就算摔碎10000個盤子，大小碎片數量分布竟然都會差不多？

我們多多少少都有過這樣的經歷：一不小心把盤子、玻璃杯或者手機掉在地上，碎片滿地飛，結果撿起來一看，小碎渣特別多，大塊卻很少。

為什么？

其實不管是摔盤子、砸核桃，還是小行星在太空撞車，甚至原子核互相“對撞”，碎片的大小分布竟然都遵循同一個規律！

這可不是巧合，而是一個隱藏了上百年的數學謎團。最近，法國物理學家埃馬紐埃爾·維勒莫（Emmanuel Villermaux）用一個超級簡潔的理論，終于把它徹底破解了！

萬事不決找數學！

當一個物體破碎時，會發生某種奇怪的現象：無論這個物體是掉落的玻璃杯還是盤子，還是一個原子的原子核撞擊另一個原子核，甚至是兩顆小行星相撞。當某物碎裂時，其碎片的大小總是遵循相同的趨勢。

圖源：snexplores

一個世紀以來，科學家們一直對破碎現象著迷。“這是一種魔力，”匈牙利德布勒森大學的物理學家費倫茨·昆（Ferenc Kun）說。

當你用對數軸繪制碎片數量與它們大小的關系圖時，總會得到一條向下傾斜的直線。換句話說，小碎片的數量遠多于大碎片。

在數學中，這條線被稱為“冪律”。

如果你把一個土豆浸入液氮中然后扔下，你會得到與在煤礦中爆炸煤炭時相同的殘余物大小分布。

但問題在于：為什么？

埃馬紐埃爾·維勒莫（Emmanuel Villermaux）現在提出了一個解釋。他的理論不僅解釋了為什么碎片大小的圖是一條直線，還預測了不同物體這條線的斜率應該是多少。維勒莫是法國艾克斯-馬賽大學的物理學家，同時也是法國大學研究所的成員。他于去年11月在《物理評論快報》上分享了這一新發現。

另一位物理學家尼古拉·范登伯格（Nicolas Vandenberghe）指出，這一理論不僅僅解決了長期以來的謎團。他也在艾克斯-馬賽大學工作，但并未參與這項新研究。

許多工業過程“需要有合適的碎片大小”，范登伯格指出。他以煤炭為例。如果塊的大小不對，煤炭就燃燒不好。另一個例子是砂紙。其磨料由破碎的礦物顆粒制成，需要有非常特定且均勻的大小。因此，維勒莫的新理論在工業中可能有大量應用。

在某物破碎之前，裂紋會出現并在其中擴散。過去，科學家們經常研究這些裂紋如何發展，以此來理解破碎現象。但這些理論總是依賴于特定的碰撞，研究人員需要使用特定碰撞的細節來解釋結果。

昆說，他的工作“表明實際上，破碎的機制對結果并不重要”。

碎片數量真的是隨機嗎？

維勒莫采用了兩個廣泛的概念，首先是“最大隨機性”的概念。

最大隨機性預測，任何過程最可能的結果是具有最多發生方式的那一個。

以擲兩個骰子為例。

有六種方式可以讓骰子數字相加為七：1和6、2和5、3和4、4和3、5和2、6和1。但只有一種方式讓骰子相加為二：1和1。因此，擲出七的可能性更大。

科學家們現在將這種思維用于破碎的結果。當某物破碎時，碎片大小的分布很可能是具有最多發生方式的那種分布。

其次，維勒莫知道質量必須守恒。所有碎片的質量總和必須等于未破碎物體的起始質量。但他設計了一個更簡單的版本：他證明，當某物破碎時，一種密度形式——質量除以體積——也必須近似守恒。

然后，維勒莫用數學計算出，如果這兩個想法都成立，碎石的大小分布會是什么樣子。

結果竟然是冪律！

維勒莫的公式還能預測繪制不同物體碎片大小時冪律的斜率。他的斜率不依賴于物體如何破碎、其大小、形狀或由什么制成。它只依賴于物體的所謂維度。

以形狀像線條的物體為例——鉛筆或筷子。對于這種大致“一維”或“1-D”物體的碎片大小圖，斜率將是-1。換句話說，隨著碎片大小的增加，該大小的碎片數量以大致相同的速率減少。

有些東西，比如餐盤，具有顯著的長度和寬度，但高度很小。這些大致二維（2-D）物體的斜率約為-2.2。因此，隨著碎片大小的增加，碎片數量的下降速度比1-D物體稍快一些。

而對于三維物體——比如保齡球，具有顯著的長度、寬度和高度——斜率將是-3.5。

這些斜率值與維勒莫和其他科學家進行的大量實驗結果一致。例如，壓碎未煮熟的意大利面（大致1-D）產生的碎片，其大小圖的斜率為-1.3。在海洋中撕裂的薄包裝材料（大致2-D）顯示斜率為-2.4。而破碎波下的三維氣泡給出斜率為-3.5。

維勒莫還親自做了糖塊實驗：從不同高度砸下去，無論高度怎么變，碎片分布的斜率始終是-3.5，穩得一批！

不過有些東西確實打破了這些一般規則，為了解釋它們，維勒莫以幾種方式擴展了他的理論。

例如，最大碎片的分布往往低于預測的直線。因此，維勒莫推導出了他的公式的更復雜版本。它除了質量守恒外，還考慮了能量守恒。然后，他用對數軸重新繪制了一些90年前的數據。他對碎片大小的更復雜預測現在能夠更全面地解釋那個舊實驗。

“用新思維看待近一個世紀前的數據非常好，”他說。“當你更仔細地觀察它們時，你會發現一些新東西。”

維勒莫甚至可以解釋為什么軟物體的碎片分布與硬物體不同。軟物體在破碎時會產生塑性變形，這會影響碎片的形成。維勒莫假設，軟物體的某些小碎片不會形成，從而導致碎片分布更平坦，擁有較少的微小碎片和較多的較大碎片。他因此計算出塑料等軟物體的“有效”斜率。對于三維的塑料物體，這個有效斜率約為-1.5。

維勒莫的工作與2010年昆等人的一項研究結果非常吻合。在那項實驗中，他們將塑料球扔向墻壁，觀察碎片，并計算出有效斜率為-1.6。昆對維勒莫的理論感到非常興奮，他說：“在這非常通用的數學中，他能融入塑性的影響。這太令人驚嘆了！”

這個理論不只是好玩，還有大用處。

許多工業過程都需要精確控制碎片大小，比如煤炭要碎到合適大小才好燃燒，砂紙的磨料顆粒必須均勻，制藥、食品加工、回收利用等領域都能用到這個理論。

生活中好多這種看似平常的現象，其實蘊含了非常有意思的數學規律。乍看之下好像毫無意義，但實際上它們在工業、工程乃至科學研究等多個領域，正悄然發揮著重要作用。

來源：snexplores

原文：https://www.snexplores.org/article/how-objects-shatter-math-mystery

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