“沒有定理”的數(shù)學(xué)：中國古代數(shù)學(xué)如何站在世界之巔？

數(shù)學(xué)課上，你一定背過畢達(dá)哥拉斯定理、歐幾里得公理，但你有沒有想過一個(gè)問題——為什么數(shù)學(xué)課本里，幾乎沒有來自中國古代的定理？

這話不是我說的，是物理學(xué)家程貞一教授說的。他上初中時(shí)翻代數(shù)課本《范氏大代數(shù)》，翻來翻去發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：為什么這么多數(shù)學(xué)成就，一個(gè)來自中國文明的都沒有？

這問題困擾了他很多年，后來他走上了科學(xué)史研究的道路。

直到今天，很多人仍然覺得“數(shù)學(xué)就是西方的東西”，定理、證明、公理體系，好像天生就該長(zhǎng)成那個(gè)樣子。但中國科學(xué)院院士、首屆國家最高科技獎(jiǎng)得主吳文俊教授，用他一輩子的研究告訴我們一個(gè)顛覆性的真相：

中國古代數(shù)學(xué)跟西方數(shù)學(xué)，根本就是兩條路。

西方數(shù)學(xué)的核心是“證明定理”，而中國古代數(shù)學(xué)的核心是“解方程”。

你沒有看錯(cuò)——我們古代數(shù)學(xué)家眼里，根本不存在“定理”這個(gè)概念。

一、兩條路：一個(gè)向左，一個(gè)向右

吳文俊先生說過一段很直白的話：

“西方數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是證明定理，而中國的古代數(shù)學(xué)根本不考慮定理，沒有這個(gè)概念，它的主要內(nèi)容是解方程。”

這話聽著有點(diǎn)反常識(shí)。我們從小背的勾股定理，不就是一個(gè)“定理”嗎？

問題出在理解方式上。

西方的數(shù)學(xué)，從古希臘的歐幾里得開始，走的是公理化的路子。先給幾條不證自明的公理，然后用邏輯推出一整套理論體系。歐幾里得《幾何原本》就是這樣——從5條公理、5條公設(shè)出發(fā)，推出了465個(gè)命題。

這套體系的特點(diǎn)是什么？是因果論證。你要證明一件事，就得一步步推導(dǎo)，每一步都得有據(jù)可依。它追求的是“為什么對(duì)”。

而中國古代數(shù)學(xué)，走的是另一條路。

翻開《九章算術(shù)》，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它長(zhǎng)這樣：先問一個(gè)問題，然后給出答案，再給出一個(gè)“術(shù)”。什么是“術(shù)”？就是解決這類問題的方法步驟——用今天的話說，就是算法。

舉個(gè)例子。勾股術(shù)怎么寫的？

“勾、股各自乘，并而開方除之，即弦。”

就這么一句話。它告訴你：把勾和股各自平方，加起來，再開平方，就是弦。

沒有定理名稱，沒有證明過程，沒有“因此”“所以”。但這句話，放在今天，就是一段可以直接寫成代碼的算法。輸入勾和股，輸出弦，完事。

二、算法傳統(tǒng)：我們祖先的“代碼”

吳文俊先生用一個(gè)詞概括了中國古代數(shù)學(xué)的精髓——機(jī)械化。

什么意思？

就是這套方法特別“死板”，特別“程序化”。你不需要靈機(jī)一動(dòng)，不需要天才的直覺，只要按照步驟一步一步做，就能得到答案。

這和西方數(shù)學(xué)追求的那種“靈光一閃”的證明完全不一樣。

來看看我們的祖先到底創(chuàng)造了多少“算法”：

更相減損術(shù)：求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)——就是“以少減多，更相減損，求其等也”

方程術(shù)：解線性方程組——比歐洲人發(fā)現(xiàn)的高斯消去法早了一千多年

割圓術(shù)：劉徽用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓周率，祖沖之算到小數(shù)點(diǎn)后七位

大衍求一術(shù)：秦九韶解同余方程的方法，后來西方叫“中國剩余定理”

天元術(shù)：李冶用符號(hào)表示未知數(shù)解方程

四元術(shù)：朱世杰解四個(gè)未知數(shù)的方程組

這些“術(shù)”，每一個(gè)都是一套完整的算法，輸入數(shù)據(jù)，輸出答案，簡(jiǎn)潔、高效、可重復(fù)。

中國古代數(shù)學(xué)，就是一部算法大全。

三、實(shí)用至上：從問題出發(fā)的智慧

那么問題來了：為什么東西方會(huì)走上兩條完全不同的路？

根源在于出發(fā)點(diǎn)不同。

西方數(shù)學(xué)從公理出發(fā)，東方數(shù)學(xué)從問題出發(fā)。

吳文俊先生解釋過這個(gè)邏輯：古人要解決實(shí)際問題，比如丈量土地、計(jì)算賦稅、測(cè)量天文。每一個(gè)問題都有原始數(shù)據(jù)，要求出答案，就要在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立某種關(guān)系。這個(gè)關(guān)系就是方程。

所以你看《九章算術(shù)》的章節(jié)名字：方田（面積）、粟米（糧食交易）、衰分（比例分配）、少廣（開方）、商功（工程土方）、均輸（運(yùn)輸征稅）、盈不足（盈虧問題）、方程（線性方程組）、勾股（直角三角形）。

全都是跟生活、跟生產(chǎn)、跟國家治理直接相關(guān)的問題。

這種“問題導(dǎo)向”的思路，決定了中國古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：實(shí)用性、算法化、模型化。它不追求抽象的真理，追求的是“怎么算出來”。

四、你以為的“落后”，其實(shí)是超前的

有意思的是，當(dāng)人類進(jìn)入計(jì)算機(jī)時(shí)代，這兩種數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的位置發(fā)生了翻轉(zhuǎn)。

吳文俊先生敏銳地發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)：計(jì)算機(jī)只能處理有限的問題，而中國古代數(shù)學(xué)恰恰是處理有限事物的數(shù)學(xué)。

美國一位計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)大師說過一句話：計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)，就是算法的數(shù)學(xué)。

什么意思？

你想想，計(jì)算機(jī)怎么工作的？它不會(huì)“靈機(jī)一動(dòng)”地證明定理，它只會(huì)執(zhí)行你寫好的代碼。它需要的是明確的步驟、確定的算法——而這恰恰是中國古代數(shù)學(xué)最擅長(zhǎng)的東西。

吳文俊先生有句話說得特別霸氣：

“我們最古老的數(shù)學(xué)，也是計(jì)算機(jī)時(shí)代最適合、最現(xiàn)代化的數(shù)學(xué)。”

他在上世紀(jì)70年代，正是從中國古代數(shù)學(xué)的算法思想里獲得靈感，開創(chuàng)了“數(shù)學(xué)機(jī)械化”的研究方向，提出了用計(jì)算機(jī)證明幾何定理的“吳方法”，成為國際自動(dòng)推理界的先驅(qū)。

這位從法國留學(xué)回來的數(shù)學(xué)大家，最后是從自己老祖宗的智慧里，找到了通向未來的路。

五、東方數(shù)學(xué)的“未完待續(xù)”

吳文俊先生生前多次表達(dá)過一個(gè)觀點(diǎn)，值得我們深思：

“我們經(jīng)常跟著外國人的腳步走。人家提一個(gè)猜測(cè)，我們花大力氣去證明。就算你證明了，出題目的人還是高你一等。我們應(yīng)該出題目給人家做。”

這話聽著有點(diǎn)刺耳，但說的是實(shí)話。

當(dāng)西方數(shù)學(xué)的公理化體系成為全世界數(shù)學(xué)教育的基本框架時(shí)，中國古代數(shù)學(xué)的算法傳統(tǒng)幾乎被遺忘在故紙堆里。很少有人知道，我們祖先在兩千年前就創(chuàng)造了那么多精妙的算法。

但事情正在起變化。

隨著人工智能、大數(shù)據(jù)、云計(jì)算的發(fā)展，算法的價(jià)值被重新發(fā)現(xiàn)。吳文俊先生提出的“數(shù)學(xué)機(jī)械化”思想，正在被越來越多的人理解和認(rèn)同。

正如他說的：

“我們擁有計(jì)算機(jī)這樣的便捷武器，又擁有切合計(jì)算機(jī)時(shí)代使用的古代數(shù)學(xué)。怎樣進(jìn)行工作，才能對(duì)得起古代的前輩，建立起我們新時(shí)代的新數(shù)學(xué)？”

這個(gè)問題，等著我們?nèi)セ卮稹?/p>

尾聲：回到那個(gè)初中生的困惑

回到開頭那個(gè)問題：為什么數(shù)學(xué)課本里沒有來自中國文明的定理？

答案其實(shí)很簡(jiǎn)單——因?yàn)槲覀児糯鷶?shù)學(xué)家不搞“定理”。

他們搞的是“術(shù)”，是算法，是解決問題的方法。這些“術(shù)”不會(huì)以“某某定理”的形式出現(xiàn)在課本里，但它們的影響無處不在。

更相減損術(shù)，就是歐幾里得算法的另一種表達(dá)；大衍求一術(shù)，就是中國剩余定理；方程術(shù)，就是高斯消去法。

只不過，這些名字里沒有中國人的名字。但你不能說，這些成就不是中國人的。

吳文俊先生說過一句話，可以作為這篇文章的結(jié)尾：

“推陳出新，沒有‘陳’哪來的‘新’？一定要下了工夫，要下艱苦的工夫，要腳踏實(shí)地，一步一個(gè)腳印。懂得‘陳’，然后才可以提出新的看法來。”

讀懂老祖宗的智慧，不是為了炫耀過去有多輝煌，而是為了走出一條屬于我們自己的路。

這條路，兩千年以前就有人走過。

現(xiàn)在，該我們接著走了。