英國(guó)皇家學(xué)會(huì)匯刊：為什么我們走路不用“算”？藏在腿部結(jié)構(gòu)里的力學(xué)智能

導(dǎo)語

不論哪種動(dòng)物，都能夠行走，奔跑甚至攀爬。當(dāng)腿部受傷導(dǎo)致失能，動(dòng)物的生存往往受到威脅，人的生活質(zhì)量也會(huì)嚴(yán)重下降。理解動(dòng)物行走背后的原理，即是關(guān)鍵的基礎(chǔ)研究，又能對(duì)治療及機(jī)器人設(shè)計(jì)都有幫助。2007年英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的一篇綜述，講述了行走和跑步的基本物理學(xué)原理，并解釋涉及的因素對(duì)腿部系統(tǒng)全局特性、幾何形狀和控制的影響，特別是對(duì)于穩(wěn)定性和穿越粗糙地形時(shí)的影響。該研究揭示了與腿式機(jī)器領(lǐng)域相關(guān)的結(jié)構(gòu)和控制原理，可指導(dǎo)類人機(jī)器人的設(shè)計(jì)，展現(xiàn)了仿生帶來的智慧。

關(guān)鍵詞：生物力學(xué) (biomechanics)、穩(wěn)定性 (stability)、分段 (segmentation)、沖擊 (impact)

郭瑞東丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Intelligence by mechanics 論文鏈接：https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/17148057/ 發(fā)表時(shí)間：2007年1月15日 發(fā)表期刊：Philos Trans A Math Phys Eng Sci

類似彈簧的腿部運(yùn)動(dòng)

對(duì)于像人體或機(jī)器人這樣具有多個(gè)自由度的復(fù)雜系統(tǒng)，直接控制每一個(gè)關(guān)節(jié)是非常困難的。因此，需要一個(gè)更高層次的、簡(jiǎn)化的模型來指導(dǎo)整體的運(yùn)動(dòng)控制，就像駕駛員通過控制方向盤來控制汽車，而不需要關(guān)心每個(gè)輪胎的具體轉(zhuǎn)動(dòng)一樣。對(duì)于行走，彈簧-質(zhì)量模型就是這樣一個(gè)理想的模板。

對(duì)運(yùn)動(dòng)的理解，源自上世紀(jì)60到70年代，一群拿著壓力感應(yīng)板（力臺(tái)）的科學(xué)家。他們發(fā)現(xiàn)，走路的時(shí)候，身體的總機(jī)械能（勢(shì)能+動(dòng)能）的變化節(jié)奏是錯(cuò)開的——當(dāng)動(dòng)能攢滿爆發(fā)時(shí)，勢(shì)能正躲在谷底歇著呢。

為了解釋上述現(xiàn)象，科學(xué)家搬出了“倒立擺”模型。你可以腦補(bǔ)一個(gè)馬戲團(tuán)的高手，單腳穩(wěn)穩(wěn)頂著一根長(zhǎng)桿，桿子尖兒上再放個(gè)保齡球。走路時(shí)，你那條落地的腿，就相當(dāng)于那根又長(zhǎng)又硬的長(zhǎng)桿，而你的上半身和腦袋，就是那個(gè)岌岌可危的保齡球。

你邁開左腿，左腿瞬間“石化”成一根鐵棍，把身體這個(gè)“保齡球”支在半空。右腿懸著，像鐘擺一樣蕩出去。當(dāng)“保齡球”從左腿頂端滑到右腿頂端時(shí)，左腿負(fù)責(zé)把身體“掄”起來（增加動(dòng)能），右腿則負(fù)責(zé)接住并穩(wěn)住重心（增加勢(shì)能）。這一掄一接，就完成了一次能量錯(cuò)峰。

然而，上述模型無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)地面反作用力隨時(shí)間變化的完整曲線（即“足跡”），在行走的站立中期，測(cè)力臺(tái)數(shù)據(jù)顯示地面反作用力曲線呈獨(dú)特的 “雙峰”或“駱駝背”形狀——即有兩個(gè)明顯的波峰。僵硬的倒立擺模型預(yù)測(cè)的地面反作用力是單一、平滑的駝峰狀，無法復(fù)現(xiàn)“雙峰”特征（圖1c）。

對(duì)此，科學(xué)家提出的針對(duì)運(yùn)動(dòng)的下一個(gè)模型是彈簧-質(zhì)量（spring-mass）模型。該模型將身體視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將腿視為一根彈簧。著地時(shí)彈簧被壓縮，儲(chǔ)存能量；離地時(shí)彈簧釋放能量，將身體推離地面。

行走時(shí)，腿并非完全僵硬。它表現(xiàn)出一種“擬彈性（quasi-elastic）”，當(dāng)一只腳（如右腳）剛著地時(shí)，身體重量仍部分由另一只（左腳）支撐。隨著右腿“彈簧”被壓縮，負(fù)荷逐漸轉(zhuǎn)移到右腿，左腿被卸載。這個(gè)動(dòng)態(tài)的加載過程產(chǎn)生了第一個(gè)力峰（圖1a）。在步態(tài)中期之后，右腿“彈簧”繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷一個(gè)輕微的卸載和再加載過程，產(chǎn)生第二個(gè)力峰，此時(shí)左腳即將著地開始新的雙支撐期。由此形成了圖1c的雙峰。

與行走時(shí)不同，在跑步中，勢(shì)能和動(dòng)能是同相波動(dòng)的（同時(shí)達(dá)到最大和最小值）。身體在彈跳的最高點(diǎn)，勢(shì)能和動(dòng)能都最小；在著地壓縮的最低點(diǎn)（圖1d），勢(shì)能和動(dòng)能（在水平方向上）的轉(zhuǎn)換也符合彈簧的物理規(guī)律（圖1d）。

圖1：行走（a，c）和跑步（b，d）的單次接觸從頂點(diǎn)到底部的彈簧質(zhì)量模型。

在彈簧-質(zhì)量模型中，行走和跑步共享同一個(gè)“彈性模板”。它們并非由不同的控制算法支配，而只是同一套彈性機(jī)制在不同能量和參數(shù)（如剛度和觸地角）下的不同表現(xiàn)。這簡(jiǎn)化了我們對(duì)步態(tài)的理解和控制，無論是昆蟲還是大型的脊椎動(dòng)物，當(dāng)不同尺度的動(dòng)物腿部被放到一起比較時(shí)，通過對(duì)體重和腿長(zhǎng)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，發(fā)現(xiàn)它們奔跑時(shí)采用的腿部剛度是相似的。這表明自然選擇在截然不同的尺度上“發(fā)現(xiàn)”了相似的力學(xué)最優(yōu)解。

彈簧-質(zhì)量模型還為機(jī)器人設(shè)計(jì)提供了藍(lán)圖。不必為機(jī)器人的每個(gè)關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)極其復(fù)雜的控制算法，而是可以先確保其腿部在整體上能像一個(gè)彈簧一樣工作（即實(shí)現(xiàn)“模板”），然后再用“錨定”控制去精細(xì)調(diào)節(jié)細(xì)節(jié)。這種基于簡(jiǎn)單物理原理的控制策略往往更強(qiáng)大、更高效。

行走 vs 奔跑：

分段腿的“雙簧戲”與“彈簧協(xié)奏曲”

圖2：分段腿在跑步機(jī)以 2 米/秒速度行走和跑步時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)。

腿部分段并非被動(dòng)地跟隨運(yùn)動(dòng)，而是主動(dòng)適應(yīng)不同步態(tài)力學(xué)需求的智能設(shè)計(jì)。行走時(shí)，節(jié)段間復(fù)雜的時(shí)序差創(chuàng)造了高效的倒立擺與輪緣機(jī)制；奔跑時(shí)，節(jié)段則協(xié)同工作，構(gòu)成一個(gè)高效的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。腿部分段的第一個(gè)好處——“復(fù)用性”由此顯現(xiàn)。通過調(diào)度不同關(guān)節(jié)的“戲份”，同一套機(jī)械結(jié)構(gòu)就能在“節(jié)能滾動(dòng)的倒立擺”（行走）和“高效彈跳的彈簧”（奔跑）兩種模式間無縫切換。

大腿，小腿和腳的比例之間有關(guān)系

人的腳相比大腿及小腿之間的比例因何而定？腳的長(zhǎng)度是由站立的需求決定的，還是有其他因素在起作用？例如，在跑步時(shí)使用人體腿部幾何形狀是否也有利？該文通過實(shí)際觀察到的數(shù)據(jù)，指出人類這種“大腿-小腿-腳”的不對(duì)稱三段式設(shè)計(jì)，是個(gè)“力學(xué)作弊器”，能產(chǎn)生更高的“有效機(jī)械效益”。

理論計(jì)算得出，當(dāng)一個(gè)較短的、未與腿軸對(duì)齊的腳部（長(zhǎng)度約是大腿的0.4倍）參與工作時(shí)，整個(gè)腿的力學(xué)優(yōu)勢(shì)最大。這種不對(duì)稱設(shè)計(jì)使得在支撐身體時(shí)，關(guān)節(jié)所需的扭矩更小，也就更節(jié)能（圖3a）。

圖3：一個(gè)長(zhǎng)度為大腿長(zhǎng)度 0.4 倍的有效腳，有助于避免結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。

不對(duì)稱的設(shè)計(jì)（腳短，大腿長(zhǎng)）提供了極高的有效機(jī)械效益。這意味著，你的肌肉只需花較小的力氣，就能在腿部產(chǎn)生強(qiáng)大的支撐力，就像用一根杠桿輕松撬動(dòng)重物一樣。

此外，大腿，小腿以及腳部的長(zhǎng)度不同也有妙用。對(duì)稱的腿部設(shè)計(jì)（圖3b）在受壓時(shí)容易發(fā)生“結(jié)構(gòu)失穩(wěn)”（突然彎曲），而人類的不對(duì)稱設(shè)計(jì)（圖3c）能巧妙避開這個(gè)陷阱，工作起來更穩(wěn)定。

腿部的不對(duì)稱設(shè)計(jì)將復(fù)雜的控制難題，通過身體本身的機(jī)械結(jié)構(gòu)“硬件”解決了。這讓大腦這個(gè)“軟件”得以解放，我們才能一邊悠閑地散步，一邊思考晚上吃什么這種人生大事。這完美詮釋了論文標(biāo)題“Intelligence by mechanics”的精髓，最高級(jí)的算法，往往被直接編碼在硬件設(shè)計(jì)之中。這其中的仿生學(xué)原理，值得機(jī)器人設(shè)計(jì)借鑒。

藏在硬件里的自我穩(wěn)定性

想象一下，你正騎著一輛自行車快速下坡，突然路上出現(xiàn)一個(gè)小石子。你的車把猛地晃了一下，但還沒等你的大腦發(fā)出“握緊車把！”的指令，你的身體和車子已經(jīng)自動(dòng)調(diào)整，恢復(fù)了平衡。這種不靠主動(dòng)思考、而是靠系統(tǒng)自身物理特性實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定能力，就是“自我穩(wěn)定性Self-stability”的精髓。而在行走和奔跑中，我們的身體也通過自身硬件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了自我穩(wěn)定性。

圖4a中的一個(gè)彈簧質(zhì)量模型（代表跑步者）遇到一個(gè)臺(tái)階（地面高度變化）。它既沒有改變腿的剛度，也沒有特意調(diào)整落地的角度，卻成功地吸收了沖擊，并在下一步恢復(fù)了正常節(jié)奏。

圖4：彈簧質(zhì)量模型在消除階躍沖擊時(shí)不改變剛度或觸地角度

當(dāng)“彈簧腿”以正確角度踏上臺(tái)階時(shí)，沖擊本身會(huì)改變系統(tǒng)的狀態(tài)（如縮短了騰空時(shí)間），但這個(gè)變化恰恰會(huì)引導(dǎo)系統(tǒng)在下一步自動(dòng)調(diào)整起飛角度，從而補(bǔ)償剛才的高度差，最終回歸穩(wěn)定循環(huán)（圖4b）。整個(gè)過程無需傳感器探測(cè)臺(tái)階，也無需大腦發(fā)出糾偏指令。

在腳觸地前，我們的腿會(huì)有一個(gè)向后“扒地”的動(dòng)作。這個(gè)動(dòng)作妙就妙在：如果地面突然升高（臺(tái)階），回撤動(dòng)作會(huì)自然導(dǎo)致一個(gè)更平的落地角；如果地面降低，則會(huì)導(dǎo)致更陡的落地角。這種基于回撤的“預(yù)適應(yīng)”機(jī)制，極大地拓寬了自我穩(wěn)定的角度范圍，讓我們能更從容地應(yīng)對(duì)不可預(yù)測(cè)的地形。上述回撤程序可以僅用一步就完全抵消地面的擾動(dòng)。

圖5：上樓梯時(shí)的腿部壓縮（a, b）和地面反作用力（c, d），其中樓梯高度不同

圖5是在不同高度臺(tái)階的粗糙地面上奔跑時(shí)，腿部壓縮（a, b）和地面反作用力（c, d）。（a, c）為實(shí)驗(yàn)結(jié)果；（b, d）為無彈性雙節(jié)段伸肌模型的模擬結(jié)果。這張圖通過對(duì)比人類實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和簡(jiǎn)單機(jī)械模型的模擬結(jié)果，有力地證明了：即使在不平坦的地面上，奔跑的動(dòng)物（包括人類）也能通過調(diào)整簡(jiǎn)單的全局參數(shù)（如觸地時(shí)的腿長(zhǎng)和角度）來維持穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)模式，而無需復(fù)雜的感官反饋和精細(xì)控制。

肌肉：不僅是發(fā)動(dòng)機(jī)，更是智能減震器

要實(shí)現(xiàn)自我穩(wěn)定，光有彈簧腿的骨架還不夠，還需要“執(zhí)行器”——也就是肌肉。肌肉在維持自穩(wěn)定性上扮演了三個(gè)關(guān)鍵角色：

1. 可調(diào)彈簧：通過力反饋機(jī)制，肌肉能表現(xiàn)出類似彈簧的性質(zhì)，但這根“彈簧”的剛度可以根據(jù)需要實(shí)時(shí)調(diào)整。

2. 非對(duì)稱阻尼器：這是肌肉最“智能”的一點(diǎn)。它像是一個(gè)非對(duì)稱的減震器：被拉長(zhǎng)時(shí)（如落地緩沖）阻力很大，能有效吸收能量；主動(dòng)縮短時(shí)（如蹬地發(fā)力）阻力很小，非常高效。這種特性對(duì)于瞬間穩(wěn)定沖擊至關(guān)重要。

3. 內(nèi)置的沖擊保護(hù)：我們的肌肉群是懸吊在骨骼上的。當(dāng)你腳踏地面時(shí)，巨大的沖擊能量首先被肌肉組織的粘彈性吸收和緩沖，而不是直接沖擊關(guān)節(jié)和大腦。這就像一個(gè)高級(jí)的懸架系統(tǒng)，保護(hù)著更精密的“車身”結(jié)構(gòu)。

圖6：了肌肉的粘彈性懸吊模型。(a) 大腿和小腿上的肌肉質(zhì)量被模擬為具有粘彈性懸吊。(b) 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)顯示，小腿表面的加速度（實(shí)線）呈現(xiàn)延遲的阻尼振蕩，這表明沖擊能量被有效地耗散了。

文中還提到雙關(guān)節(jié)肌（如連接膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)的腓腸肌）的特殊作用。在行走時(shí)，雙關(guān)節(jié)肌有助于協(xié)調(diào)膝、踝關(guān)節(jié)的“推-拉”運(yùn)動(dòng)。它們能在關(guān)節(jié)之間直接傳遞能量，提高運(yùn)動(dòng)效率。例如，在奔跑蹬離地面時(shí)，髖部伸展的能量可以通過雙關(guān)節(jié)肌直接傳遞到踝關(guān)節(jié)，實(shí)現(xiàn)更高效的推進(jìn)。

肌肉作為一個(gè)集驅(qū)動(dòng)、傳感、彈簧、阻尼器、減震器于一體的終極智能材料。它的特性被深深地“編碼”到了運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)設(shè)計(jì)之中。憑借其內(nèi)在的力-速度特性（負(fù)斜率阻尼）和潛在的正力反饋，肌肉為系統(tǒng)提供了應(yīng)對(duì)擾動(dòng)的瞬時(shí)穩(wěn)定能力，彌補(bǔ)了神經(jīng)信號(hào)傳遞的延遲。

作為可變彈簧和阻尼器，肌肉實(shí)現(xiàn)了行走時(shí)的能量循環(huán)和奔跑時(shí)的彈性儲(chǔ)能，極大提高了效率。通過粘彈性懸置的方式，肌肉被動(dòng)地、高效地吸收了運(yùn)動(dòng)過程中不可避免的沖擊，保護(hù)了身體結(jié)構(gòu)。

因此，建造一個(gè)像動(dòng)物一樣奔跑的機(jī)器人，不僅需要模仿骨骼的形態(tài)，更關(guān)鍵的是要開發(fā)出具有肌肉般綜合特性的新型驅(qū)動(dòng)器。

仿生學(xué)教會(huì)機(jī)器人設(shè)計(jì)與控制的準(zhǔn)則

將生物學(xué)中揭示的力學(xué)智能（如彈性、自我穩(wěn)定性、分段設(shè)計(jì)）有意識(shí)地應(yīng)用于機(jī)器人的“構(gòu)造”和“控制”中，可以極大地簡(jiǎn)化控制難題、降低能耗、并增強(qiáng)機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境中的魯棒性。

具體先看機(jī)器人的設(shè)計(jì)，需要遵循下面7條準(zhǔn)則:

1. 速度自適應(yīng)的腿部柔順性：腿的剛度應(yīng)能根據(jù)速度自動(dòng)調(diào)整。這確保了從行走跑到奔跑的動(dòng)態(tài)正確性和平穩(wěn)性，包括平穩(wěn)的步態(tài)轉(zhuǎn)換。

2. 關(guān)節(jié)剛度與分段的匹配：各關(guān)節(jié)的剛度必須與腿的幾何分段相匹配，以確保（例如膝和踝）共同為整體的腿部柔順性做出貢獻(xiàn)。

3. 人型的分段與取向：類人的分段（大腿、小腿、足）及其相對(duì)長(zhǎng)度和角度，被證明可以節(jié)省能量并支持結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

4. 弓形配置作為備選：在無法實(shí)現(xiàn)最佳關(guān)節(jié)特性時(shí)，采用更彎曲的、成本更高的“弓形”腿部配置更為合適，這種配置本身更穩(wěn)定。

5. 可移動(dòng)旋轉(zhuǎn)軸：由于機(jī)械效益會(huì)發(fā)生劇變，采用可移動(dòng)的旋轉(zhuǎn)軸（如人類膝關(guān)節(jié)）有助于在腿部運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)保持穩(wěn)定的負(fù)載。

6. 具備特定內(nèi)在屬性的驅(qū)動(dòng)器：驅(qū)動(dòng)器應(yīng)具備一定的內(nèi)在柔順性和力-速度曲線的負(fù)斜率特性。這能確保其在面對(duì)擾動(dòng)時(shí)做出即時(shí)、穩(wěn)定的響應(yīng)，并有助于步態(tài)周期的自動(dòng)化。

7. 驅(qū)動(dòng)器的粘彈性懸置：通過粘彈性方式懸置質(zhì)量較大的驅(qū)動(dòng)器（如電機(jī)），可以大幅減少觸地沖擊的有害影響。

而在控制上，需要遵循以下9條，可降低對(duì)復(fù)雜傳感和實(shí)時(shí)計(jì)算的依賴，提高控制的魯棒性：

1. 正力反饋：可用于在關(guān)節(jié)和腿部層面產(chǎn)生穩(wěn)定的彈跳行為。

2. 柔順腿作為控制模板：將柔順的腿部模型作為核心模板，可以簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)的控制，并易于調(diào)整運(yùn)動(dòng)速度。

3. 探索自我穩(wěn)定性：應(yīng)充分利用自我穩(wěn)定性來降低控制需求，避免傳感信息流的瓶頸。

4. 選擇合適的觸地攻角：只要腿部屬性選取得當(dāng)，一個(gè)合適的觸地角就足以實(shí)現(xiàn)自我穩(wěn)定的行走和奔跑。

5. 擺動(dòng)腿回撤：在觸地前使腿向后擺動(dòng)（回撤），能顯著增強(qiáng)自我穩(wěn)定性。

6. 正確的觸地姿態(tài)：在觸地時(shí)使腿部各節(jié)段保持正確的取向，可以增強(qiáng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

7. 差異化的節(jié)段使用：通過恰當(dāng)?shù)丶せ铍p關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器（模仿生物體的雙關(guān)節(jié)肌），可以在行走和奔跑中實(shí)現(xiàn)類似“換擋”的效應(yīng)。

8. 拮抗肌的共激活：像肌肉那樣的拮抗驅(qū)動(dòng)器的共激活，可以增強(qiáng)穩(wěn)定性。

9. 可調(diào)的沖擊吸收能力：通過激活水平，可以調(diào)節(jié)肌肉式驅(qū)動(dòng)器的沖擊吸收能力。

圖7 耶拿運(yùn)動(dòng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)室建造的三個(gè)彈性腿機(jī)器人實(shí)例

上述原則，已有具體的實(shí)踐，例如圖7a中的單腿彈跳器：驗(yàn)證了彈簧-質(zhì)量模型作為跑步模板的可行性。圖7b的 兩段腿跑步機(jī)：探索了分段設(shè)計(jì)的影響。圖7c的 雙足機(jī)器人擁有彈性三節(jié)段腿，基于單關(guān)節(jié)和雙關(guān)節(jié)的彈性耦合，該機(jī)器人實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的、具有類人膝踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)的行走。

類似的機(jī)器人設(shè)計(jì)，在該文出現(xiàn)后的近20年間，也有不少，例如受生物肌肉-肌腱啟發(fā)，提出一種可控扭簧腿結(jié)構(gòu)，并引入反饋延遲和屈服彈簧。實(shí)驗(yàn)表明，該設(shè)計(jì)能有效降低能耗，提升腿部敏捷性，同時(shí)保證動(dòng)態(tài)性能[1,2]。

這些設(shè)計(jì)表明，與其試圖用強(qiáng)大的處理器和復(fù)雜的算法去“壓制”機(jī)器人的自然動(dòng)力學(xué)，不如在設(shè)計(jì)和構(gòu)造階段就“植入”智能的力學(xué)特性（如彈性、分段、質(zhì)量分布）。這樣，控制器的任務(wù)就從“微管理”每一個(gè)關(guān)節(jié)，轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙龑?dǎo)”和“利用”系統(tǒng)內(nèi)在的、穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)特性。這種基于“力學(xué)智能”的方法，是制造出能像動(dòng)物一樣在復(fù)雜、不可預(yù)測(cè)的環(huán)境中高效、穩(wěn)健運(yùn)動(dòng)的下一代機(jī)器人的關(guān)鍵。

參考資料

1 并聯(lián)腿四足機(jī)器人的參數(shù)優(yōu)化和步態(tài)控制 陳明方1，李明1，張永霞1，陳中平2，莫翔1 （1. 昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，昆明　650500；2. 攀枝花市經(jīng)濟(jì)和信息化局，四川攀枝花　617000）

2 Yaguang ZHU（朱雅光）, Minghuan ZHANG（張明換）, Xiaoyu ZHANG（張小雨）, Haipeng QIN（秦海鵬）. Dynamic compliance of energy-saving legged elastic parallel joints for quadruped robots: design and realization. Front. Mech. Eng., 2024, 19(2): 13

https://doi.org/10.1007/s11465-024-0784-4

吳金閃：系統(tǒng)科學(xué)導(dǎo)引（三）物理部分

本課程是 《系統(tǒng)科學(xué)概論》 課程的后續(xù)課程。《概論》是系統(tǒng)科學(xué)研究的入門課程。學(xué)生需要通過《概論》課程來了解什么是系統(tǒng)科學(xué)（系統(tǒng)科學(xué)的思想），以及了解一些具體的系統(tǒng)科學(xué)的研究方法。系統(tǒng)科學(xué)后續(xù)課程的目標(biāo)是在此基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)一些研究方法，體會(huì)一些系統(tǒng)科學(xué)的研究工作的實(shí)例。同時(shí)，為了給后續(xù)的課程做準(zhǔn)備，在《概論》課程之后，專業(yè)課程之前，在本課程中，我們要學(xué)會(huì)一些數(shù)學(xué)物理的基礎(chǔ)。

目前課程主要包含兩個(gè)模塊：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、物理學(xué)基礎(chǔ)。其中，數(shù)學(xué)模塊主要是集合與映射、矢量空間和概率論。物理模塊主要是經(jīng)典力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、計(jì)算物理學(xué)初步和量子力學(xué)。

本課程即是上述課程中的物理基礎(chǔ)模塊。

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