如何解開分式的 “纏繞”——AMS美國數(shù)學會專欄

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你可以拿起環(huán)面，水平旋轉(zhuǎn)它，就像擰開一罐花生醬的蓋子一樣……

作者：戴安娜?戴維斯（Diana Davis，菲利普斯埃克塞特學院）2026-3-1

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2026-3-6

百吉餅上的繩子

問題是這樣的：你的百吉餅上繞著一個環(huán)面紐結(jié)，你需要把它解開才能取下來。怎么做才最妥當？簡單來說，答案就是歐幾里得算法。詳細解釋的話，這趟旅程會串聯(lián)起幾何、動力系統(tǒng)和群論等優(yōu)美的數(shù)學分支。我們現(xiàn)在就開始吧！

首先，假設(shè)有一根繩子繞在百吉餅上。它穿過百吉餅中心的孔洞12次，沿著赤道環(huán)繞5次：這就是一個 (12, 5) 環(huán)面紐結(jié)。我選擇12和5這兩個數(shù)字，是因為5月12日是瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani，伊朗菲爾茲獎得主）的生日。

示意圖：一個環(huán)面，上面的繩子穿過中心孔洞12次，沿赤道環(huán)繞5次

這個(12, 5)環(huán)面紐結(jié)對應的路徑斜率為12/5。我們的目標是把這條路徑解開，直到它的斜率變?yōu)?。

示意圖：箭頭指示一次“解繞”操作，最終環(huán)面上只留下一圈沿赤道的繩環(huán)

答案揭曉

具體方法是：先將百吉餅垂直解繞兩次，再水平解繞兩次，最后再垂直解繞兩次。大功告成！

示意圖：箭頭展示了多步解繞的完整過程

我們是如何想到這個方法的？這背后又有什么原理？請繼續(xù)往下看。

我們的工具

1. 歐幾里得算法

給定兩個正整數(shù)，如果你想求它們的最大公約數(shù)（Greatest Common Divisor, GCD），最好的方法就是使用歐幾里得算法，步驟如下：

1. 用較大的數(shù)減去較小的數(shù)；

2. 重復上述步驟，直到兩個數(shù)相等；

3. 此時的數(shù)就是最大公約數(shù)！

示例：布萊娜·克拉（Bryna Kra）是美國數(shù)學會（AMS）上一任主席，她的生日是10月6日。我們來求10和6的最大公約數(shù)：

• (10, 6) —— 6更小，用10減6 → (4, 6)

• (4, 6) —— 4更小，用6減4 → (4, 2)

• (4, 2) —— 2更小，用4減2 → (2, 2)

• (2, 2) —— 大功告成！10和6的最大公約數(shù)是2。

人們青睞歐幾里得算法，因為它快捷高效。很多人會對算法進行優(yōu)化，一次性減去較小數(shù)的所有倍數(shù)，但在本文中，我們選擇逐次相減。

留給你的思考題：任意給定一個生日（月和日），月數(shù)和日數(shù)的最大公約數(shù)為1的概率是多少？

2. 環(huán)面的扭轉(zhuǎn)

我們要用到的“扭轉(zhuǎn)”，是方形環(huán)面的自同構(gòu)映射——這類映射是環(huán)面的對稱變換，既能保持環(huán)面的結(jié)構(gòu)，又能將相鄰的點映射到相鄰的位置。

旋轉(zhuǎn)就是一種很直觀的自同構(gòu)映射：你可以拿起環(huán)面水平旋轉(zhuǎn)（就像擰開花生醬罐子的蓋子），也可以穿過孔洞旋轉(zhuǎn)（就像把皺成一團的襪子拉平整套在腿上）。不過，我們要用到的自同構(gòu)映射不是旋轉(zhuǎn)，而是扭轉(zhuǎn)，扭轉(zhuǎn)分為水平扭轉(zhuǎn)和垂直扭轉(zhuǎn)兩種。

我們先來看垂直扭轉(zhuǎn)：

1. 用一個豎直平面把環(huán)面切開，就像把一個美味的甜甜圈切開，準備和朋友分享；

2. 固定住其中一側(cè)，抓住另一側(cè)，將其完整扭轉(zhuǎn)一圈；

3. 最后把切開的兩端重新粘在一起。（哎呀！看來你最終還是沒舍得和朋友分享。）

恰好扭轉(zhuǎn)一整圈時，相鄰的點會完美地重新貼合，和扭轉(zhuǎn)前的狀態(tài)完全一致，因此這是一種環(huán)面的自同構(gòu)映射。

示意圖：一個甜甜圈被豎直平面切開，箭頭指示扭轉(zhuǎn)的方向

垂直扭轉(zhuǎn)對環(huán)面紐結(jié)有什么影響？以本文的例子來說，它會把 (12, 5) 紐結(jié) 變成 (7, 5) 紐結(jié)。

示意圖：垂直解繞一個紐結(jié)的過程

需要注意的是，扭轉(zhuǎn)方向是可以相反的——反向扭轉(zhuǎn)不會簡化路徑，反而會讓它變得更復雜，比如會把(12, 5)紐結(jié)變成(17, 5)紐結(jié)。

示意圖：垂直反向扭轉(zhuǎn)導致紐結(jié)更復雜

命題：若p > q，上述簡化性垂直扭轉(zhuǎn)操作，會將 (p, q) 環(huán)面紐結(jié)轉(zhuǎn)化為 (p-q, q) 環(huán)面紐結(jié)。

證明：(p, q)環(huán)面紐結(jié)原本穿過孔洞p次。當你切開環(huán)面時，切口處會有q個繩結(jié)交點。每進行一次垂直解繞，每個交點都會“退出”一次孔洞穿越，因此最終路徑穿過孔洞的次數(shù)變?yōu)閜-q。由于扭轉(zhuǎn)僅在垂直方向進行，沿赤道環(huán)繞的次數(shù)q保持不變。

接下來我們看水平扭轉(zhuǎn)：

1. 用一把鋒利的刀沿著環(huán)面的赤道切開，就像你準備把百吉餅切成兩半抹奶油芝士，但又還沒下定決心；

2. 固定住下半部分，抓住上半部分，像擰花生醬瓶蓋一樣將其扭轉(zhuǎn)；

3. 把上半部分完整扭轉(zhuǎn)一圈后，再將兩部分粘回去。（算了，今天還是不吃奶油芝士了。）

和垂直扭轉(zhuǎn)同理，恰好扭轉(zhuǎn)一整圈能保證相鄰點完美貼合，因此這也是一種自同構(gòu)映射。

示意圖：水平切開紐結(jié)，再進行扭轉(zhuǎn)的過程

水平扭轉(zhuǎn)對環(huán)面紐結(jié)的影響是什么？它會把 (2, 5) 紐結(jié) 變成 (2, 3) 紐結(jié)。

示意圖：通過水平扭轉(zhuǎn)簡化紐結(jié)的過程

同樣需要注意，反向水平扭轉(zhuǎn)會讓路徑更復雜，比如把(2, 5)紐結(jié)變成(7, 5)紐結(jié)。

示意圖：水平反向扭轉(zhuǎn)導致紐結(jié)更復雜

命題：若p < q，上述簡化性水平扭轉(zhuǎn)操作，會將 (p, q) 環(huán)面紐結(jié) 轉(zhuǎn)化為 (p, q-p) 環(huán)面紐結(jié)。

證明：與前述垂直扭轉(zhuǎn)的證明類似，只需將垂直和水平的作用互換即可。

讓分式變得更簡單

現(xiàn)在我們來揭示環(huán)面扭轉(zhuǎn)與歐幾里得算法的關(guān)聯(lián)。我們從 (12, 5) 環(huán)面紐結(jié) 開始：

1. 因為12 > 5，我們進行垂直扭轉(zhuǎn)，將(12, 5)紐結(jié)轉(zhuǎn)化為(7, 5)紐結(jié)；

2. 此時仍然滿足 7 > 5，再次進行垂直扭轉(zhuǎn)，將(7, 5)紐結(jié)轉(zhuǎn)化為(2, 5)紐結(jié)；

3. 現(xiàn)在 2 < 5，我們切換為水平扭轉(zhuǎn)，將(2, 5)紐結(jié)轉(zhuǎn)化為(2, 3)紐結(jié)；

4. 仍然滿足 2 < 3，繼續(xù)進行水平扭轉(zhuǎn)，將(2, 3)紐結(jié)轉(zhuǎn)化為(2, 1)紐結(jié)；

5. 此時 2 > 1，我們連續(xù)進行兩次垂直扭轉(zhuǎn)，依次將(2, 1)紐結(jié)轉(zhuǎn)化為(1, 1)紐結(jié)，最終得到(0, 1)紐結(jié)。

大功告成！這就是我們夢寐以求的赤道繩環(huán)。至此，我們成功將復雜的(12, 5)環(huán)面紐結(jié)，解繞成了最簡單、最“樸素”的赤道路徑。值得驕傲！

反向操作：構(gòu)造復雜紐結(jié)

假設(shè)你想給英格麗·多貝西（Ingrid Daubechies）準備一份別致的禮物。她的生日是8月17日，所以你決定送她一個繞著(17, 8)環(huán)面紐結(jié)的環(huán)面?，F(xiàn)在你手上只有一個帶著樸素赤道繩環(huán)的環(huán)面，需要通過哪些扭轉(zhuǎn)操作，才能得到想要的紐結(jié)呢？

我們可以先用歐幾里得算法拆解(17, 8)：

(17, 8) x→V (9, 8) x→V (1, 8) x→H (1, 7) x→H (1, 6) x→H ? x→H (1, 1) x→V (0, 1)

注：箭頭標注V代表垂直扭轉(zhuǎn)，標注H代表水平扭轉(zhuǎn)。

從上述過程可以看出，要把(17, 8)紐結(jié)簡化為(0, 1)赤道繩環(huán)，需要依次執(zhí)行的變換為：VVHHHHHHHV = V2H?V。

因此，要反向操作——把赤道繩環(huán)扭轉(zhuǎn)成英格麗·多貝西生日對應的(17, 8)紐結(jié)，我們需要逆序執(zhí)行上述變換，即：VH?V2。

（注：簡化紐結(jié)時，我們用的是“解繞”方向；構(gòu)造紐結(jié)時，我們用的是每個自同構(gòu)映射的“扭轉(zhuǎn)”方向。）

我們來實際操作一下！

示意圖：一系列扭轉(zhuǎn)操作的動態(tài)演示，展示赤道繩環(huán)如何逐步變成復雜的紐結(jié)

英格麗·多貝西，生日快樂！

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你最近有朋友要過生日嗎？想給那個特別的人準備一份獨一無二的禮物？本文所有示意圖都是用Desmos 3D函數(shù)制作的，點擊鏈接即可使用同款工具：https://www.desmos.com/3d/edfuibmas4

延伸數(shù)學閱讀

本文的核心思想，來自我最近與美國數(shù)學會（AMS）合作出版的一本問題導向型著作——《臺球、曲面與幾何》

Billiards, Surfaces, and Geometry

這本書的前兩章構(gòu)建了一套“大一統(tǒng)理論”，將方形臺球桌上的臺球軌跡、臺球撞擊桌邊的順序列表、環(huán)面的自同構(gòu)映射，以及連分數(shù)這幾個概念串聯(lián)起來。本文探討的環(huán)面紐結(jié)與歐幾里得算法的關(guān)聯(lián)，正是這套宏大理論的一部分。如果你喜歡本文的內(nèi)容，不妨讀一讀這本書，探索更多精彩內(nèi)容，還能親自參與到問題的推導中。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2026/03/01/how-to-untwist-your-fractions/

https://www.desmos.com/3d/edfuibmas4

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