《人類科學技術(shù)史-246》第二次數(shù)學危機的發(fā)生

第二次數(shù)學危機的發(fā)生

17世紀中后期，當早期近代科學的發(fā)展出現(xiàn)以英國為中心的全面興盛的景象時，曾在16世紀中期至17世紀初期受到天文學革命和解剖學革命沖擊的神學思潮，此時已在這種興盛景象的背后重新泛起。在這股重新泛起的神學思潮的影響下，波義耳、萊布尼茨以及牛頓等一些著名科學家在自然觀上卻紛紛轉(zhuǎn)變到神學方面。

盡管牛頓竭力證明上帝的存在，并在他生活的后35年始終表現(xiàn)了對上帝的虔誠，但是正統(tǒng)神學家對牛頓并不滿意。到了1734年，即牛頓死后的第七年，一場由正統(tǒng)神學家向牛頓發(fā)起的攻擊發(fā)生了。這場攻擊就是由當年升為大主教的正統(tǒng)神學家貝克萊(1685-1753年）向牛頓的微積分發(fā)起的。

貝克萊在閱讀了牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理》后，1734年，他向牛頓生前的好友、天文學家哈雷寫了一封奇特的公開信：《分析學者，或致一個不信教的數(shù)學家。其中審查現(xiàn)代分析的對象、原則和推斷是否比之宗教的神秘與信條的構(gòu)思更為清楚，或推理更為明確》。信中所說的"分析學者"、"不信教的數(shù)學家"，均指哈雷而言。貝克萊的公開信的內(nèi)容要點，是企圖以牛頓的無窮小量中的自我矛盾為突破口，既對數(shù)學進行"神學的批判"，又對神學進行"科學的論證"。在對數(shù)學進行"神學的批判"時，貝克萊抓住了牛頓在無窮小量的表述上的混亂以及在此基礎(chǔ)上運用流數(shù)法的矛盾，批判牛頓所一直信奉的"基本的和最終的比"這一命題，認為漸近于零的兩項之間不可能存在著有限的比，于是，貝克萊對牛頓的流數(shù)進行猛烈的抨擊。他說："這些流數(shù)是什么？是漸近于零的增量的速度，那么這些相同的漸近于零的增量又是什么呢？他們既不是有限量，也不是無窮小量，可也不是虛無。難道可以把它們稱為死去的量的幽靈嗎？"貝克萊對牛頓的微積分的基本原理的攻擊，雖然出于一個正統(tǒng)神學家對科學的反對立場，但是他也確實揭示了微積分在創(chuàng)立初期尚未解決的內(nèi)在矛盾。正因為貝克萊在對微積分的攻擊中揭開了微積分的內(nèi)在矛盾，所以微積分本身即由此陷入理論危機之中。由貝克萊的發(fā)難所造成的這場數(shù)學危機，就是數(shù)學史上的著名的第二次數(shù)學危機。

牛頓和萊布尼茨在創(chuàng)立微積分時，雖然他們都發(fā)現(xiàn)了微積分的基本原理和主要方法，但是，在對于微積分的基本概念無窮小量的表述上，他們都未能給予確切的數(shù)學的定義。他們時而說無窮小量是"零"，時而說無窮小量"非零"；他們時而說無窮小量"消逝為零"，時而說無窮小量"趨向于零"。總之，沒有嚴格的數(shù)學定義。正因為如此，盡管微積分在運算方法上是正確的，但是，從邏輯上看，它違背了形式邏輯的基本規(guī)律；從常量數(shù)學來看，它是錯誤的，而從變量數(shù)學來看，它也缺乏充分的理論依據(jù)。這說明，牛頓和萊布尼茨在最初發(fā)明微積分時，確實都還缺乏嚴密的數(shù)學理論基礎(chǔ)。也正因為如此，才使貝克萊這位敏銳的神學家終于從中看出了他所說的那種"嚴重的空虛、黑暗和混亂。"

貝克萊的公開信立即在數(shù)學家中產(chǎn)生了影響。哈雷此時已近80高齡，并未理會這位神學家的挑戰(zhàn)，但是，其他一些數(shù)學家相繼進行了反擊。1734年，即在貝克萊公開信發(fā)表的當年，英國數(shù)學家朱允(1684-1750年）即發(fā)表《幾何學，非不信教的朋友》這一公開的批駁信，首先對貝克萊的公開信進行反擊。朱允認為，對于精通幾何學的人來說，流數(shù)的概念是清楚的，并按照他的理解對牛頓的流數(shù)作了解釋。對此，貝克萊在1735年發(fā)表了題為《捍衛(wèi)數(shù)學中的自由思想》一文，予以反擊，為此，朱允又另著文反駁。

1735年，英國另一數(shù)學家羅賓斯(1707-1751年）也參加了論戰(zhàn)，他發(fā)表了幾篇論文，并出版了《論牛頓的流數(shù)法以及最初比與最終比方法的本質(zhì)與可靠性》的專著，試圖對牛頓的流數(shù)進行數(shù)學解釋，批駁貝克萊對流數(shù)的神學解釋。

此后，英國另一著名數(shù)學家馬克勞林(1698-1746年）也參加了反擊貝克萊的論戰(zhàn)。1742年，馬克勞林出版《流數(shù)論》一書。在這一著作中，馬克勞林除了駁斥貝克萊對微積分的攻擊外，還試圖建立起微積分的嚴密的數(shù)學理論基礎(chǔ)。

但由于當時歷史條件的限制，直到19世紀初法國著名數(shù)學家柯西的極限理論建立前，微積分在數(shù)學理論方面所發(fā)生的危機一直未能從根本上結(jié)束。

但第二次數(shù)學危機的發(fā)生，使人們認識到微積分本身還不夠完善。這樣，微積分就開始了試圖克服自身危機的革命。此后，經(jīng)過近一個世紀的幾代人的相繼努力，微積分終于在19世紀初建立起了嚴密的數(shù)學理論基礎(chǔ)。