可能性的證明！

《不可能的幾何挑戰：數學求索兩千年》

作者：大衛?S. 里奇森

譯者：姜喆

數學歷史新角度，作者旁征博引，發掘了之前數學書未曾留意的歷史細節。

本書以數學史上四大著名的“古典問題”——化圓為方、倍立方、作正多邊形、三等分角為基礎，展現了兩千多年來，數學家們為解決這些問題而留下的令人拍案叫絕的思想與成就。