小樂數學科普：永無止境的數學分類——《量子雜志》每周數學隨筆

《量子雜志》每周都會解釋推動現代研究的最重要思想之一。本周，數學特約撰稿人Joseph Howlett解釋了數學家為何喜歡對事物進行分類。

圖源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-3-17

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-3-18

18世紀的生物學都是關于分類學（taxonomy）的。生命驚人的多樣性使得人們很難得出生命如何起源的結論。科學家首先必須將事物按正確的順序排列，根據共同的特征對物種進行分組——這并非易事 https://www.quantamagazine.org/phyla-and-other-flawed-taxonomic-categories-vex-biologists-20190624/ 。

從那時起，他們就利用這些龐大的目錄來了解生物之間的差異并推斷它們的進化歷史。化學家們出于同樣的目的建立了元素周期表——對元素進行分類并了解它們的行為。物理學家們建立了標準模型 https://www.quantamagazine.org/a-new-map-of-the-standard-model-of-particle-physics-20201022/ 來解釋宇宙的基本粒子是如何相互作用的。

哲學家米歇爾·福柯（Michel Foucault，1926 - 1984）在其著作《詞與物——人類科學的考古學》（英文版為The Order of Things：事物的秩序）中將這種對分類的關注描述為科學的形成步驟。他寫道：“只有通過對所有可能差異進行連續、有序和普遍的匯總，才能獲得對經驗個體的認識。”

數學家們從未擺脫過這種癡迷 https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-like-to-classify-things-20170815/ 。這是因為數學的動物園讓生物學目錄看起來像一個寵物動物園。它的居民不受物理現實的限制。任何可以想象的可能性，無論是存在于我們的宇宙中還是存在于某個假設的200維宇宙中，都需要考慮。

有無數種不同的分類可以嘗試——群（group）、結（knot）、流形（manifold）等等——而且每個分類中都有無數個對象需要分類。分類是數學家們了解他們正在研究的奇怪、抽象世界的方式，也是他們證明有關它的主要定理的方式。

以數學研究的核心對象“群”為例。“有限單群”（finite simple groups）——所有群的構造積木——的分類是20世紀最偉大的數學成就之一。數十位數學家花了近100年的時間才完成這項工作。最后，他們發現，除了26 個逐項列出的異常值外，所有有限單群都屬于三類 https://www.quantamagazine.org/groups-underpin-modern-math-heres-how-they-work-20240906/ 。

自1994年以來，一群敬業的數學家一直在研究該分類的“濃縮”證明——目前它包含10卷和數千頁，但仍未完成。但這項艱巨的任務不斷取得成果，最近幫助證明了一個幾十年前的猜想 https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/ ，即通過檢查群的一小部分，你可以推斷出很多關于群的信息。

數學不受現實的典型約束，它研究的是可能性。分類為數學家提供了一種探索無限潛力的方法。

最新動態和值得關注的內容

我們在小學學習的第一個數學分類涉及對數字進行分類——分為正數和負數，或者可以寫成分數的數字（有理數）和不能寫成分數的數字（無理數）。

在最近的量子雜志專題中，Erica Klarreich描述了如何證明給定數字是無理數，即使數學家懷疑它是無理數，也是非常困難的 https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/ 。

而且數學家們也喜歡研究許多其他類型的數字（p進數） https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/ 。

在其他領域，數學家根據事物在某種意義上是否“等價”對它們進行分類。在拓撲學中，如果一種形狀可以被拉伸或擠壓成另一種形狀而不會破裂或撕裂，則兩種形狀相同，因此屬于同一類。甜甜圈和咖啡杯相同，但與球體不同。

但判斷更復雜（和高維）的物體是否相同可能非常困難。例如，數學家們仍在試圖弄清楚某些維度上的所有形狀是否都必須等同于球面，或者是否允許更奇特的形式。

Kevin Hartnett在這篇拓撲學概述 https://www.quantamagazine.org/in-topology-when-are-two-shapes-the-same-20210928/ 中寫道，“經過幾個世紀的共同努力，數學家們甚至還未接近完成。”

同樣，分類在結理論中也發揮著重要作用。在一根繩子上打個結，然后將繩子的兩端粘在一起——這就是一個數學結。如果一個結可以在不剪斷繩子的情況下纏結或解開，以匹配另一個結，則這兩個結是等價的。

這個聽起來很平凡的任務有很多數學用途 https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-study-knots-20221031/ 參閱：。

2023年，五位數學家在結理論的一個關鍵猜想上取得了進展 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-this-knot-cannot-solve-major-problem-20230202/ 。該猜想指出，所有具有某種性質（“切片”）的結也必須具有另一種性質（“絲帶”），證明排除了一個可疑的反例。（順便說一句，我經常想搞明白為什么結理論學家堅持使用名詞作為形容詞。）

分類也可以變得更加抽象。理論計算機科學家和數學家都根據分類問題的“難度” https://www.quantamagazine.org/mathematicians-solve-decades-old-classification-problem-20210805/ 對其進行分類 https://www.linkedin.com/pulse/why-computer-scientists-study-hard-problems-quanta-magazine-uphve/ 。

所有這些分類將數學中混亂的無限性變成了可訪問的秩序。這是控制數學想象洪流的第一步。

網絡上

倫敦瑪麗女王大學有一個在線數據庫 https://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/ ，里面有各種有限群及其性質。我最喜歡的命名群是“復單李群”（complex simple Lie group）。（魔群Monster groups，包含小魔群的一個類別，答案太簡單了。）

我可以花一整天時間盯著繩結看，試圖判斷它們是否相同。澳大利亞國立大學的金·莫里森（Kim Morrison）和多倫多大學的德羅·巴爾納坦 （Dror Bar-Natan）制作的繩結圖冊 https://katlas.org/wiki/Main_Page 很好地匯集了繩結（以及它們在歷史和文化中的出現方式）。

還可以看看這個繩結動物園 https://knotplot.com/zoo/ ，你可以點擊每個繩結以交互式3D方式查看它。

數學家們總是忍不住要對整個數學領域進行分類和重新分類。美國數學會最近一次是在2020年 https://zbmath.org/classification/ 。

或者你可以看看量子雜志更直觀的數學地圖 https://www.quantamagazine.org/the-map-of-mathematics-20200213/ 參閱：。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4866240

https://www.quantamagazine.org/phyla-and-other-flawed-taxonomic-categories-vex-biologists-20190624/

https://www.quantamagazine.org/a-new-map-of-the-standard-model-of-particle-physics-20201022/

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-like-to-classify-things-20170815/

https://www.quantamagazine.org/groups-underpin-modern-math-heres-how-they-work-20240906/

https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/

https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/

https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/

https://www.quantamagazine.org/in-topology-when-are-two-shapes-the-same-20210928/

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-study-knots-20221031/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-this-knot-cannot-solve-major-problem-20230202/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-solve-decades-old-classification-problem-20210805/

https://www.linkedin.com/pulse/why-computer-scientists-study-hard-problems-quanta-magazine-uphve/

https://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/

https://katlas.org/wiki/Main_Page

https://knotplot.com/zoo/

https://zbmath.org/classification/

https://www.quantamagazine.org/the-map-of-mathematics-20200213/

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