走進(jìn)希爾伯特的書房

重返哥廷根，作者敲開了希爾伯特的故居大門，與故居的現(xiàn)任主人閑話往事，觸摸時(shí)光留下的痕跡，一起與這位數(shù)學(xué)全才的精神世界溫柔相逢。

撰文 | 蔡天新 （浙江大學(xué)）

2012年9月的一天，正在荷蘭烏特勒支大學(xué)笛卡爾中心訪學(xué)的我，應(yīng)邀重訪了數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的圣地——德國哥廷根大學(xué)。為此我精心設(shè)計(jì)了旅行路線，去時(shí)乘火車經(jīng)過小城阿默斯福特，在那里逗留了三個(gè)小時(shí)，那是抽象畫家蒙德里安的出生地，也是笛卡爾唯一的女兒去世的地方，這位全才的法國人在荷蘭——當(dāng)時(shí)歐洲大陸唯一的資本主義國家——度過了學(xué)術(shù)生涯的黃金時(shí)代。他曾答應(yīng)送女兒回法國接受教育，她卻不幸在五歲那年夭折，笛卡爾也從此沒有再返回祖國。接著火車經(jīng)過了阿納姆，那是神奇的畫家埃舍爾的故鄉(xiāng)，他在這里念完了小學(xué)和中學(xué)。

哥廷根數(shù)學(xué)研究所丨圖源：網(wǎng)絡(luò)

在下薩克森州州府漢諾威換車以后，我于當(dāng)天夜里抵達(dá)哥廷根火車站，普萊達(dá)·米哈伊內(nèi)斯庫教授替我訂好了旅店，我熟門熟路地步行著找到了。當(dāng)晚我在附近的酒吧里喝了一瓶貝克啤酒，睡得很香，第二天早上起得較晚，因?yàn)槲业膶W(xué)術(shù)報(bào)告是在下午。那天我演講的題目是：關(guān)于經(jīng)典數(shù)論的若干問題。讓我感到榮幸的是，報(bào)告安排在著名的克萊因-希爾伯特教室，那次來了四位教授和一部分研究生。我講的五個(gè)問題中，有一個(gè)涉及到希爾伯特-華林問題，也算是向前輩表達(dá)敬意了。

17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬發(fā)現(xiàn)，形如4x+1的質(zhì)數(shù)均可以表示成2個(gè)整數(shù)的平方和，比如，5是1和2的平方和，13是2和3的平方和，而4x+3型的質(zhì)數(shù)則不能（他甚至斷言無法表示成兩個(gè)有理數(shù)的平方和）。1770年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日證明了費(fèi)爾馬的另一個(gè)斷言（猜想），即任意正整數(shù)均可表為4個(gè)整數(shù)的平方和。同年，英國數(shù)學(xué)家華林?jǐn)嘌裕谓o正整數(shù)k，存在正整數(shù)s=s(k)，使得每一個(gè)正整數(shù)均可表示成s個(gè)整數(shù)的k次冪之和。1909年，希爾伯特證明了上述論斷，被稱為希爾伯特-華林定理。但對(duì)給定的k，某種意義下最小值s的確定一直是個(gè)困難而熱門的數(shù)論問題。

報(bào)告結(jié)束后，我獨(dú)自一人在城內(nèi)徘徊。兩年前那會(huì)兒，我應(yīng)哥廷根大學(xué)的官方邀請(qǐng)，做客數(shù)學(xué)研究所一個(gè)月，與卡塔蘭猜想的證明者、羅馬尼亞裔教授米哈伊內(nèi)斯庫結(jié)下了深厚的友誼，并對(duì)哥廷根及其周邊的環(huán)境也有所了解。這回我又一次去看了高斯的天文臺(tái)和黎曼的故居，當(dāng)我走到韋伯大街的希爾伯特故居前，看到里面燈關(guān)著，但那輛我乘坐過的奔馳車仍在前院的停車棚里。我試探著按響門鈴，當(dāng)時(shí)的預(yù)感是，湯姆遜教授夫婦去慕尼黑看兒子了。出乎我的意料，過了半分鐘之后，邊門打開了，出來的是女主人萊阿娜。她很快認(rèn)出了我，并打電話把在別處做客的丈夫叫了回來。

希爾伯特的書房，作者攝于2012年秋天。

走進(jìn)希爾伯特的書房，我看到臨街有兩扇幾乎落地的大玻璃窗，其余三面墻壁擺滿了書架。女主人泡了一壺紅茶，還是上次那套茶具，后來我對(duì)比照片，發(fā)現(xiàn)教授脖子上系的領(lǐng)帶也沒變，生活是如此簡樸美好。湯姆遜教授夫婦均是生物化學(xué)家，男主人還是哥廷根科學(xué)院的院士。40年前，他們從希爾伯特的保姆那兒買下這座當(dāng)年希爾伯特親自參與設(shè)計(jì)建造的房子。原來，希爾伯特的獨(dú)子故世后，沒有繼承人，按照遺囑，故居贈(zèng)給了保姆。保姆住了一段時(shí)間，不適應(yīng)周邊的環(huán)境，就把房子賣了。花園非常深，有近一百米長，里面栽了許多蘋果樹，還有一口池塘和幾塊古老的石碑。

希爾伯特故居的花園，作者攝于哥廷根。

湯姆遜教授告訴我，最近幾年他每年都收到來自中國的講學(xué)邀請(qǐng)，可他已年逾八旬，身體不便，只好謝絕了，但他很高興有我這樣的老朋友來訪。兩年前我曾在屋前徘徊，遇見澆花的女主人，便和她聊起來，后來她因?yàn)榇鸩怀鑫业囊粋€(gè)提問把男主人請(qǐng)了出來，我們才得以相識(shí)。那次我被他們邀請(qǐng)到陽臺(tái)上喝茶，并參觀了花園。告別時(shí)，女主人還驅(qū)車送我到俾斯麥塔所在的東山上。回國后我們偶爾通信，他們認(rèn)真閱讀了我的一首寫冬天的詩歌，是英文譯文。他們回信認(rèn)真談到了感受，這次晤面又提到那首詩，我答應(yīng)以后寄一首秋天的詩歌。

希爾伯特的陽臺(tái)，湯姆遜和萊阿娜夫婦。作者攝于2010年秋天

1861年，希爾伯特出生在東普魯士名城哥尼斯堡郊外，是大哲學(xué)家康德的老鄉(xiāng)，如今卻是俄羅斯的一塊飛地。希爾伯特成年后就讀哥尼斯堡大學(xué)，那時(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)仍隸屬哲學(xué)系，那也是老康德當(dāng)年執(zhí)教過的系。在那個(gè)年代，德國大學(xué)有一條規(guī)則，從第二個(gè)學(xué)期開始，學(xué)生可以到本國任何其他一所大學(xué)修課。希爾伯特選擇的是哥廷根大學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)王子高斯和他的偉大弟子黎曼的緣故。他在哥尼斯堡取得博士學(xué)位后，先是留校任教，1895年初春，被聘請(qǐng)到哥廷根大學(xué)任數(shù)學(xué)系主任。之后，希爾伯特與導(dǎo)師的導(dǎo)師克萊因聯(lián)手建立起了著名的哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派。

1900年，希爾伯特在巴黎舉行的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上概括提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問題，涉及到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，他也被公認(rèn)為史上最后一位數(shù)學(xué)全才。這些問題的提出為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究指明了方向，每一個(gè)問題的解決或部分解決都引起轟動(dòng)。1921年，希爾伯特60歲生日晚會(huì)的來賓合影中，前面兩排聚集了十多位年輕數(shù)學(xué)家的夫人，那時(shí)的哥廷根已是世界的數(shù)學(xué)中心，可以說重現(xiàn)了高斯時(shí)代的輝煌。這一點(diǎn)從戰(zhàn)爭期間散布到美國的希爾伯特弟子那里可以得到證實(shí)，外爾在新澤西州幫助組建了普林斯頓高等研究院，庫朗則在紐約大學(xué)創(chuàng)立了庫朗數(shù)學(xué)研究所，這兩個(gè)所與陳省身創(chuàng)建的伯克利數(shù)學(xué)研究所堪稱美國的三大數(shù)學(xué)圣地。

我可以推測，23個(gè)數(shù)學(xué)問題一部分是在研究所的辦公室里，另一部分則是在這間書房里醞釀的。至于希爾伯特為何沒有把華林問題列入其中，我想是因?yàn)槟菚r(shí)他還沒有證明華林猜想，華林問題尚未落到實(shí)處。無論如何，當(dāng)我坐在里面喝茶，懷有一份激動(dòng)的心情。我聽主人談起戰(zhàn)爭年代的經(jīng)歷，那時(shí)他們才上小學(xué)和中學(xué)，出乎我的意料，萊阿娜竟然是希爾伯特的同鄉(xiāng)，她出生在哥尼斯堡郊外的一座小鎮(zhèn)，后來全家顛沛流離遷移到漢堡附近。湯姆遜教授找到兩本他收藏的中國古籍，是列子的《沖虛真經(jīng)》和《金瓶梅》，民國年代的德文版。

萊阿娜興致勃勃地用德文朗誦其中壺子算命的故事，湯姆遜教授即興把它譯成英文。列子（公元前450-前375）是戰(zhàn)國初期鄭國人，老子和莊子之間的道家名人，壺子是他的老師。列子開創(chuàng)了先秦散文，愚公移山、夸父逐日、杞人憂天等成語故事出自列子，他還講述了孔子出游遇到兩個(gè)小孩，孔子問，太陽離我們何時(shí)近？結(jié)果一個(gè)回答是早晨，另一個(gè)回答是中午，并各有理由。2025年夏天，我造訪了鄭州東站附近的列子故里和列子墓，墓的南邊有三塊墓碑，其中兩塊分別立于明代和民國。

又到了告別的時(shí)候。翌日上午，我離開了哥廷根，乘上了返回荷蘭的火車。為了使我的旅行更加圓滿，征得主人同意（旅費(fèi)略有增加），歸途我向南經(jīng)過了法蘭克福，繞成了一個(gè)圓圈。途中停靠了萊茵河畔西岸的波恩、科隆，西岸的杜塞爾多夫和杜伊斯堡，那些是我前幾次德國之行遺漏的名城。科隆是古羅馬皇帝尼祿（37-68）的母親、著名的投毒者阿格里皮娜的出生地，那本是羅馬帝國的前哨陣地，原名烏比奧魯姆，后來改為Colonia Claudis Agrippina，意為克勞迪斯皇后阿格里皮娜的駐防地，后簡化成Cologne，即科隆。

尼祿是有名的暴君，依據(jù)塔西佗等歷史學(xué)家的描述，他殺死了母親、老師和一大批貴族。另一位羅馬皇帝圖拉真（53-117）也與科隆有緣，卻是羅馬“五賢帝”之一，英國歷史學(xué)家吉本在《羅馬帝國衰亡史》里贊其為“人類最幸福的時(shí)代”，羅馬城內(nèi)的圖拉真廣場和圖拉真柱今天仍在。公元98年初，圖拉真奉召繼位時(shí)，他正戍守科隆。他在位時(shí)積極開拓疆土，使帝國版圖達(dá)到極限。東自美索不達(dá)米亞，南至撒哈拉沙漠，西起不列顛，北到喀爾巴阡山脈和黑海北岸，地中海成為羅馬帝國的內(nèi)海。

我在科隆逗留了四個(gè)小時(shí)，獨(dú)自享用了一個(gè)比薩餅，還徒步登上100多米高的科隆大教堂，那是德國公眾選出來的首要標(biāo)志，位列柏林的布蘭登堡門和巴伐利亞的新天鵝城堡之前。攀登途中，我看到墻壁上有許多到此一游的留言，世界各國的文字應(yīng)有盡有。我想起哥廷根城市公墓里希爾伯特墓碑上的兩行德文，那早已為全世界的數(shù)學(xué)同行熟知，“Wir müssen wissen / Wir werden wissen”，譯成中文便是，“我們必須知道/我們必將知道”。此語出自希爾伯特的退休演說，是他對(duì)拉丁語箴言的改造，原文Ignoramus et ignorabimus，意為“我們不知道/我們不可能知道”。

2013年秋天初稿

2025年秋天修潤

本文原載《新知》試刊號(hào)開篇，該刊的外文名Wissen也來自于本文。文章經(jīng)作者最新修訂后授權(quán)刊發(fā)于《返樸》，原標(biāo)題“希爾伯特的故居”。

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