為什么“期望值”計(jì)算，是高手的第一公式？

讓我們來(lái)做一道題：

你有一套房子，價(jià)值100萬(wàn)。有個(gè)大富豪對(duì)你說(shuō)，來(lái)，你用房子下注，和我玩兒一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，一共有五張牌，其中有個(gè)黑桃K，假如你抽中黑桃K，你能拿到1000萬(wàn)。

你要不要玩兒？

聰明如你，當(dāng)然知道這是一個(gè)和期望值有關(guān)的計(jì)算。???

看起來(lái)很簡(jiǎn)單，因?yàn)槠谕禐檎r率相當(dāng)好。?????

但是，房子又是輸不起的籌碼。

該怎么辦呢？

期望值，是投資、德州撲克、AI等決策的基石。

假如你想成為決策高手，期望值計(jì)算，是你必須掌握的第一公式。

說(shuō)起決策，想和你分享一個(gè)消息：

我在得到App的課程《決策算法100講》上線了。

（請(qǐng)掃上圖二維碼。）

這是繼《人生算法》之后，我和得到的再次合作。

目前已經(jīng)更新了十多節(jié)，頗受歡迎。????

我相信這個(gè)主題對(duì)你會(huì)有幫助。?

掃上圖二維碼，可以在得到App上免費(fèi)試聽(tīng)5節(jié)。??

你會(huì)喜歡的。

一

先講個(gè)真實(shí)的故事：

每隔兩年，巴菲特都要和一些好友到加州的水晶海灘打高爾夫球。有一年美國(guó)政府雇員保險(xiǎn)公司的董事長(zhǎng)拜恩提議小賭一把，如果有一個(gè)人能一桿進(jìn)洞，他就輸給每個(gè)人1萬(wàn)美元，如果沒(méi)有，每人輸給他10美元。所有人都同意參加，只有巴菲特拒絕了。

請(qǐng)問(wèn)：為什么巴菲特不玩兒這個(gè)游戲？

在揭開(kāi)謎底之前，先和你分享我自己的一個(gè)小故事。

我住在加拿大的溫哥華，有天朋友一家來(lái)我們家吃飯，他突然想起來(lái)，自己沒(méi)帶駕照。他一會(huì)兒還要帶女兒去上個(gè)補(bǔ)習(xí)班，于是就開(kāi)始猶豫要不要回家取駕照。

他家離我家大約10公里，上補(bǔ)習(xí)班的地方離我家大約1.5公里。這個(gè)時(shí)候，我問(wèn)了一下在場(chǎng)的幾個(gè)朋友：你們誰(shuí)在過(guò)去幾年被警察查過(guò)駕照？大家都說(shuō)沒(méi)有。

我說(shuō)：保守估計(jì)一下，被警察查駕照的概率，應(yīng)該低于千分之一吧。我再保守點(diǎn)兒，就當(dāng)被查的概率是百分之一，被抓住會(huì)被罰款214加幣，所以你回家這一趟的價(jià)值，是214*1%=2.14加幣。還不如油錢(qián)呢。

這里稍微補(bǔ)充一下，在加拿大不帶駕照，只會(huì)被罰款，警察能上網(wǎng)查到你的資料，所以沒(méi)別的處罰。

朋友一想，對(duì)啊，不如我留下來(lái)接著打牌吧。

我說(shuō)服朋友的邏輯，就是期望值計(jì)算。

二

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，期望值是指在一個(gè)多次重復(fù)的試驗(yàn)中，每個(gè)可能結(jié)果的值乘以其發(fā)生的概率，再將這些乘積相加得到的總和。

概念有些繞，簡(jiǎn)單點(diǎn)兒說(shuō)吧，拿拋硬幣的游戲?yàn)槔偃缬螒蛞?guī)則是每扔一次，正面的話(huà)你給我兩塊錢(qián)，反面的我給你一塊錢(qián)，那么這個(gè)游戲?qū)δ愣裕谕凳嵌嗌倌兀?/p>

我們計(jì)算一下：

a、硬幣正面朝上的概率是50%，對(duì)應(yīng)的價(jià)值是你虧兩塊錢(qián)，所以是50%*（-2），等于-1；

b、反面朝上的概率也是50%，對(duì)應(yīng)的價(jià)值是你賺一塊錢(qián)，所以是50%*1，等于0.5；

c、用-1加上0.5，得出的數(shù)值，就是期望值，算出來(lái)是-0.5元。

換個(gè)角度說(shuō)，期望值就是，“你獲勝的可能性乘以每次可能賺取的金額”，減去“你失敗的可能性乘以每次可能損失的金額”。

期望值有啥用呢？上面的簡(jiǎn)單公式，可以告訴你，假如你一直重復(fù)玩兒很多次這個(gè)游戲，你平均每把能賺多少錢(qián)或是虧多少錢(qián)。

當(dāng)我們做決策的時(shí)候，期望值可以作為量化的依據(jù)，來(lái)評(píng)估一件事情未來(lái)的收益。

回頭看開(kāi)頭的故事。為什么巴菲特不愿意下注？因?yàn)槟鞘且粋€(gè)負(fù)期望值的游戲，不值得參與。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，業(yè)余球員一桿進(jìn)洞的概率是1/12750。拜恩開(kāi)出的賭局，對(duì)巴菲特而言期望值的計(jì)算是：（10000/12750-10）=-9.22

不出這十塊錢(qián)，可以理解為巴菲特在概率上的潔癖。任何下注，都需要嚴(yán)格的紀(jì)律。要做到這一點(diǎn)，很多時(shí)候是反人性的，極其不容易，像所謂童子功一樣破不得。

三

有意思的是，期望值這個(gè)概念第一眼看上去特別簡(jiǎn)單，用小學(xué)三年級(jí)的數(shù)學(xué)就能解釋。

但是，只要稍微復(fù)雜一點(diǎn)兒，人就容易暈掉。別說(shuō)你，就連那些名校畢業(yè)的華爾街精英都會(huì)犯迷糊。

有次，《黑天鵝》作者塔勒布去參加紐約市的專(zhuān)業(yè)交易員的內(nèi)部研討會(huì)，有人問(wèn)他怎么看股市，他說(shuō)：我相信下個(gè)星期，市場(chǎng)有很高的概率會(huì)略微上漲。

對(duì)方又問(wèn)，概率有多高呢？

塔勒布說(shuō)：大概70%。

這時(shí)，有個(gè)人坐不住了，插嘴說(shuō)：嘿，塔勒布，你之前還在吹牛說(shuō)你正在大量賣(mài)空股市，也就是說(shuō)賭股市會(huì)下跌。你怎么又說(shuō)上漲的概率高達(dá)70%，你這不是自相矛盾嗎？

那么，塔勒布到底是怎么想的呢？原來(lái)啊，他的確認(rèn)為下個(gè)星期市場(chǎng)有70%的概率上漲，30%的概率下跌。但是如果上漲，可能只會(huì)漲1%，要是下跌的話(huà)，則可能跌10%。

這意味著什么？

我們來(lái)算一下期望值，70%*1%-30%*10%=-2.3%，期望值其實(shí)是負(fù)的。盡管看起來(lái)下周上漲的概率更大，但是，根據(jù)期望值，押股市下跌更可能賺錢(qián)。

說(shuō)到這兒，我想引出一個(gè)特別重要的觀點(diǎn)：

期望值的大小，比勝率的大小更重要。

我們平時(shí)經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到一句話(huà)：我們要堅(jiān)持做大概率成功的事情。——這句話(huà)其實(shí)錯(cuò)了！

我們堅(jiān)持要做的，是正期望值的事情。

太多人混淆了勝率和期望值。人們偏好于看起來(lái)最可能發(fā)生的事情，也就是概率更大的事情，但是卻忘記了，我們要考慮的，是概率乘以對(duì)應(yīng)的報(bào)酬，也就是期望值，這才是我們真正在意的回報(bào)。

比輸贏更重要的，是輸多少和贏多少。

正因此，索羅斯說(shuō)過(guò)：“對(duì)錯(cuò)都不重要，關(guān)鍵是弄錯(cuò)的時(shí)候你損失了多少，判斷正確的時(shí)候又賺了多少。”

四

有些高勝率的事情，極可能期望值是負(fù)的，也不能參與。就像上面說(shuō)的塔勒布的故事。

我們?cè)谌粘Ｉ钪凶鰶Q策的時(shí)候，尤其是涉及到錢(qián)，一定要堅(jiān)持去做正期望值的事情。類(lèi)似于彩票、賭博、抽獎(jiǎng)，其實(shí)都是負(fù)期望值的事兒，不值得參與，這一點(diǎn)我們后面課程會(huì)講得很詳細(xì)，這里只舉一個(gè)小例子。

很多地方有一種抽獎(jiǎng)游戲，花一塊錢(qián)就能抽，獎(jiǎng)品很大，比如價(jià)值1萬(wàn)的高配iPhone。有人可能會(huì)說(shuō)了，一塊錢(qián)而已，不抽白不抽，以小博大嘛。

我們來(lái)算算期望值，假如100萬(wàn)人，去抽20部iPhone，你抽中的概率是五萬(wàn)分之一，假如iPhone值一萬(wàn)塊，你抽一次對(duì)應(yīng)的“報(bào)酬”，是一萬(wàn)塊的五萬(wàn)分之一，也就是兩毛錢(qián)。

所以，看起來(lái)你付出一塊錢(qián)很少，但你其實(shí)是拿一塊錢(qián)去買(mǎi)兩毛錢(qián)的“報(bào)酬”，期望值是負(fù)的八毛錢(qián)，這明擺著吃虧，哪里有什么以小博大呢？

如果你不去追求正期望值的事情，總指望中大獎(jiǎng)，基本上最可能的結(jié)果是：你會(huì)窮得很穩(wěn)定。

當(dāng)然，假如你是商家的話(huà)，你可以設(shè)計(jì)一些類(lèi)似于彩票的游戲來(lái)賺錢(qián)。哈佛早年就靠賣(mài)彩票蓋了兩棟大樓，至今仍在使用。

五

聽(tīng)到這里，學(xué)過(guò)一點(diǎn)概率論的同學(xué)可能要說(shuō)，老喻，這我早知道，你能不能講點(diǎn)兒更燒腦的啊？

讓我們來(lái)做一道題：

你有一套房子，價(jià)值100萬(wàn)。有個(gè)大富豪對(duì)你說(shuō)，來(lái)，你用房子下注，和我玩兒一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，一共有五張牌，其中有個(gè)黑桃K，假如你抽中黑桃K，你能拿到1000萬(wàn)。

你要不要玩兒？

這是一個(gè)對(duì)賭游戲，如果你贏了，不僅能拿回房子，還能賺到1000萬(wàn)。

算一下期望值是1000萬(wàn)*20%-100萬(wàn)*80%=120萬(wàn)，看起來(lái)相當(dāng)可以，當(dāng)然應(yīng)該參與吧？

慢。

你到底要不要去賭，還取決于你是否輸?shù)闷疬@套房子，以及這個(gè)游戲能夠重復(fù)多少次。因?yàn)殡m然期望值是正的，但是極有可能，你還沒(méi)實(shí)現(xiàn)期望值，已經(jīng)把房子輸?shù)袅恕＜偃缒阒挥幸惶追孔樱阍趺闯惺艿闷鹉兀?/p>

從腦筋急轉(zhuǎn)彎的角度，你應(yīng)該拉上四個(gè)朋友，你們五個(gè)人同時(shí)抽，一人抽一張，用500萬(wàn)賭注換回大富豪的1000萬(wàn)，外加抽中的那個(gè)人的房子（價(jià)值100萬(wàn)），然后大家一起平分凈賺的600萬(wàn)，每人能分120萬(wàn)。

我舉這個(gè)例子，是想引出一個(gè)跟期望值一定要同時(shí)使用的特別重要的概念：

遍歷性。

六

遍歷性（Ergodicity） 是一個(gè)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)和概率論中的核心概念，簡(jiǎn)單來(lái)講，就是一個(gè)系統(tǒng)中所有可能的狀態(tài)是不是都被實(shí)現(xiàn)了一遍。

我們?cè)倩仡櫼幌隆捌谕怠钡亩x，期望值是在重復(fù)很多次的游戲中，理論上“預(yù)計(jì)”每次操作平均帶來(lái)的凈收益。重復(fù)越多，平均結(jié)果越接近于期望值。

記住，是重復(fù)很多次的之后的平均結(jié)果。就像上面大富豪和你玩兒的抽撲克牌游戲，雖然算下來(lái)期望值是正的120萬(wàn)，但是并不代表你每次都能賺到120萬(wàn)，大部分情況下，你會(huì)輸?shù)糇约旱姆孔印?/p>

你要么一個(gè)人重復(fù)抽很多次，要么找?guī)讉€(gè)人和你一起，同時(shí)把五張牌抽完，才能實(shí)現(xiàn)遍歷性，從而得到正的期望值。

這意味著一個(gè)嚴(yán)峻的現(xiàn)實(shí)：即使你找到了一件期望值為正的事情，你也可能在實(shí)現(xiàn)“期望值”之前破產(chǎn)，就像上面，還沒(méi)贏到一千萬(wàn)，你已經(jīng)輸?shù)袅俗约狠敳黄鸬哪翘追孔印?/p>

所以，你必須在游戲里堅(jiān)持足夠長(zhǎng)的時(shí)間，實(shí)現(xiàn)遍歷性，這樣，從長(zhǎng)期的角度你是穩(wěn)贏的。

期望值告訴我們，永遠(yuǎn)只參與整體期望值為正的游戲。

而遍歷性揭示了一個(gè)重要的現(xiàn)實(shí)：即使期望值是正的，也需要足夠多的重復(fù)和耐心才能實(shí)現(xiàn)。

如果你無(wú)法支撐到那一刻——比如在抽中黑桃K之前失去了房子——期望值再高也無(wú)濟(jì)于事。

你看，平時(shí)我們喜歡說(shuō)長(zhǎng)期主義，說(shuō)無(wú)限游戲，但是不是要弄懂了背后的數(shù)學(xué)原理，才算真正懂了？

的確，我們應(yīng)該把期望值的計(jì)算，當(dāng)作決策的基本原則之一。

而在人生當(dāng)中，我們不僅要努力找尋那些期望值為正的機(jī)會(huì)，還要想辦法重復(fù)那些機(jī)會(huì)，才能讓期望值從一個(gè)數(shù)字變成我們實(shí)實(shí)在在的回報(bào)。

最后

在這一講的最后，我想根據(jù)今天的內(nèi)容，送給你一個(gè)“期望值決策工具箱”。

當(dāng)你用期望值計(jì)算做一個(gè)決策的時(shí)候，問(wèn)自己以下三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：我是否被高勝率誘惑而忽略了低收益？

問(wèn)題2：我是否被高收益誘惑而忽略了低勝率？

問(wèn)題3：我是否有足夠籌碼多次重復(fù)下注，支撐到正期望值實(shí)現(xiàn)？

做好決策，不是一件容易的事情。

我在得到App做這門(mén)新課，也是一個(gè)自我修煉的過(guò)程。

歡迎你一起來(lái)。

（請(qǐng)掃下圖二維碼。）