永別了，背公式時(shí)代！波蘭物理學(xué)家用一個(gè)算子統(tǒng)一數(shù)學(xué)

新智元報(bào)道

編輯：KingHZ

【新智元導(dǎo)讀】別再為背公式發(fā)愁了！一個(gè)算子eml(x,y)就能搞定一切。指數(shù)函數(shù)？y=1即可。對(duì)數(shù)？三層嵌套。π？五層。這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)不僅改變數(shù)學(xué)觀，還啟發(fā)我們：宇宙底層代碼可能極致簡(jiǎn)短，一個(gè)算子統(tǒng)治全部。

你背過(guò)多少數(shù)學(xué)公式？

sin、cos、tan、ln、log、sqrt、指數(shù)、冪運(yùn)算、雙曲函數(shù)……

從初中到大學(xué)，這些符號(hào)像野草一樣在你的筆記本里瘋長(zhǎng)，每一個(gè)都有自己的定義、自己的圖像、自己的一堆性質(zhì)。

你以為數(shù)學(xué)就是這樣——越學(xué)越多，越學(xué)越雜，公式背不完，卷子做不盡。

但如果我告訴你：這些東西，全部，沒有例外，都是同一個(gè)公式的變體呢？

2026年4月，波蘭雅蓋隆大學(xué)的物理學(xué)家安杰伊·奧德爾齊沃萊克（Andrzej Odrzywo?ek）在扔出了一篇論文，標(biāo)題翻譯過(guò)來(lái)就是：「用單個(gè)二元算子生成所有初等函數(shù)」。

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.21852

這個(gè)算子長(zhǎng)這樣：eml(x, y) = e? ? ln(y)。

沒了。就這一行。指數(shù)減去對(duì)數(shù)。

然后他證明了一件事，讓整個(gè)數(shù)學(xué)圈「地震」：只要你不斷地把這個(gè)算子嵌套進(jìn)自己——就像俄羅斯套娃一樣一層套一層——你可以從中推導(dǎo)出科學(xué)計(jì)算器上的每一個(gè)按鍵。

三角函數(shù)，對(duì)數(shù)，根號(hào)，冪運(yùn)算，雙曲函數(shù)，甚至連圓周率π和自然常數(shù)e都能從里面「長(zhǎng)」出來(lái)。

科學(xué)計(jì)算器上幾十個(gè)按鍵，理論上只需要一個(gè)。

一個(gè)算子統(tǒng)治所有函數(shù)，憑什么？

先看最簡(jiǎn)單的例子。

要得到指數(shù)函數(shù)e?？把y設(shè)成1就行：eml(x,1)=e??ln(1)=e??0=e?。

一步到位。

要得到自然常數(shù)e本身？把兩個(gè)輸入都設(shè)成1：

eml(1,1)=e1?ln(1)=e?0=e

常數(shù)e直接彈出來(lái)。

要得到對(duì)數(shù)函數(shù)ln(x)？這就需要三層嵌套了：

先用eml構(gòu)造出一個(gè)中間值，再把它喂回eml，讓指數(shù)和對(duì)數(shù)互相抵消，最終剩下的就是ln(x)=eml(1,eml(eml(1,x),1))。

而要得到π？

五層嵌套。用到了歐拉公式e^(iπ)=?1的逆向推導(dǎo)——先構(gòu)造出?1，再取復(fù)數(shù)對(duì)數(shù)，π就從中浮現(xiàn)。

要得到虛數(shù)單位i？六層。

要做加法x+y？這個(gè)看似最基礎(chǔ)的運(yùn)算，反而需要五層嵌套才能表達(dá)。

因?yàn)閑ml的底層語(yǔ)言是指數(shù)和對(duì)數(shù)，它要先把加法翻譯成ln(e?·e?)這種"指數(shù)-對(duì)數(shù)"方言，再用eml的嵌套把它拼出來(lái)。

這聽起來(lái)像是一場(chǎng)精巧的數(shù)學(xué)魔術(shù)。但奧德爾齊沃萊克通過(guò)詳盡的計(jì)算搜索證明：這不是個(gè)別巧合，而是系統(tǒng)性的完備性。

每一個(gè)初等函數(shù)，都能在這棵「嵌套樹」上找到自己的位置。

數(shù)學(xué)界的「與非門」

為什么程序員最先炸了

如果你是程序員，你一定聽過(guò)一個(gè)經(jīng)典事實(shí)：現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的全部邏輯，理論上只需要一種門電路——與非門（NAND gate）。

AND、OR、NOT、XOR……所有布爾邏輯運(yùn)算，都可以用NAND門的不同組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。

NAND門，就是數(shù)字世界的「萬(wàn)能積木」。

整個(gè)CPU，從本質(zhì)上說(shuō)，就是幾十億個(gè)NAND門的排列組合。

而奧德爾齊沃萊克發(fā)現(xiàn)的eml算子，做了一件完全類比的事情——只不過(guò)它的戰(zhàn)場(chǎng)不是離散的0和1，而是連續(xù)數(shù)學(xué)的整個(gè)疆域。

正如The Register形容的那樣：數(shù)字硬件中只需要一個(gè)二輸入門就能實(shí)現(xiàn)所有布爾邏輯，而現(xiàn)在連續(xù)數(shù)學(xué)也可能有了自己的類似原語(yǔ)。

有人立刻聯(lián)想到了Y組合子——另一個(gè)"從虛無(wú)中創(chuàng)造萬(wàn)物"的計(jì)算機(jī)科學(xué)經(jīng)典概念。

更有意思的是質(zhì)疑的聲音。有人問(wèn)：超幾何函數(shù)不是早就統(tǒng)一了這些函數(shù)嗎？這個(gè)發(fā)現(xiàn)的邊界到底在哪里？

也有人追問(wèn)：用eml門來(lái)做運(yùn)算，復(fù)雜度真的比傳統(tǒng)方法更低嗎？

這些討論恰恰說(shuō)明了這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)的價(jià)值——它不是在回答一個(gè)舊問(wèn)題，而是在提出一個(gè)新問(wèn)題：連續(xù)數(shù)學(xué)的最小公理集，到底可以多小？

反直覺的真相：數(shù)學(xué)的盡頭是極簡(jiǎn)

我們從小接受的數(shù)學(xué)教育給了我們一個(gè)根深蒂固的印象：數(shù)學(xué)是一座不斷向上生長(zhǎng)的大廈，每一層都比上一層更復(fù)雜。

從加減乘除到方程，從方程到函數(shù)，從函數(shù)到微積分，知識(shí)只會(huì)越積越多，公式只會(huì)越背越厚。

但eml算子的發(fā)現(xiàn)，像一把手術(shù)刀，劃開了這座大廈的外墻，露出了里面的鋼筋骨架——而那根骨架，細(xì)得令人窒息。

三百年來(lái)折磨了無(wú)數(shù)學(xué)生的龐雜函數(shù)族譜：三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)……

它們看似各自獨(dú)立，各有各的公式和性質(zhì)。

但現(xiàn)在我們知道了，它們?nèi)渴峭粋€(gè)「超級(jí)祖先」的后代，都是eml(x,y)=e??ln(y)這一行代碼通過(guò)不同方式自我折疊后的產(chǎn)物。

這不是數(shù)學(xué)變簡(jiǎn)單了。

這是我們終于看清了：數(shù)學(xué)從來(lái)就沒有那么復(fù)雜過(guò)。

這像極了物理學(xué)的歷程。

牛頓之前，人們以為天上的運(yùn)動(dòng)和地上的運(yùn)動(dòng)是兩套完全不同的規(guī)則。直到萬(wàn)有引力把它們統(tǒng)一了。麥克斯韋之前，電和磁是兩種毫不相干的現(xiàn)象。

直到電磁方程組把它們統(tǒng)一了。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)的初等函數(shù)世界里，也出現(xiàn)了自己的「統(tǒng)一場(chǎng)論」。

波蘭雅蓋隆大學(xué)的物理學(xué)家Andrzej Odrzywo?ek

如果你愿意把想象力再往前推一步，這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)會(huì)帶你到一些有趣的地方。

如果宇宙的數(shù)學(xué)底層邏輯真的可以用某種「源代碼」描述，那這段源代碼可能比任何人想象的都要短。

eml算子暗示了一種可能性：宇宙——無(wú)論你怎么定義這個(gè)詞——可能是一個(gè)極致的極簡(jiǎn)主義者。

不是創(chuàng)造了一百種工具來(lái)搭建世界，而是只寫了一行函數(shù)，然后讓它自我折疊、自我嵌套，最終涌現(xiàn)出了三角函數(shù)、對(duì)數(shù)、微積分乃至整個(gè)物理世界的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

這個(gè)思路在AI時(shí)代有一層格外的意味。

當(dāng)下的大語(yǔ)言模型——GPT、Claude、Gemini——它們的策略是「大力出奇跡」：用千億級(jí)參數(shù)、海量數(shù)據(jù)、巨大算力來(lái)窮舉人類知識(shí)的所有模式。

這是一條「從復(fù)雜到復(fù)雜」的路。而奧德爾齊沃萊克的發(fā)現(xiàn)指向了一條相反的路：從極簡(jiǎn)到萬(wàn)物。

一個(gè)算子，一個(gè)常數(shù)，無(wú)限嵌套，全部涌現(xiàn)。

這不禁讓人追問(wèn)：如果連續(xù)數(shù)學(xué)的底層可以如此精簡(jiǎn)，那未來(lái)的AI架構(gòu)是否也存在某種「單算子」式的底層重構(gòu)？是否有一種尚未被發(fā)現(xiàn)的計(jì)算原語(yǔ)，能夠用極少的參數(shù)完成今天需要千億參數(shù)才能做到的事？

沒有人知道答案。但這個(gè)問(wèn)題本身，可能比答案更重要。

參考資料：

https://arxiv.org/abs/2603.21852