《人類科學技術史-156》印度5-12世紀數學

印度5-12世紀數學

公元5-12世紀是印度數學發展的高峰時期。這時歐洲還處在中世紀黑暗時期，數學停滯、衰退。但是在這一時期，印度先后出現了一批有名的數學家：阿耶波多(約476-550)，波羅摩笈多(598-665)，摩河毗羅(約公元9世紀），婆什迦羅(1114-1185)等。他們博采廣聞，著書立說，為世界數學作出了貢獻，也為印度在世界數學史上掙得了一席之地。

這一時期，印度數學的成就是多方面的。其中對世界數學發展影響較大的主要有兩個方面：一是它最先制定了現在世界上通用的數碼及計數制度，并在此基礎上形成一整套計算技術；另一方面，印度建立了使用分數、無理數以及負數的代數學，并給出了二次方程的一般解法。現在國際通用的"阿拉伯數字"："1、2、3、……、9、0"其實是印度人對數學和整個人類文化進步作出的重要貢獻。印度人最初用梵文的字頭表示數碼，而且各地的寫法并不完全相同。經過上千年的演變，形成了今天的寫法。阿拉伯人把這些數字推廣到了西方，所以我們今天稱它為"阿拉伯數字"。其中記號"0"的發明具有關鍵性的意義。有了零號，才有了完整的位置制記數法，這樣就使計算變得非常方便。

關于零的計算，摩河毗羅說一數乘以零得零，并說減去零并不使一數變小，但他又說一數除以零后不變。可見當時零的概念還比較模糊。到了婆什迦羅所處的時期，他已了解零的含義，他說一數除以零稱為無窮量。

印度人用整數之比來表示分數，但還沒有用橫線。例如他們把3/4寫成。至于天文上的分數，他們用六十進制記法。

印度人還用負數表示欠債，用正數表示財產數。最早使用負數的是波羅摩笈多。他提出了負數的四種運算，并且指出正數的平方根有兩個，一正一負。他也提到負數的平方根的問題，但他說負數沒有平方根，因為負數不能是平方數。

印度人在算術上正視了無理數問題，開始按正確的方法來運算這些數。婆什迦羅給出了兩個無理數相加的法則："較大的無理數除以較小的，所得之商開方，再加1，和數取平方，然后乘以較小的無理數，其根即為兩無理數之和。"舉例來說，就是印度人不象希臘人那么細致，他們沒有看出無理數概念所牽涉到的邏輯難點；他們對計算的興趣使他們忽視了哲學上的區別以及希臘人認為屬于基本原理上的差別；他們很隨意地把適用于有理數的運算步驟原樣照搬到無理數上去，不過這在客觀上豐富了數學的內容。

印度人在處理代數學的問題和解答時，采用了一些縮寫文字和記號來描述運算。他們不用加法記號；被減數上面加個點表示減法；其他運算主要用文字或縮寫表。當有一個以上的未知量時，他們用顏色的名稱來表示。例如第一個叫未知量，其他的就叫黑的、藍的、黃的等等。這些記號雖然不多，但是已經使印度代數初具符號代數的性質。

印度人找到了二次方程的一般解法，這也是一項很重要的工作。他們把二次方程歸結為ax↑2＋bx＝c某些系數可以是負數。波羅摩笈多給出的求根法則是："把常數項放在未知數的平方項和一次項的另外一邊，將常數項乘以平方項［的系數］的四倍，加上一次項［的系數］的平方，所得的結果的平方根減去一次項［的系數］，再除以平方項［的系數］的二倍，就是一次項的值。"用現代數學符號表示就是：印度人已認識到二次方程有兩個根，而且包括負根和無理根。但是由于不承認負數有平方根，所以他們不能解所有的二次方程。

印度人在幾何方面沒有什么出色的進展，但在三角術方面作了一些工作。他們計算了半弦弦長，波羅摩笈多還利用內插公式編造了R＝15的正弦表。

印度人注重數學的算術和計算方面，并且在這方面作出了貢獻。他們在許多商業問題上應用代數：算利息、折扣、合股分紅、財產劃分等。但是他們不太重視演繹結構。因此他們有許多好方法和計算技巧，卻從不考慮證明；他們有計算法則，但是從來不關心這些法則在邏輯上是否合理。

到1200年左右，印度科學活動衰落了，數學上的進展也停止了。