圓周率 π 在數(shù)學(xué)中的核心應(yīng)用：從勒洛三角形到愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程

圓周率 源自圓的幾何本質(zhì)，是刻畫(huà)圓、球體與橢圓幾何性質(zhì)的核心常數(shù)。正因如此，它極其頻繁地出現(xiàn)在幾何與三角學(xué)的各類(lèi)公式之中。不過(guò)，如果你以為 只屬于圓，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了。其實(shí)，物理學(xué)、微積分甚至更宏大的空間分析領(lǐng)域，其底層邏輯都與 密不可分。

unsetunset幾何學(xué)與三角學(xué)：高維空間的降維打擊unsetunset
圓的面積等于 π 乘以陰影正方形的面積；單位圓的面積為 π。

從平面的圓與橢圓，到立體的球體、圓錐與環(huán)面，這些由圓形衍生而來(lái)的幾何體，其面積與體積公式無(wú)一例外均以 為核心常量。我們先復(fù)習(xí)幾個(gè)最基礎(chǔ)的公式：

• 半徑為 的圓，周長(zhǎng)為 ，面積為

• 長(zhǎng)半軸為 、短半軸為 的橢圓，面積為

• 半徑為 的球體，體積為 ，表面積為

這里要留意，這些看似孤立的公式，其實(shí)不過(guò)是 維球體體積與 維球面表面積公式在低維空間里的“特例”。換句話(huà)說(shuō)，我們熟悉的三維球體與二維圓形，僅僅是高維空間中同類(lèi)圖形的極簡(jiǎn)形態(tài)。即便我們將視線拓展到難以想象的高維世界， 依舊穩(wěn)穩(wěn)占據(jù)著核心地位。

更有趣的是，除了標(biāo)準(zhǔn)的圓形，數(shù)學(xué)中還存在其他特殊的“定寬曲線（curve of constant width）”。根據(jù)巴比爾定理（Barbier's theorem），所有定寬曲線的周長(zhǎng)，恰好都等于自身寬度與 的乘積。

我們可以用兩條平行支撐線之間的距離，來(lái)度量勒洛三角形（Reuleaux triangle）的寬度。這個(gè)距離不會(huì)隨支撐線的朝向發(fā)生改變，換句話(huà)說(shuō)，正因?yàn)榫邆溥@一特性，勒洛三角形是一種定寬曲線（curve of constant width）。

以著名的勒洛三角形（以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心、邊長(zhǎng)為半徑作三段圓弧拼接而成）為例。在相同寬度下，它擁有最小的面積，而圓的面積則是最大的。不僅如此，空間中甚至還存在非圓形的光滑曲線，乃至代數(shù)等寬曲線。

在微積分中，用于計(jì)算圓形衍生圖形周長(zhǎng)、面積與體積的定積分，其結(jié)果也必然包含 。比如，計(jì)算單位圓上半圓面積的積分可以這樣表示：

式中的 其實(shí)是由勾股定理推導(dǎo)而來(lái)的，它對(duì)應(yīng)著上半圓的縱坐標(biāo)高度，積分運(yùn)算的結(jié)果自然就是半圓的面積。正是因?yàn)檫@類(lèi)積分的存在，我們將 叫作代數(shù)周期（algebraic period）。

unsetunset角度的度量：三角函數(shù)的基石unsetunset

既然講到幾何，自然繞不開(kāi)三角函數(shù)及其對(duì)角度的度量。數(shù)學(xué)家們通常不太喜歡用度數(shù)，而是更偏愛(ài)使用弧度（radian）作為測(cè)量單位。

在這個(gè)體系中， 扮演著至關(guān)重要的角色：一個(gè)完整圓周對(duì)應(yīng)的圓心角恰好為 弧度。換算下來(lái)，180° = 弧度，1° = 弧度。

正弦、余弦函數(shù)的周期為 2π。

我們常見(jiàn)的三角函數(shù)，都具有以 的倍數(shù)為單位的周期。比如正弦和余弦函數(shù)的周期均為 。既然如此，對(duì)于任意角度 和任意整數(shù) ，必然滿(mǎn)足如下極其對(duì)稱(chēng)的周期性恒等式：

unsetunset向量分析：統(tǒng)治物理場(chǎng)的底層法則unsetunset

常數(shù) 在向量分析（vector calculus）與勢(shì)論（potential theory）中可謂無(wú)處不在。從庫(kù)侖定律、高斯定律，再到愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程，你都能覓得它的蹤影。

拿二維空間中最直白的牛頓勢(shì)（Newtonian potential）來(lái)說(shuō)。它描述的是原點(diǎn)處一個(gè)點(diǎn)源的勢(shì)。其向外的單位通量可以表示為：

公式里那個(gè)看似不起眼的 極其關(guān)鍵，它確保了 能夠成為二維泊松方程（Poisson equation）的基本解。當(dāng)我們把目光投向更高維度時(shí)，就需要用單位 維球面的體積來(lái)進(jìn)行歸一化。比如三維空間中的牛頓勢(shì)：

你看，分母里的 ，其實(shí)正是單位二維球面（即三維空間標(biāo)準(zhǔn)球面）的表面積。

unsetunset全曲率：曲線旋轉(zhuǎn)的秘密unsetunset
這條曲線的全曲率為 ，旋轉(zhuǎn)數(shù)為 3；它繞點(diǎn) 的環(huán)繞數(shù)為 2，并包含一個(gè)不包圍點(diǎn) 的額外環(huán)路。 （注：旋轉(zhuǎn)數(shù)指曲線切線方向轉(zhuǎn)過(guò)的總?cè)?shù)，即 ；而環(huán)繞數(shù)專(zhuān)指曲線圍繞空間中某一特定點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。）

在微分幾何領(lǐng)域，一條光滑平面曲線的全曲率（total curvature），衡量的是它逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的總幅度。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是將帶符號(hào)的曲率（curvature）對(duì)弧長(zhǎng)進(jìn)行積分：

對(duì)于一條閉合曲線而言，不管它怎么扭曲，這個(gè)積分的結(jié)果始終為 （這里的 是一個(gè)整數(shù)，被稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)數(shù)或指數(shù)）。進(jìn)一步講 ， 等價(jià)于原曲線經(jīng)過(guò)弧長(zhǎng)參數(shù)化后，其速端曲線（hodograph）繞原點(diǎn)的環(huán)繞數(shù)。

來(lái)源：遇見(jiàn)數(shù)學(xué)

編輯：韶音

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