如何在生活中培養數學思維習慣？

什么是數學思維？數學思維是一種通過抽象、邏輯推理和模式識別，將復雜問題分解并系統化，從而高效解決問題和做出理性決策的思考方式。在人工智能時代，抽象思維、分析能力和決策力已成為無可替代的競爭力。

數學思維的重要性已經毋庸置疑，那么如何用一本書讓即便是數學基礎不好的人也能學會數學思維呢？阿爾伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）的這本《人人都用得上的數學：生活和工作中的數學思維》就做到了這點，這本書不講公式，生動的比喻和案例讓數學思維變得直觀有趣，幫你從“思維混亂”走向“頭腦清晰”。

在書中，我們將學習抽象思維、分析思維、批判性思維、創造性思維等數學思維方法，學會如何分解復雜問題、有效糾錯、邏輯推理和識別模式，這些技能在日常生活和職業發展中至關重要。教你運用概率統計、邏輯推理等數學工具，在考試、工作、購物、理財等場景中做出更理性的選擇。

來源 | 《人人都用得上的數學：生活和工作中的數學思維》

作者：[美] 阿爾伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

作者 | 談天星

任何一個成年人若是被問及對數學作何感想，除少數數學愛好者外，大多只能給你個不冷不熱的回應。他們大概會說：“嗐！我可不喜歡數學。”或者說：“我數學一直很爛！我還是更擅長閱讀（或是藝術、音樂、寫作、體育……）。”再或者說：“高中那會兒，數學課超無聊，我總跟小伙伴傳紙條。”

我們有千百種討厭數學的理由：或許是題海戰術讓我們煩得想哭；或許是我們在高中時代想要融入某個小團體，于是說服自己，我們不喜歡數學〔想想林賽·羅韓（Lyndsay Lohan）在《賤女孩》（Mean Girls）中飾演的角色〕。

甚至，我們曾經喜歡過數學，卻在代數課上遇見了那個人見人嫌的“火車問題”。大多數人可能以為自己并不擅長數學，從小學起就開始相信，自己不是“學數學的料”。

但什么才叫“學數學的料”呢？如果我告訴你，你也能學好數學呢？其實誰都可以是學數學的那塊料。本書第二部分會讓你相信，你有能力，也應該學會像數學家那樣思考，并將向你展示該如何做。

關于什么是“學數學的料”，許多人心中都會有個概念。或許是數學課上舉手最快的那個小孩，或許是總去黑板前求解證明題的那位同學，或許是中學里的數學競賽選手，又或許是學習大學水平課程的高中生。

當然，其中可能有一兩位長大后解決了過去懸而未決的問題，繼而震驚全球數學圈。其余人大概率并未給數學領域帶來什么革新，只是在學生時代，或是更長久的歲月里，一直喜歡著數學。

他們緣何喜歡數學？又是什么樣的思維習慣讓他們在數學上取得了成功呢？

這些人知道如何像數學家一樣思考。或許他們天生就偏愛邏輯思維，或許他們得到了優秀師長的教導，抑或他們年少時便深愛數學，于是大腦得到了鍛煉。而關鍵就在于，他們學會了像數學家一樣思考，你也可以。

你在高中時可能并未意識到，其實數學家與藝術家、音樂家，以及其他創新思考者有許多共同之處。數學是一個富有創造性的領域，它涉及可視化、尋找模式、提出假設，以及做實驗。

你在校園里學到的內容，比如背誦乘法表，或是按步驟解決代數問題，和數學家的創造性思維都無甚關聯。鑒于學校教授數學的方式與真正的數學相去甚遠，許多數學教育者都在呼吁教學改革。

2009 年，數學教師保羅·洛克哈特（Paul Lockhart）撰寫了《一個數學家的嘆息：如何讓孩子好奇、想學習、走進美麗的數學世界》（A Mathematician’s Lament: How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form）。這本小書已成為許多數學教育改革者的基礎讀物。

洛克哈特在該書中主張，數學是類似于音樂或繪畫的藝術形式，不過這一觀點尚未得到認可。他對美國教育體制提出了批判：“其實，如果非要我設計出一種機制，專門用來扼殺孩子們天然的好奇心，以及對模式創作的熱愛，我做不到現有教育體系這種程度。我壓根兒就想象不出那些空洞無物、壓制靈魂，卻構成了當代數學教育的理念。”

洛克哈特在該書中將數學教育比作在學校里一味記背樂理，卻未曾真正聽過音樂。如果說，大家在上小學時學習數學只是進行了一系列記憶行為，并未體驗過數學的藝術性與創造力，那我們不免要重新思考，怎樣才算是學數學的料。

我們當中有太多人自小便對數學失去了興趣。如果那時能夠真正認識數學，我們會愛上它的。你或許并不常聽人這樣說：“音樂啊？哎呀，好無聊。我不是學音樂的料。”

數學是一門藝術——這是屬于數學家的秘密。他們知道自己從事數學研究，便如音樂家打磨樂曲、藝術家造就杰作一般。保羅·麥卡特尼（Paul McCartney）聲稱，《昨天》（Yesterday）的旋律源于夢境，這是甲殼蟲樂隊最美的樂曲之一：

在 1998 年為其出版的傳記《多年以后》（Many Years From Now）中，他告訴作者巴里·邁爾斯（Barry Miles）：“當我醒來時，我的腦海中有一段美妙的旋律。我心想，真好聽，這是支什么曲子呢？我身旁有架鋼琴，就在床的右邊，靠著窗戶。下床后，我在鋼琴前坐下，奏出了 G 和弦，接著是升 F 小七和弦，而后從 B和弦轉向 E 小三和弦，最終回到 E 和弦。整個過程流暢自然。我很喜歡這段旋律，只不過，因為是在夢中遇見的，我都不敢相信這是我寫出來的。”

同樣，也有數學家聲稱，他們在睡夢中取得了重大數學發現。印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）堅信，是印度女神通過夢境將方程傳授于他；據稱，法國數學家勒內·笛卡兒（Rene Descartes）早晨躺在床上時，會在半夢半醒間萌生出絕佳的想法，他發明了以自己的姓氏命名的笛卡兒坐標系，也就是標準的二維坐標系。在睡著時或是剛醒時，人處于放松狀態，因而大腦可以對清醒時所專注的問題進行創造和構思，形成相關的想法。

最近的神經科學研究表明，大腦中用于處理數學和語言的區域是不同的。在 2016 年的一項研究中，兩位法國神經科學家阿馬爾里克（Amalric）和德阿納（Dehaene）發現，我們的大腦會在幾乎同一區域處理高等數學以及解決問題，而這些區域與處理語言的大腦區域沒有重疊。這就可以解釋，為什么據稱愛因斯坦曾說：“當我進行思考時，文字和語言，無論是書面的還是口頭的，似乎都起不到任何作用。”

最為關鍵的是，這兩位法國神經科學家還發現，我們上小學時所學習的那種簡單數學也是由同樣的大腦區域處理的。

研究結果表明，當數學家面對其專業領域中的論點或問題時，大腦中的一系列區域，包括左右半球的前額葉皮層、頂葉皮層和下顳葉，就會被激活。普通人在處理數據、做加減運算，或是看見寫在紙上的數學公式時，也是調用這些腦區。

數學家的大腦處理高等數學就和任何人做加減運算是一樣的。這是一項革命性的發現。這表明，我們都能成為數學家，或者至少可以像他們一樣思考。這也證明了“智人對時空與數有著與生俱來的認知”。

于我們而言，這又意味著什么呢？我們可是不大可能會取得革命性數學發現的普通人。這并不意味著，我們隨便睡一覺，就能盼著某個發現會在夢中突然降臨。你不可能一夜之間就跳出尋常人的生活，變成知名數學家（或是作曲家）。但你可以訓練自己的大腦，像數學家一樣思考。這正是本書所要探討的內容。

數學家的大腦并非專為解決復雜數學問題而設計，我們也不是只能停留在基礎的乘法表上。二年級的小孩學數學時用到的腦區和拉馬努金還有笛卡兒是一樣的。當然，并不是誰都能成長為拉馬努金或是笛卡兒，就好像不是每個音樂家都能成為下一個保羅·麥卡特尼，但我們的大腦中都有用于處理數學的必備區域。

那數學家為何會與眾不同呢？除卻一定的天賦外，他們還建立了數學家獨有的思考方式。他們練就了相應的技能以追尋自己所熱愛的藝術。他們大多會為這門藝術傾注大量的時間。他們會與旁人交流，接觸新思想，鉆研問題，他們甚至會在睡夢中思考解決方案。

我們再來細聊一下保羅·麥卡特尼的那則趣聞。

保羅可不是光靠學習鋼琴上的音符，就在一夜之間寫出了《昨天》的曲譜。他學會了音樂的語言（樂譜上的音符意味著什么，如何閱讀并演奏和弦，什么是好的和聲），然后進行了大量的思考。他的大腦得到鍛煉，從而建立了音樂家的思維模式。我們可以猜想，他會將一天中的大部分時間用于對音樂的思考。

研究人員和教育工作者早已知曉，培養一個人像數學家一樣思考是可行的。至于如何實現這一點，尚有爭議。改革數學教育的嘗試可追溯至數十年以前〔湯姆·萊勒（Tom Lehrer）在 1965 年寫過一首歌，叫《新數學》（New Math）a〕。1996 年（洛克哈特的《一個數學家的嘆息》問世以前），一篇關于數學“思維習慣”的重要文章要求進行數學教育改革，以期更為準確地呈現數學家在做什么，是如何思考的。作者們在開篇即指出：“過去的經驗告訴我們，等今天的一年級小學生高中畢業的時候，很可能會面臨如今尚不存在的問題。”

與 21 世紀科技革命以前的 1996 年相比，當下更是如此。作者們認為，數學教育一直就是讓學生記憶“一堆事實”。

他們呼吁對數學教育進行徹底的改革，所以文章中關注的并非數學家推演出了什么事實，而是他們的思維習慣。作者們提議，應當教會學生思考，而非對其灌輸數學家的思想。他們寫道：

我們設想的課程會將創造數學的方法與研究人員使用的技術提升至與研究結果同等的地位。我們并非要將大批高中生培養成大學里的數學家，而是希望幫助高中生學習并采用數學家思考問題的一些方式。

作者們希望，教育能塑造出對模式敏銳、會做實驗、能把問題講清楚、有匠心、有創造力、有想象力、能提出猜想與假設的一群人。傳統觀念則與此截然不同，認為數學就是需要記記背背的基礎算術。

為闡明如何教授數學思維， 2010 年美國首次頒布的《共同核心州立數學標準》（“Common Core State Standards for Mathematics”）列出了八項數學實踐標準（SMPs），可與學生在 K-12 教育階段中學習的數學概念同時進行教學。有時，它們會被寫成更適合孩子的語言；甚至于，你會在孩子教室的墻上看見寫有這些實踐內容的彩色海報。這八項實踐標準如下：

1. 理解問題，鍥而不舍地解決問題；

2. 進行抽象和定量推理；

3. 構建可行的論證，評判他人的推理；

4. 建立數學模型；

5. 戰略性地使用合適的工具；

6. 注重精確性；

7. 尋找結構，加以利用；

8. 在重復推理中尋求規律，表達規律。

參照這些實踐標準，即便沒有正規的數學知識，你也能像數學家一樣思考。數學家所做的事情就是運用邏輯、探尋模式、抽象推理，即便遇到難題也絕不放棄，并堅持不懈地尋求解決方案（說不定人家會去睡一覺，在夢里繼續求解）。顯而易見，像數學家一樣思考對于我們個人和整個社會都大有裨益。這些都是21 世紀所需的技能。

當我們希望憑借數學來應對 21 世紀的問題時，就會知道不能僅憑字面意思來理解愛因斯坦的話。雖說大腦中用于處理語言和數學的區域是不同的，但我們學習數學時仍然需要語言。說不定你就是那種會被代數中的文字題勸退的人。我不會讓你把文字題撕了，扔出窗外。文字題，尤其是實際生活中的問題，對于數學教育至關重要。

你在數學課上看到的問題大多與現實生活沒什么關系。說不定你還記得自己在初二時向老師抱怨過：“可我什么時候才會需要知道這個呢？”數學課上的許多問題都是人為設定的。你不大可能上了某趟火車，朝著某個方向前進，然后需要計算出何時會與另一列反向行駛的火車相遇。但在日常生活中，你會遇到各種各樣的數學問題，你可能甚至都沒意識到那些就是數學。

你喜歡領優惠券嗎？如果你正在合計自己的購物預算，盤算著能省下來多少錢，那就是在做數學呀。

你是不是會瞅兩眼手機，想知道電量還能撐多久？這可不就是在做數學嘛。你有沒有粉刷過住宅或是公寓的墻壁？你得算出要買多少油漆。這也是數學。

當然，這些并不是最為激動人心的數學問題（愛因斯坦大概不會去琢磨墻壁的面積），卻都是現實生活中涉及數學思維的問題。你可能每天都在以未曾意識到的方式運用著數學。接下來就要搞清楚數學思維到底意味著什么，然后利用好這些技能，去應對 21 世紀更具挑戰性的問題。

如果你去問教育工作者，21 世紀的學生需要什么樣的技能，你會得到各種各樣的答案。人們大多會提到科技，以及在面對源源不斷的信息時，需要對相關的和不相關的內容加以區分。顯然，誰也不知道我們將來會需要什么樣的技能，但我們無比確信，肯定不是傳統上在校園里學到的那些技能。（因此，從各方面來看，向老師詢問什么時候才會需要知道某個東西，這是正確的做法！）

在 2008 年的一場演講中，富有影響力的教育家肯·羅賓遜（Ken Robinson）將教育體系比作工廠。我們按照出生年份成“批”地打造小孩，期盼著他們能發揮相同的作用。這在工廠作業支撐經濟的時代還算有效，但我們的社會已然發生改變，還將持續飛速變化。

“人們想要知道：我們該如何教育孩子，好讓他們立足于 21 世紀的經濟體系中？”肯問道，“我們連下周的經濟會呈現何種態勢都不知道，又該如何做到這一點呢？問題就在于，現有教育體系的設計、構想與建立，所考量的是另一個時代。”

肯的回答是：學校需要培養的是發散思維，或者說，“對于同一個問題，能夠給出多種可能的答案，以多種方式去解讀”。換言之，我們需要解決問題的技巧。誰的頭腦在技巧方面得到了最好的鍛煉呢？答對了，是數學家。我們知道，要想應對即將到來的未知挑戰，就得有解決問題的技巧。根據神經科學研究，我們還知道，數學家是在大腦中用于解決問題的區域應對挑戰。

也就是說，讀者朋友，你要是能從數學家那里得到啟示，便會立于應對未來挑戰的有利位置。無論背景如何，技能多少，你都可以通過學習數學家的思維方式，以及運用這些技巧，來鍛煉自己的大腦。在這一部分中，你將學會：

1. 培養數學習慣；

2. 成為更好的模式識別者；

3. 運用概率與實驗；

4. 用數學語言描述與表達；

5. 動手嘗試；

6. 發明創造；

7. 可視化；

8. 提出猜想。

你可能會注意到，這些技巧基于我們之前討論過的思維習慣和數學實踐標準。這并非巧合。數學家與頂尖的數學教育工作者都知道，像數學家一樣思考的前提條件是什么。

你會從每一章中了解到，數學家是如何運用各種技巧或思維習慣的；各章還會給出一些竅門與練習，幫助你像數學家一樣思考。別擔心，這不是數學課本，而是提供了鍛煉大腦的方法，這樣你就能以數學家的思維模式著手解決問題。

《人人都用得上的數學：生活和工作中的數學思維》

作者：[美] 阿爾伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

譯者：談天星

文科生也能掌握的數學思維入門寶典！

1.提升核心思維能力：數學思維是一種通過抽象、邏輯推理和模式識別，將復雜問題分解并系統化，從而高效解決問題和做出理性決策的思考方式。

2.與生活緊密相關：本書介紹了“系統性思維”“批判性思維”“模式識別”等實用策略，教你運用概率統計、邏輯推理等數學工具，在生活中做出更理性的選擇。

3.文科生也能輕松掌握：本書不講公式，生動的比喻和案例讓數學思維變得直觀有趣，幫你從“思維混亂”走向“頭腦清晰”。