SAMP《科學美國人》數學謎題集錦202601[每周一題共5題]

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SAMP（Scientific American Math Puzzles，《科學美國人》數學謎題）集錦[20260103 - 20260131每周一題共5題]（每小題后附答案講解及原文鏈接——淺色文字答案內容可選中后反色查看）。

作者：SCIAM科學美國人（Scientific American）2026-1-31

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-2-4

日期：2026-1-3

作者：Jack Murtagh

問題：你能吃多少壽司？

你我二人相約去一家回轉壽司店（旋轉壽司，用傳送帶循環送餐）用餐。店里供應四種壽司，分別是金槍魚卷、波士頓卷、毛毛蟲卷和火龍卷。我們各自面前都有一條回轉傳送帶，廚師會隨機且持續地往上面擺放壽司。每盤壽司只有一塊，價格完全相同。

我們約定好規則：我要把面前傳送帶上的壽司逐個吃完，直到連續吃到兩盤金槍魚卷才停下；而你則要吃完自己面前的壽司，直到吃到一盤金槍魚卷緊接著一盤波士頓卷為止。那么，我們兩人誰的這頓飯，預計花費會更高呢？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-eat-sushi/

答案是 —— 我這頓飯的預計花費更高。

表面上看，我們兩人的情況在概率上似乎是完全對等的。廚師隨機擺放壽司，金槍魚卷出現在我面前傳送帶上的概率，和出現在你面前的概率是一樣的。而且，一旦我的傳送帶上出現金槍魚卷，下一盤就能結束用餐的概率是四分之一，你的情況也是如此。

我們兩種用餐規則的差別，其實就在于出現一盤金槍魚卷之后的下一步情況。

對我來說，接下來只會發生兩種情況：

下一盤是金槍魚卷，我就此結束用餐。

下一盤是波士頓卷、毛毛蟲卷或者火龍卷，我就得重新開始等待，直到傳送帶上再次出現金槍魚卷。

而對你來說，接下來會發生三種情況：

下一盤是波士頓卷，你就此結束用餐。

下一盤是毛毛蟲卷或者火龍卷，你就得重新開始等待，直到傳送帶上再次出現金槍魚卷。

下一盤還是金槍魚卷，這種情況下，只要再下一盤是波士頓卷，你就能立刻結束用餐。

正是這一點小小的優勢，縮短了你結束用餐所需的預計時間。實際上，你預計需要吃下 16 塊壽司才能結束，而我預計要吃下 20 塊。

日期：2026-1-10

作者：Emma R. Hasson

問題：贏家是 “輸家”

若將此處所示的牌重新組合，組成四副全新的五張牌撲克手牌，能打出的最低贏牌或平局牌型是什么？

當兩副手牌牌型相同時，比如同為一對或同花，需要先比對牌型中的關鍵牌。牌面點數更高的一方獲勝。例如，四條 K 帶 10 能擊敗四條 Q 帶 J。若關鍵牌的牌面點數一致，就比對手牌中次大牌的點數。比如，一對 K 帶 A、J、10 能擊敗一對 K 帶 Q、J、10。若兩副手牌除花色外完全一致，判定為平局。

如果你需要回顧撲克手牌的牌型大小，可參考下方圖表。想了解更多撲克策略相關內容，可閱讀我們的專題文章：《完美撲克牌組背后的數學原理》 https://www.scientificamerican.com/article/why-52-cards-is-the-perfect-number-for-poker-mathematically/

撲克手牌牌型參考

1、最強牌型：最大同花順、皇家同花順（五張同花色牌 10 J Q K A）Royal Flush

2、普通同花順（五張點數連續的牌，同一花色）Straight Flush

3、四帶一、四條（四張點數一樣）Four of a Kind

4、三帶二、葫蘆（三張點數一樣，另兩張有一樣的別的點數）Full House

5、普通同花（非順子）Flush

6、普通順子（非同花）Straight

7、三張一樣、三條（另兩張點數不一樣）Threeof a Kind

8、兩對Two Pair

9、一對Pair

10、最弱牌型：高牌（不成對、不成順、不同花，以手牌中點數最高的牌定勝負）High Card

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-winning-loser/

整體能組成的最小牌型是10、10、 J、Q、K。因為牌面僅有五種不同點數，想要選出五張點數各不相同的牌，必然會組成順子。

能打出的最低贏牌組合如下，其中第三副和第四副手牌并列獲勝：

手牌 1：10、10、Q、K、A

手牌 2：10、10、Q、K、A

手牌 3：J、J、Q、K、A

手牌 4：J、J、Q、K、A

日期：2026-1-17

作者：Jack Murtagh

問題：披薩問題

你正在做一份意大利辣香腸披薩。你照著上圖的樣子，往披薩上放了幾片辣香腸。就在這時，一個孩子走進廚房，想要幫忙。

以圖中現有的配料擺放為起點，接下來每一次你放一片辣香腸，孩子就會選一塊相鄰的披薩，放上第二片辣香腸。你們就這樣一直操作：你選一塊披薩放辣香腸，緊接著孩子就在相鄰的一塊上也放一片。孩子提議：“等所有披薩塊上的辣香腸數量都一樣時，我們就停下吧。” 你和這個孩子能實現這個目標嗎？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-pizza-puzzle/

從圖中這個配料擺放起點開始，永遠不可能讓所有披薩塊上的辣香腸數量都相等。

你每放一片辣香腸，孩子就會跟著放一片。我們可以把這個過程看作是，每次在相鄰的兩塊披薩上各放一片辣香腸。我們把這八塊披薩依次編號為 1 到 8：

要注意的是，任意兩塊相鄰的披薩，編號必然是一個奇數、一個偶數。因此，每次在相鄰兩塊披薩上放辣香腸時，奇數編號披薩和偶數編號披薩上的辣香腸總數都會各增加一片。

而你的披薩在初始狀態下，奇數編號的披薩上共有三片辣香腸，偶數編號的披薩上卻只有一片。每次操作只能讓兩類披薩的辣香腸數量等量增加，這種數量上的不平衡是永遠無法修正的。

日期：2026-1-24

作者：Heinrich Hemme

問題：火柴正方形

上圖展示了一種火柴棒擺法：用 16 根火柴棒擺出一個 2×3 的網格。這個網格的所有線段都被火柴棒填滿，僅缺頂部中間位置的那一根水平火柴棒。

請只移動一根火柴棒，使圖中能拼出六個正方形。每根火柴棒都必須完整地屬于至少一個正方形。

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-matchstick-squares/

這道題共有三種解法，其中第二種解法包含一個鏡像形式。每種解法最終都會拼出四個小正方形，以及兩個相互重疊的大正方形。

下圖給出的解法是：將中間位置或左中位置的水平火柴棒，移動到頂部中間的空缺位置。

日期：2026-1-31

作者：Jack Murtagh

問題：統計異常

有五個不滿十歲的孩子，他們的年齡都是整數，比如 0、1、2 歲這類。他們的年齡不會出現 2.5 歲這樣的小數，只會在生日當天增長一歲。這五個孩子年齡的平均值、中位數、眾數和極差全都相等。后來有一個孩子過了生日，年齡長了一歲。此時這群孩子年齡的中位數和眾數依然相等，但兩者的數值都發生了變化。請問這些孩子過生日前后的年齡分別是多少？

概念回顧

平均值：一組數據中所有數值的總和除以數據的個數

中位數：將一組數據從小到大排列后，位于中間位置的數字

眾數：一組數據中出現次數最多的數字。（注：如果一組數據中有多個數字的出現次數并列最多，那么這組數據沒有唯一眾數。本題中的所有眾數均為唯一值）

極差：一組數據中最大值與最小值的差值

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-statistical-anomaly/

孩子們過生日前的年齡是 {2, 5, 5, 6, 7}，過生日后的年齡是 {2, 5, 6, 6, 7}。

解題過程

將五個孩子的年齡按從小到大的順序排列，記為a≤b≤c≤d≤e。其中中位數就是位于中間的數字c。因為眾數和中位數相等，且眾數是唯一的，所以數值c至少要出現兩次。這意味著b和d中至少有一個等于c。我們可以證明d不可能等于c，由此就能得出b必然等于c的結論。

要讓原來的唯一眾數，通過給某一個數字加 1，變成一個新的唯一眾數，唯一的方法就是把一個當前眾數c，變成新的眾數c+1。如果d=c，那么無論b是否等于c，年齡的變化過程都會是{a,b,c,c,c+1}→{a,b,c,c+1,c+1}。但這樣的變化并不會改變中位數。因此我們只能讓b=c，此時年齡的變化過程就是{a,c,c,c+1,e}→{a,c,c+1,c+1,e}。

已知平均值和極差都等于c，由此可以列出方程組：

• (5a+c+c+(c+1)+e)/5=c (平均值)

• e?a=c (極差)

通過代數運算聯立這兩個方程，可以得到2a+1=c。由此我們能推出e=c+a=3a+1。這樣我們就可以用a來表示所有孩子的年齡：{a,2a+1,2a+1,2a+2,3a+1}

代入a的較小整數值進行驗證，我們會發現只有a=2時滿足所有條件：

當a=0時：得到的年齡組合是 {0, 1, 1, 2, 1}，這個結果無效，因為排列后的最后一個數字必須是最大值

當a=1時：得到的年齡組合是 {1, 3, 3, 4, 4}，不符合眾數唯一的條件

當a=2時：得到的年齡組合是 {2, 5, 5, 6, 7}，滿足所有條件，是正確答案

當a=3時：得到的年齡組合是 {3, 7, 7, 8, 10}，違反了孩子們都不滿 10 歲的條件，a取更大數值時只會讓這個問題更嚴重

參考資料

https://www.scientificamerican.com/games/math-puzzles/

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