SAMP《科學(xué)美國(guó)人》數(shù)學(xué)謎題集錦202603[每周一題共4題]

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SAMP（Scientific American Math Puzzles，《科學(xué)美國(guó)人》數(shù)學(xué)謎題）集錦[20260307 - 20260328每周一題共4題]（每小題后附答案講解及原文鏈接——淺色文字答案內(nèi)容可選中后反色查看）。

作者：Scientific American（科學(xué)美國(guó)人）2026-3-28

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-3-29

日期：2026-3-7

作者：Emma R. Hasson

題目：數(shù)學(xué)巧算題

僅使用數(shù)字 1、2、3、4、5、6，以及加、減、乘、除四種數(shù)學(xué)運(yùn)算，你能算出結(jié)果 456 嗎？解題過(guò)程中每個(gè)數(shù)字最多使用一次，可使用括號(hào)改變運(yùn)算順序。

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-tricky-calculation/

這道題有多種解法，以下為其中一種：3 × (6 + 2) × (4 × 5 – 1)

我們來(lái)分步拆解計(jì)算過(guò)程：

6+2= 8

8 ×3= 24

5 × 4= 20

20 –1= 19

24 × 19 = 456

額外挑戰(zhàn)：

若解題時(shí)必須用到除法，你能算出最接近 456 的結(jié)果是多少？若要求四種運(yùn)算全部用上，又能得到多接近 456 的數(shù)呢？

日期：2026-3-14

作者：Jack Murtagh

題目：圓周率日（國(guó)際數(shù)學(xué)日）的小意外

歡慶圓周率日，想要了解π這個(gè)數(shù)字如何在數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域隨處出現(xiàn)，可前往我們的圓周率日專(zhuān)題頁(yè)面閱讀詳情。 https://www.scientificamerican.com/report/the-science-of-pi/

披薩店的圓周率日格外忙碌，訂單絡(luò)繹不絕。一片混亂中，你隨手把一個(gè)披薩扔進(jìn)柴火烤爐，卻沒(méi)注意到爐子里已經(jīng)有一個(gè)一模一樣的披薩在烤了。這座巨大的烤爐本就可同時(shí)烤制多個(gè)披薩，可新放的這個(gè)披薩，有一部分恰好壓在了先前的那個(gè)上面。那么，這個(gè)疊在上方的披薩，其中心恰好落在下方披薩正上方，而非烤爐空處的概率是多少？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-pi-day/

上方披薩的中心恰好位于下方披薩正上方的概率為1/4。我們?cè)O(shè)披薩的半徑為 r，下圖中，實(shí)線圓圈代表下方的披薩，將其半徑向外延伸長(zhǎng)度 r，便能得到一個(gè)虛線畫(huà)出的大圓。只要上方披薩的中心落在這個(gè)虛線大圓的范圍內(nèi)，兩個(gè)披薩就會(huì)重疊；若落在虛線大圓之外，則不會(huì)重疊。究其原因，若上方披薩的中心恰好落在虛線大圓的邊緣，由于它的半徑同樣為 r，兩個(gè)披薩會(huì)相切，且僅有一個(gè)接觸點(diǎn)。

（配圖說(shuō)明：繪圖者Amanda Monta?ez 繪小圓居于虛線畫(huà)出的大圓內(nèi)部，有線段標(biāo)注顯示，小圓的半徑與兩圓的圓心距長(zhǎng)度相等。）

題目中已知第二個(gè)披薩與第一個(gè)披薩發(fā)生了重疊，因此這道題的核心問(wèn)題實(shí)際是：在虛線大圓內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)同時(shí)落在實(shí)線小圓內(nèi)的概率是多少？這個(gè)概率值等于實(shí)線小圓的面積除以虛線大圓的面積。

計(jì)算過(guò)程：πr2 ÷ π(2r)2 = 1/4

日期：2026-3-21

作者：Jack Murtagh

題目：三月數(shù)學(xué)狂歡

艾麗斯A、鮑勃B、西莉亞C和迪倫D四人參加了一場(chǎng)一對(duì)一的籃球錦標(biāo)賽，賽程安排為：艾麗斯A對(duì)戰(zhàn)鮑勃B，西莉亞C對(duì)戰(zhàn)迪倫D，兩場(chǎng)比賽的勝者再展開(kāi)對(duì)決，決出最終的總冠軍。

你和兩位朋友各自填寫(xiě)了賽事預(yù)測(cè)表，預(yù)測(cè)每場(chǎng)比賽的勝者，每猜中一場(chǎng)比賽的結(jié)果就能得 1 分。你們?nèi)说念A(yù)測(cè)結(jié)果如下：

你：

朋友 1：

朋友 2：

制圖：Jen Christiansen

你們?nèi)硕紱](méi)能去現(xiàn)場(chǎng)看比賽，不過(guò)有位觀眾看完比賽后，為你們的預(yù)測(cè)表打了分。你們互相都看過(guò)彼此的預(yù)測(cè)表，但每個(gè)人都只知道自己的得分。隨后三人展開(kāi)了這樣一段對(duì)話：

你：我猜不出比賽的最終結(jié)果。

朋友 1：我也猜不出。

朋友 2：朋友 1，在你說(shuō)話之前我還不知道結(jié)果，但現(xiàn)在我知道了。

你和朋友們都擅長(zhǎng)邏輯推理，能從彼此的表述中一步步推導(dǎo)出結(jié)論。

那么，究竟是誰(shuí)贏得了這次錦標(biāo)賽的總冠軍？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-march-mathness/

我們可以制作一張表格，根據(jù)每個(gè)人的表述逐一排除不可能的結(jié)果。

先列出錦標(biāo)賽所有可能的結(jié)果（順序?yàn)椋菏纵唭蓤?chǎng)比賽的勝者、總決賽的總冠軍），以及對(duì)應(yīng)情況下你和兩位朋友各自的得分：

你們都看過(guò)彼此的預(yù)測(cè)表，自然也清楚所有可能的結(jié)果。如果你得了 3 分，就說(shuō)明你的預(yù)測(cè)完全正確，也就直接知道比賽結(jié)果了 —— 因此當(dāng)你說(shuō)出 “我猜不出比賽的最終結(jié)果” 時(shí)，所有人都能排除BDB這個(gè)結(jié)果。

這張得分與比賽結(jié)果對(duì)照表，首先排除了你全對(duì)得 3 分的情況，也就是比賽結(jié)果為 BDB 的可能性。

接著朋友 1 說(shuō)：“我也猜不出。” 這意味著朋友 1 的預(yù)測(cè)也不可能完全正確，由此可以排除BCB這個(gè)結(jié)果。如果朋友 1 得了 2 分，那唯一對(duì)應(yīng)的結(jié)果只會(huì)是BCC，但朋友 1 依舊表示猜不出結(jié)果，所以所有人也能把這個(gè)結(jié)果排除掉。

排除后剩余的得分與結(jié)果對(duì)應(yīng)情況如下：

最后朋友 2 表示：“朋友 1，在你說(shuō)話之前我還不知道結(jié)果，但現(xiàn)在我知道了?！?我們首先能確定，對(duì)話一開(kāi)始朋友 2 并不知道結(jié)果，所以可以排除他得 3 分的情況。同時(shí)現(xiàn)在他已經(jīng)能確定結(jié)果，說(shuō)明他不可能得 2 分 —— 如果他得了 2 分，錦標(biāo)賽仍會(huì)有兩種可能的結(jié)果。如此一來(lái)，僅剩ADD（朋友 2 得 1 分）和BDD（朋友 2 得 0 分）兩種可能。但如果朋友 2 得 0 分，在你說(shuō)完話之后就應(yīng)該只剩下一種結(jié)果了。而根據(jù)已知條件，朋友 2 是在朋友 1 發(fā)言后才得知結(jié)果的，因此ADD就是這次錦標(biāo)賽的正確結(jié)果。

制表：Jen Christiansen

額外挑戰(zhàn)：你們?nèi)酥?，有且僅有一對(duì)搭檔，無(wú)論二人各自的得分是多少，都能一起還原出錦標(biāo)賽的完整結(jié)果。這對(duì)搭檔是誰(shuí)？

日期：2026-3-28

作者：Jack Murtagh

題目：稱(chēng)心的 “小裝置” 可遇不可求

你正想買(mǎi)一臺(tái) “小裝置”。一家商店里有五臺(tái)小裝置待售，可店主卻帶來(lái)了壞消息：其中兩臺(tái)出了故障，而她也分不清哪些能正常使用，哪些是故障機(jī)。店主解釋說(shuō)，你可以將兩臺(tái)小裝置相連做一次診斷測(cè)試，讓它們互相檢測(cè)。單次測(cè)試會(huì)同時(shí)得出兩個(gè)結(jié)果：第一臺(tái)對(duì)第二臺(tái)的檢測(cè)結(jié)論，以及第二臺(tái)對(duì)第一臺(tái)的檢測(cè)結(jié)論。

能正常工作的小裝置，對(duì)另一臺(tái)設(shè)備是否完好的檢測(cè)結(jié)果永遠(yuǎn)準(zhǔn)確無(wú)誤。但故障小裝置的檢測(cè)結(jié)果則毫無(wú)準(zhǔn)頭 —— 無(wú)論實(shí)際情況如何，它都可能把另一臺(tái)判定為正常，也可能判定為故障。商店即將打烊，你只有時(shí)間做兩次測(cè)試，而且手頭的錢(qián)也只夠買(mǎi)一臺(tái)小裝置。要怎么做，才能保證你買(mǎi)到的是一臺(tái)能正常工作的小裝置？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-good-gizmo/

方法如下：首先，任選兩臺(tái)小裝置，我們姑且稱(chēng)它們?yōu)?A 和 B，將二者相連完成一次診斷測(cè)試。測(cè)試的可能結(jié)果可以分為兩種情況分析。

情況一：至少有一臺(tái)小裝置判定另一臺(tái)存在故障。

只要這兩臺(tái)小裝置沒(méi)有互相判定對(duì)方正常，我們就能確定，這兩臺(tái)里一定有故障機(jī)。正常的小裝置絕不會(huì)說(shuō)謊，把完好的設(shè)備判定為故障，因此只要其中一臺(tái)給出了故障的判定，這兩臺(tái)就不可能都是好的。這種情況下，要么是其中一臺(tái)正常，準(zhǔn)確識(shí)別出了另一臺(tái)的故障；要么是至少有一臺(tái)本身就是故障機(jī)，對(duì)另一臺(tái)的狀態(tài)做了虛假判定。

出現(xiàn)這種結(jié)果時(shí)，我們直接舍棄 A 和 B，且能確定這一棄置操作至少排除了一臺(tái)故障機(jī)。接下來(lái)，我們對(duì)剩下三臺(tái)中的兩臺(tái)（C 和 D）做一次測(cè)試。如果 C 和 D 互相判定對(duì)方正常，那么你買(mǎi)其中任意一臺(tái)都可以，因?yàn)樗鼈兌际峭旰玫?—— 畢竟第一次測(cè)試后，我們已經(jīng)排除了一臺(tái)故障機(jī)，剩下的故障機(jī)最多只剩一臺(tái)，不可能同時(shí)出現(xiàn)在 C 和 D 中。如果 C 是故障機(jī)，D 就會(huì)如實(shí)判定，反之亦然。

如果測(cè)試后，C 或 D 中任意一臺(tái)判定另一臺(tái)存在故障，那就說(shuō)明這兩臺(tái)里有故障機(jī)，我們將二者也一并舍棄。至此，兩臺(tái)故障機(jī)就都被我們排除了，你無(wú)需再做測(cè)試，直接購(gòu)買(mǎi)剩下的第五臺(tái)即可，它必然是正常的。

情況二：小裝置A 和 B 互相判定對(duì)方正常。

這種結(jié)果有兩種可能性：要么 A 和 B 都是正常機(jī)，檢測(cè)結(jié)果真實(shí)；要么 A 和 B 都是故障機(jī)，給出了虛假的檢測(cè)信息。接下來(lái)，我們對(duì) C 和 D 進(jìn)行測(cè)試。第一種測(cè)試結(jié)果是，C 或 D 中任意一臺(tái)判定另一臺(tái)存在故障，這說(shuō)明 C 和 D 里至少有一臺(tái)故障機(jī)，那么 A 和 B 就不可能都是故障機(jī)，因此二者都是可以放心購(gòu)買(mǎi)的正常機(jī)。第二種測(cè)試結(jié)果是，C 和 D 也互相判定對(duì)方正常。要知道，五臺(tái)里只有三臺(tái)正常機(jī)，因此必然是 A、B 二者全為故障機(jī)，或是 C、D 二者全為故障機(jī)，無(wú)論哪種情況，結(jié)果都無(wú)關(guān)緊要。你只需購(gòu)買(mǎi)那臺(tái)從未被測(cè)試的第五臺(tái)小裝置即可，它一定是正常的 —— 因?yàn)閮膳_(tái)故障機(jī)已經(jīng)被包含在被測(cè)試的四臺(tái)之中了。

參考資料

https://www.scientificamerican.com/games/math-puzzles/

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