AI首次攻克FrontierMath前沿?cái)?shù)學(xué)開(kāi)放問(wèn)題集的一道組合學(xué)難題

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AI人工智能首先攻克了《FrontierMath前沿?cái)?shù)學(xué)：開(kāi)放問(wèn)題集》中的一道組合學(xué)難題（FrontierMath未解數(shù)學(xué)難題集第6題：超圖上的拉姆齊類型問(wèn)題：構(gòu)造盡可能大的超圖，使其不具有某種易于檢查但難以發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)。），該基準(zhǔn)測(cè)試收錄的均為數(shù)學(xué)家們反復(fù)嘗試卻始終未能解決的真實(shí)研究難題——參閱：。

作者：Epoch.ai 2026-3-24

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-3-24

這道新被攻克的難題內(nèi)容如下：

6、組合數(shù)學(xué)——中等有趣的成果

超圖上的拉姆齊類型問(wèn)題：構(gòu)造盡可能大的超圖，使其不具有某種易于檢查但難以發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)。

這個(gè)問(wèn)題是關(guān)于改進(jìn)數(shù)列H(n)的值的下界，該序列出現(xiàn)在研究如下定義的無(wú)窮級(jí)數(shù)集合的同時(shí)收斂性時(shí)。

如果存在某個(gè)D?V和 P?H ，使得|D|=n 且 D中的每個(gè)元素都恰好包含在P的一個(gè)元素中，則稱超圖(V, H) 包含大小（規(guī)模）為 n的劃分。

例如，上圖左側(cè)展示的是一個(gè)含 8 個(gè)頂點(diǎn)、4 條超邊的超圖，右側(cè)則展示出該超圖包含一個(gè)規(guī)模為 4 的劃分。

H(n)是最大的 k∈? ，使得存在一個(gè)超圖(V, H) ，其中|V| =k 沒(méi)有孤立頂點(diǎn)，并且不包含大小（規(guī)模）大于n 的劃分。

H(1) = 1, H(2) = 3, H(3) = 5, H(4) = 8,

H(5) = 10, H(6) = 14, H(7) = 17，

要證明H(6)=14，則需構(gòu)造一個(gè)14階超圖，且該超圖不包含規(guī)模大于6的劃分。以下為兩個(gè)符合該條件的示例：

數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，目前已知的H(n)的最佳下界即使在漸近意義上也是次優(yōu)的，并且可以通過(guò)尋找新的超圖構(gòu)造來(lái)改進(jìn)它們。本問(wèn)題的目標(biāo)就是找到這樣一種構(gòu)造。

——威爾·布萊恩（Will Brian）

北卡羅來(lái)納大學(xué)夏洛特分校數(shù)學(xué)助理教授

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/ramsey-hypergraphs

https://epoch.ai/files/open-problems/ramsey-hypergraphs.pdf

這道剛被攻克的難題由威爾?布萊恩（Will Brian）提出，他將其歸為 “頗具研究?jī)r(jià)值” 類別。該難題是他與保羅?拉爾森（Paul Larson）在 2019 年合著的論文中提出的一個(gè)猜想，兩人當(dāng)時(shí)未能破解，此后數(shù)次嘗試也均以失敗告終。以下是布萊恩的相關(guān)表述。

“這一解法令人振奮，我一直覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題極具研究?jī)r(jià)值。我此前曾猜想，或許能通過(guò)人工智能的方法來(lái)求解，卻始終難以梳理出具體思路。如今看來(lái)，這種方法的推導(dǎo)過(guò)程堪稱完美。

該解法彌補(bǔ)了我們?cè)谙陆鐦?gòu)造中存在的一處疏漏，從某種意義上來(lái)說(shuō)，與我們?cè)谏辖鐦?gòu)造中用到的復(fù)雜思路形成了呼應(yīng)。對(duì)于拉姆齊理論相關(guān)問(wèn)題而言，這種上下界的精準(zhǔn)匹配已是極佳結(jié)果，我也十分希望能進(jìn)一步探究其背后的深層邏輯，弄清這一解法為何能達(dá)到如此理想的效果。”

——威爾·布萊恩（Will Brian）

北卡羅來(lái)納大學(xué)夏洛特分校數(shù)學(xué)助理教授

布萊恩計(jì)劃將該解法整理成文并發(fā)表，文中或?qū)⒓{入受人工智能思路啟發(fā)而開(kāi)展的后續(xù)研究成果。這與他此前的預(yù)期評(píng)估一致：這一解法的研究成果可在正規(guī)專業(yè)期刊發(fā)表，且大概率能衍生出全新的研究問(wèn)題。

在此祝賀凱文?巴雷托（Kevin Barreto）和利亞姆?普萊斯（Liam Price），二人首次引導(dǎo) GPT-5.4 Pro 模型推導(dǎo)出了該難題的解法！他們有權(quán)選擇與布萊恩共同成為相關(guān)論文的合作者。同樣祝賀蓋比?賈夫（Geby Jaff），他不久后也引導(dǎo)模型得出了該難題的解法。

我們已在用于測(cè)試模型解題能力的實(shí)驗(yàn)框架中，復(fù)現(xiàn)了這一引導(dǎo)求解的過(guò)程。在該框架下，Google Gemini 3.1 Pro、GPT-5.4（超高精度版）以及Claude Opus 4.6（頂配版）這三款模型，均至少能在部分嘗試中解出這道題。如需了解該難題的更多細(xì)節(jié)，包括記錄 GPT-5.4 Pro 原始解法的完整對(duì)話文本，以及實(shí)驗(yàn)框架中其他模型的解題過(guò)程，可訪問(wèn)我們官網(wǎng)的該難題專屬頁(yè)面或參見(jiàn)下文。

AI提示詞（Prompts）

基礎(chǔ)熱身題（Warm-up）：求解已存在已知構(gòu)造方法的某一H(n)值。

A hypergraph (V, H) is said to contain a partition of size n if there is some D ? V and P ? H such that |D| = n and every member of D is contained in exactly one member of P. Find a hypergraph (V, H) with no isolated vertices such that |V| ≥ 64, |H| ≤ 20, and (V, H) contains no partitions of size > 20. Output the hypergraph as a string where vertices are labeled, 1, ..., |V|, and edges are denoted with curly braces. Example: {1,2,3},{2,4},{3,4,5},{1,5}

若存在子集D?V和P?H，滿足∣D∣=n且D中的每個(gè)元素恰好包含在P的唯一一個(gè)元素中，則稱超圖(V,H)包含一個(gè)規(guī)模為n的劃分。

構(gòu)造一個(gè)無(wú)孤立頂點(diǎn)的超圖(V,H)，滿足∣V∣≥64，∣H∣≤20，且該超圖不包含規(guī)模大于 20 的劃分。

將超圖以字符串形式輸出，頂點(diǎn)標(biāo)記為 1、2、……、∣V∣，邊以大括號(hào)表示。示例：{1,2,3},{2,4},{3,4,5},{1,5}

單項(xiàng)挑戰(zhàn)（Single challenge）：求解尚無(wú)已知構(gòu)造方法、且難以通過(guò)暴力枚舉求解的某一H(n)值。

A hypergraph (V, H) is said to contain a partition of size n if there is some D ? V and P ? H such that |D| = n and every member of D is contained in exactly one member of P. Find a hypergraph (V, H) with no isolated vertices such that |V| ≥ 66, |H| ≤ 20, and (V, H) contains no partitions of size > 20. Output the hypergraph as a string where vertices are labeled, 1, ..., |V|, and edges are denoted with curly braces. Example: {1,2,3},{2,4},{3,4,5},{1,5}

若存在子集D?V和P?H，滿足∣D∣=n且D中的每個(gè)元素恰好包含在P的唯一一個(gè)元素中，則稱超圖(V,H)包含一個(gè)規(guī)模為n的劃分。

構(gòu)造一個(gè)無(wú)孤立頂點(diǎn)的超圖(V,H)，滿足∣V∣≥66，∣H∣≤20，且該超圖不包含規(guī)模大于 20 的劃分。

將超圖以字符串形式輸出，頂點(diǎn)標(biāo)記為 1、2、……、∣V∣，邊以大括號(hào)表示。示例：{1,2,3},{2,4},{3,4,5},{1,5}

完整問(wèn)題（Full problem）：為所有n求解H(n)的通用算法。

A hypergraph (V, H) is said to contain a partition of size n if there is some D ? V and P ? H such that |D| = n and every member of D is contained in exactly one member of P. Define H(n) to be the largest integer k such that there is a hypergraph (V, H) with |V| = k having no isolated vertices and containing no partitions of size greater than n.

It is known that H(n) ≥ k_n, where k_n is defined recursively by the formula k_1 = 1 and k_n = ?n/2? + k_?n/2? + k_?(n+1)/2?.

Your task is to improve this lower bound by a constant factor, i.e. show that H(n) ≥ c*k_n for some c > 1. It is acceptable if this improvement does not work for small n, but it must already be "in effect" for n=15. You must demonstrate this improvement by providing an algorithm that takes n as input and produces a hypergraph witnessing H(n) ≥ c * k_n.

Please provide an algorithm that takes n as input and outputs the witness hypergraph as a string where vertices are labeled, 1, ..., |V|, and edges are denoted with curly braces. Example: {1,2,3},{2,4},{3,4,5},{1,5}

Solution format:

* Write a Python script defining a function `solution(n: int) -> str`.

* Do not include any code at the file level. You may include a `main` block for testing, but it will not be executed by the verifier.

* For n ≤ 100, the algorithm must complete within 10 minutes when run on a typical laptop.

若存在子集D?V和P?H，滿足∣D∣=n且D中的每個(gè)元素恰好包含在P的唯一一個(gè)元素中，則稱超圖(V,H)包含一個(gè)規(guī)模為n的劃分。

定義H(n)為滿足下述條件的最大整數(shù)k：存在頂點(diǎn)數(shù)為k的超圖(V,H)，該超圖無(wú)孤立頂點(diǎn)，且不包含規(guī)模大于n的劃分。

已知H(n)≥k??，其中kn?由下述遞推公式定義：k?=1，k??=?n/2?+k_?n/2??+k_?(n+1)/2??。

你的任務(wù)是將該下界提升一個(gè)常數(shù)因子，即證明存在常數(shù)c>1，使得H(n)≥c?k??。該改進(jìn)結(jié)果無(wú)需適用于小數(shù)值n，但需在n=15時(shí)已生效。你必須通過(guò)設(shè)計(jì)算法來(lái)驗(yàn)證該改進(jìn)效果，該算法以n為輸入，生成可驗(yàn)證H(n)≥c?k??的超圖。

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)以n為輸入的算法，將驗(yàn)證用超圖以字符串形式輸出，頂點(diǎn)標(biāo)記為 1、2、……、∣V∣，邊以大括號(hào)表示。示例：{1,2,3},{2,4},{3,4,5},{1,5}

解法輸出格式要求

• 編寫 Python 腳本，定義函數(shù)solution(n: int) -> str；

• 不得在文件級(jí)別編寫任何代碼，可添加main代碼塊用于測(cè)試，但驗(yàn)證程序不會(huì)執(zhí)行該代碼塊；

• 對(duì)于n≤100的情況，該算法在普通筆記本電腦上的運(yùn)行時(shí)間需在 10 分鐘內(nèi)。

也歡迎瀏覽《前沿?cái)?shù)學(xué)：開(kāi)放問(wèn)題集》主頁(yè)面，深入了解這一基準(zhǔn)測(cè)試。參閱：

截至目前，已有一道 “頗具研究?jī)r(jià)值” 的難題被破解。下一個(gè)被攻克的會(huì)是哪道題？又將在何時(shí)被解開(kāi)？

參考資料

https://epochai.substack.com/p/first-ai-solution-on-frontiermath

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/ramsey-hypergraphs

https://epoch.ai/files/open-problems/ramsey-hypergraphs.pdf

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