為什么“期望值”計算，是高手的第一公式？

讓我們來做一道題：

你有一套房子，價值100萬。有個大富豪對你說，來，你用房子下注，和我玩兒一個抽獎游戲，一共有五張牌，其中有個黑桃K，假如你抽中黑桃K，你能拿到1000萬。

你要不要玩兒？

聰明如你，當然知道這是一個和期望值有關的計算。???

看起來很簡單，因為期望值為正，賠率相當好。?????

但是，房子又是輸不起的籌碼。

該怎么辦呢？

期望值，是投資、德州撲克、AI等決策的基石。

假如你想成為決策高手，期望值計算，是你必須掌握的第一公式。

說起決策，想和你分享一個消息：

我在得到App的課程《決策算法100講》上線了。

（請掃上圖二維碼。）

這是繼《人生算法》之后，我和得到的再次合作。

目前已經更新了十多節，頗受歡迎。????

我相信這個主題對你會有幫助。?

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你會喜歡的。

一

先講個真實的故事：

每隔兩年，巴菲特都要和一些好友到加州的水晶海灘打高爾夫球。有一年美國政府雇員保險公司的董事長拜恩提議小賭一把，如果有一個人能一桿進洞，他就輸給每個人1萬美元，如果沒有，每人輸給他10美元。所有人都同意參加，只有巴菲特拒絕了。

請問：為什么巴菲特不玩兒這個游戲？

在揭開謎底之前，先和你分享我自己的一個小故事。

我住在加拿大的溫哥華，有天朋友一家來我們家吃飯，他突然想起來，自己沒帶駕照。他一會兒還要帶女兒去上個補習班，于是就開始猶豫要不要回家取駕照。

他家離我家大約10公里，上補習班的地方離我家大約1.5公里。這個時候，我問了一下在場的幾個朋友：你們誰在過去幾年被警察查過駕照？大家都說沒有。

我說：保守估計一下，被警察查駕照的概率，應該低于千分之一吧。我再保守點兒，就當被查的概率是百分之一，被抓住會被罰款214加幣，所以你回家這一趟的價值，是214*1%=2.14加幣。還不如油錢呢。

這里稍微補充一下，在加拿大不帶駕照，只會被罰款，警察能上網查到你的資料，所以沒別的處罰。

朋友一想，對啊，不如我留下來接著打牌吧。

我說服朋友的邏輯，就是期望值計算。

二

在概率論和統計學中，期望值是指在一個多次重復的試驗中，每個可能結果的值乘以其發生的概率，再將這些乘積相加得到的總和。

概念有些繞，簡單點兒說吧，拿拋硬幣的游戲為例，假如游戲規則是每扔一次，正面的話你給我兩塊錢，反面的我給你一塊錢，那么這個游戲對你而言，期望值是多少呢？

我們計算一下：

a、硬幣正面朝上的概率是50%，對應的價值是你虧兩塊錢，所以是50%*（-2），等于-1；

b、反面朝上的概率也是50%，對應的價值是你賺一塊錢，所以是50%*1，等于0.5；

c、用-1加上0.5，得出的數值，就是期望值，算出來是-0.5元。

換個角度說，期望值就是，“你獲勝的可能性乘以每次可能賺取的金額”，減去“你失敗的可能性乘以每次可能損失的金額”。

期望值有啥用呢？上面的簡單公式，可以告訴你，假如你一直重復玩兒很多次這個游戲，你平均每把能賺多少錢或是虧多少錢。

當我們做決策的時候，期望值可以作為量化的依據，來評估一件事情未來的收益。

回頭看開頭的故事。為什么巴菲特不愿意下注？因為那是一個負期望值的游戲，不值得參與。

根據統計數據，業余球員一桿進洞的概率是1/12750。拜恩開出的賭局，對巴菲特而言期望值的計算是：（10000/12750-10）=-9.22

不出這十塊錢，可以理解為巴菲特在概率上的潔癖。任何下注，都需要嚴格的紀律。要做到這一點，很多時候是反人性的，極其不容易，像所謂童子功一樣破不得。

三

有意思的是，期望值這個概念第一眼看上去特別簡單，用小學三年級的數學就能解釋。

但是，只要稍微復雜一點兒，人就容易暈掉。別說你，就連那些名校畢業的華爾街精英都會犯迷糊。

有次，《黑天鵝》作者塔勒布去參加紐約市的專業交易員的內部研討會，有人問他怎么看股市，他說：我相信下個星期，市場有很高的概率會略微上漲。

對方又問，概率有多高呢？

塔勒布說：大概70%。

這時，有個人坐不住了，插嘴說：嘿，塔勒布，你之前還在吹牛說你正在大量賣空股市，也就是說賭股市會下跌。你怎么又說上漲的概率高達70%，你這不是自相矛盾嗎？

那么，塔勒布到底是怎么想的呢？原來啊，他的確認為下個星期市場有70%的概率上漲，30%的概率下跌。但是如果上漲，可能只會漲1%，要是下跌的話，則可能跌10%。

這意味著什么？

我們來算一下期望值，70%*1%-30%*10%=-2.3%，期望值其實是負的。盡管看起來下周上漲的概率更大，但是，根據期望值，押股市下跌更可能賺錢。

說到這兒，我想引出一個特別重要的觀點：

期望值的大小，比勝率的大小更重要。

我們平時經常會聽到一句話：我們要堅持做大概率成功的事情。——這句話其實錯了！

我們堅持要做的，是正期望值的事情。

太多人混淆了勝率和期望值。人們偏好于看起來最可能發生的事情，也就是概率更大的事情，但是卻忘記了，我們要考慮的，是概率乘以對應的報酬，也就是期望值，這才是我們真正在意的回報。

比輸贏更重要的，是輸多少和贏多少。

正因此，索羅斯說過：“對錯都不重要，關鍵是弄錯的時候你損失了多少，判斷正確的時候又賺了多少。”

四

有些高勝率的事情，極可能期望值是負的，也不能參與。就像上面說的塔勒布的故事。

我們在日常生活中做決策的時候，尤其是涉及到錢，一定要堅持去做正期望值的事情。類似于彩票、賭博、抽獎，其實都是負期望值的事兒，不值得參與，這一點我們后面課程會講得很詳細，這里只舉一個小例子。

很多地方有一種抽獎游戲，花一塊錢就能抽，獎品很大，比如價值1萬的高配iPhone。有人可能會說了，一塊錢而已，不抽白不抽，以小博大嘛。

我們來算算期望值，假如100萬人，去抽20部iPhone，你抽中的概率是五萬分之一，假如iPhone值一萬塊，你抽一次對應的“報酬”，是一萬塊的五萬分之一，也就是兩毛錢。

所以，看起來你付出一塊錢很少，但你其實是拿一塊錢去買兩毛錢的“報酬”，期望值是負的八毛錢，這明擺著吃虧，哪里有什么以小博大呢？

如果你不去追求正期望值的事情，總指望中大獎，基本上最可能的結果是：你會窮得很穩定。

當然，假如你是商家的話，你可以設計一些類似于彩票的游戲來賺錢。哈佛早年就靠賣彩票蓋了兩棟大樓，至今仍在使用。

五

聽到這里，學過一點概率論的同學可能要說，老喻，這我早知道，你能不能講點兒更燒腦的啊？

讓我們來做一道題：

你有一套房子，價值100萬。有個大富豪對你說，來，你用房子下注，和我玩兒一個抽獎游戲，一共有五張牌，其中有個黑桃K，假如你抽中黑桃K，你能拿到1000萬。

你要不要玩兒？

這是一個對賭游戲，如果你贏了，不僅能拿回房子，還能賺到1000萬。

算一下期望值是1000萬*20%-100萬*80%=120萬，看起來相當可以，當然應該參與吧？

慢。

你到底要不要去賭，還取決于你是否輸得起這套房子，以及這個游戲能夠重復多少次。因為雖然期望值是正的，但是極有可能，你還沒實現期望值，已經把房子輸掉了。假如你只有一套房子，你怎么承受得起呢？

從腦筋急轉彎的角度，你應該拉上四個朋友，你們五個人同時抽，一人抽一張，用500萬賭注換回大富豪的1000萬，外加抽中的那個人的房子（價值100萬），然后大家一起平分凈賺的600萬，每人能分120萬。

我舉這個例子，是想引出一個跟期望值一定要同時使用的特別重要的概念：

遍歷性。

六

遍歷性（Ergodicity） 是一個統計物理學和概率論中的核心概念，簡單來講，就是一個系統中所有可能的狀態是不是都被實現了一遍。

我們再回顧一下“期望值”的定義，期望值是在重復很多次的游戲中，理論上“預計”每次操作平均帶來的凈收益。重復越多，平均結果越接近于期望值。

記住，是重復很多次的之后的平均結果。就像上面大富豪和你玩兒的抽撲克牌游戲，雖然算下來期望值是正的120萬，但是并不代表你每次都能賺到120萬，大部分情況下，你會輸掉自己的房子。

你要么一個人重復抽很多次，要么找幾個人和你一起，同時把五張牌抽完，才能實現遍歷性，從而得到正的期望值。

這意味著一個嚴峻的現實：即使你找到了一件期望值為正的事情，你也可能在實現“期望值”之前破產，就像上面，還沒贏到一千萬，你已經輸掉了自己輸不起的那套房子。

所以，你必須在游戲里堅持足夠長的時間，實現遍歷性，這樣，從長期的角度你是穩贏的。

期望值告訴我們，永遠只參與整體期望值為正的游戲。

而遍歷性揭示了一個重要的現實：即使期望值是正的，也需要足夠多的重復和耐心才能實現。

如果你無法支撐到那一刻——比如在抽中黑桃K之前失去了房子——期望值再高也無濟于事。

你看，平時我們喜歡說長期主義，說無限游戲，但是不是要弄懂了背后的數學原理，才算真正懂了？

的確，我們應該把期望值的計算，當作決策的基本原則之一。

而在人生當中，我們不僅要努力找尋那些期望值為正的機會，還要想辦法重復那些機會，才能讓期望值從一個數字變成我們實實在在的回報。

最后

在這一講的最后，我想根據今天的內容，送給你一個“期望值決策工具箱”。

當你用期望值計算做一個決策的時候，問自己以下三個問題：

問題1：我是否被高勝率誘惑而忽略了低收益？

問題2：我是否被高收益誘惑而忽略了低勝率？

問題3：我是否有足夠籌碼多次重復下注，支撐到正期望值實現？

做好決策，不是一件容易的事情。

我在得到App做這門新課，也是一個自我修煉的過程。

歡迎你一起來。

（請掃下圖二維碼。）