《人類(lèi)科學(xué)技術(shù)史-106》中國(guó)魏晉南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)

中國(guó)魏晉南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)

《九章算術(shù)》的問(wèn)世，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系已初步形成。在這個(gè)基礎(chǔ)上，魏晉南北朝時(shí)期(公元3-6世紀(jì)），數(shù)學(xué)又得到長(zhǎng)足發(fā)展，取得了許多輝煌的成就，對(duì)《九章算術(shù)》的檢驗(yàn)、趙爽的《周髀算經(jīng)注》、劉微的《九章算術(shù)注》及其他成就都極為重要，而祖沖之父子的貢獻(xiàn)更將這一時(shí)期的數(shù)學(xué)推向高峰，使之成為中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的黃金時(shí)代。

1.趙爽與《勾股圓方圖注》

趙爽(約公元3-4世紀(jì)）是我國(guó)歷史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)方面的成就，主要體現(xiàn)在《周髀算經(jīng)注》一書(shū)中，其中尤以《勾股圓方圖》最有價(jià)值。《勾股圓方圖》是作為《周髀算經(jīng)》的注文而存于書(shū)中的，全文只有530余字，但卻包含著很重要的內(nèi)容。趙爽在《圖》中利用圖形的移補(bǔ)湊和而面積不變法(稱(chēng)為演段術(shù)），第一次從理論上證明了勾股定理，并解出勾、股、弦及其和差互求問(wèn)題36種中的24種。另外，圖中還有二次方程的問(wèn)題，趙爽得出了與"韋達(dá)定理"類(lèi)似的結(jié)果，并得出二次方程的根，這是世界上最早的求根公式之一。

另外，趙爽對(duì)分?jǐn)?shù)也有研究，并將分?jǐn)?shù)運(yùn)算上升到理論高度，即同分母運(yùn)算法。

2.劉徽及其成就

劉徽是中國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，生活在三國(guó)時(shí)代，曾從事度量衡考校工作，研究過(guò)天文歷法，還可能進(jìn)行過(guò)野外測(cè)量，但他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)比在天文上卓越，主要成就是：

第一、形成了自己粗略的數(shù)學(xué)思想：主張對(duì)具體問(wèn)題具體分析，不拘于一法，注意尋求數(shù)學(xué)內(nèi)部的一般規(guī)律、轉(zhuǎn)化、推理的邏輯性以及數(shù)學(xué)的直觀性等。

第二、從理論上明確了分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，創(chuàng)造了十進(jìn)分?jǐn)?shù)制(即十進(jìn)小數(shù)制的變形），這是世界上第一次提出十進(jìn)分?jǐn)?shù)概念。

第三、對(duì)正、負(fù)數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)，并給出了較明確的定義以及運(yùn)算法則，是后來(lái)有理數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。

第四、十分重視比例算法，明確了比例的性質(zhì)，并將分?jǐn)?shù)運(yùn)算進(jìn)一步理論化。他還用比例配分法來(lái)解線性方程組，并創(chuàng)造了方程的新解法——方程新術(shù)，從理論上為《九章算術(shù)》中的"直除法"提供了依據(jù)，并對(duì)直除法進(jìn)行了改進(jìn)。在解二元一次方程組時(shí)，他創(chuàng)造性地運(yùn)用了"互乘對(duì)減"的方法(即后來(lái)的加減消元法），并將此法推廣到多元一次方程組的解法中。

第五、研究了等差級(jí)數(shù)，并得出求和公式。

第六、創(chuàng)造了"割補(bǔ)術(shù)"(即"出入相補(bǔ)原理")，并用割補(bǔ)術(shù)論證了立體的體積公式，同時(shí)還創(chuàng)造了利用模型的論證方法，這是中國(guó)最早運(yùn)用邏輯推理的方法來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的科學(xué)嘗試。而且，在實(shí)踐中表現(xiàn)得最為明白，公元263年，他注《九章》時(shí)，對(duì)所有的命題都給出了證明或說(shuō)明。正是利用割補(bǔ)術(shù)，他創(chuàng)造了一條關(guān)于計(jì)算體積的定理，為我國(guó)球體體積的研究奠定了基礎(chǔ)。

第七、創(chuàng)造了"割圓術(shù)"，指出過(guò)去的圓周率近似值的粗疏。在《方田》中，運(yùn)用"割圓術(shù)"系統(tǒng)，嚴(yán)密地利用內(nèi)接正多邊形的面積無(wú)限逼近圓面積的辦法來(lái)求圓周率，他為此計(jì)算到內(nèi)接正3072邊形，由此求得圓周率近似值為π＝3927/1250=3.1416這一數(shù)值已相當(dāng)精確，比歐洲早1000余年。在此過(guò)程中，他創(chuàng)立并使用了極限，他說(shuō)："割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至不可割，則于圓合體而無(wú)所失矣。"

第八、《九章算術(shù)注》的最后一部分《重究》，總結(jié)和研究了古代勞動(dòng)人民的測(cè)量術(shù)，發(fā)展了"二重差方法"，將相似三角形的性質(zhì)進(jìn)一步闡述，并廣泛應(yīng)用。這種重差術(shù)的出現(xiàn)，表明了劉徽在測(cè)量上的造詣之深，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)當(dāng)時(shí)世界各國(guó)數(shù)學(xué)家的水平。唐代以后獨(dú)立成書(shū)，稱(chēng)為《海島算經(jīng)》。

第九、在繼承前人成就的基礎(chǔ)上，利用圖形對(duì)勾股定理進(jìn)行系統(tǒng)多角度地證明，并將它推而廣之。

劉徽注解《九章》，并在數(shù)學(xué)的許多方面作出卓越貢獻(xiàn)，這是空前的壯舉，這使他在中國(guó)數(shù)學(xué)史和世界數(shù)學(xué)史上永耀光采。

3.六部算經(jīng)

與劉徽同時(shí)代，我國(guó)曾出現(xiàn)6部有影響的數(shù)學(xué)著作，它們是約于公元四五世紀(jì)成書(shū)的《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《數(shù)術(shù)記遺》。但這些書(shū)的作者履歷和編寫(xiě)年代不很清楚。這些書(shū)較全面地介紹了當(dāng)時(shí)中國(guó)在數(shù)學(xué)上的成就，影響較大，后來(lái)都被列入唐初十部算經(jīng)之中。特別值的注意的是《孫子算經(jīng)》，該書(shū)約成書(shū)于公元四五世紀(jì)，提出了"物不知數(shù)"的問(wèn)題，兼作了解答。《孫子算經(jīng)》卷下記載："今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二、五五數(shù)剩三，七七數(shù)之剩二，何物幾何？答曰：二十三。"后經(jīng)南宋秦九韶發(fā)展成為一次同余式理論，被稱(chēng)為"中國(guó)式的剩余定理"。在歐洲直到1801年德國(guó)人高斯才提出同一定理。

4.祖沖之父子的貢獻(xiàn)

祖沖之(公元429-500年），字文遠(yuǎn)，今河北淶水縣人，曾在南朝劉宋政權(quán)任從事史、公府參軍等職，長(zhǎng)期從事天文歷法和數(shù)學(xué)研究，公元463年制成《大明歷》，對(duì)前人歷法進(jìn)行了修改。在蕭齊政權(quán)曾任長(zhǎng)水校尉等職。對(duì)機(jī)械制造感興趣，曾制造了指南車(chē)、千里船、水碓磨、欹器、刻漏及其他運(yùn)輸機(jī)械。他還在古籍研究上有一定貢獻(xiàn)。但他最大的成就是在數(shù)學(xué)方面。他給《張章》和劉徽的《重差》作過(guò)注，并著有《綴術(shù)》一書(shū)。

祖沖之的兒子祖暅，博學(xué)多才，曾兩次建議梁朝政府推行《大明歷》，撰有《天文錄》30卷、《漏刻經(jīng)》1卷、《綴術(shù)》6卷(與祖沖之的《綴術(shù)》同名），繼承和發(fā)揚(yáng)光大了祖沖之在數(shù)學(xué)方面的成就。

他們的成績(jī)非常顯著，主要有：

第一、圓周率的計(jì)算。根據(jù)《隋書(shū).律歷志》的記載，祖沖之是在前人的基礎(chǔ)上進(jìn)行了更為精密的計(jì)算。他以一丈作為圓的直徑，并把它為分一億份，一份為一忽，計(jì)算出圓周長(zhǎng)應(yīng)在3丈1尺4寸1分5厘9毫2微7忽和3丈1尺4寸1分5厘9毫2微6忽之間。即3.1415926＜π＜3.1415927將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第7位數(shù)字，這比西方早了近千年。祖沖之在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，給出了兩個(gè)分?jǐn)?shù)值的圓周率，即密率(精確值）π＝355/113=3.1415927，約率：π=22/7=3.14，又稱(chēng)"祖率"，也比西方早了1，000多年。

第二、球體體積的計(jì)算。祖沖之父子完全采用劉徽計(jì)算球體體積的方法，用牟合方蓋(即立方體內(nèi)切球）來(lái)計(jì)算。為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，他們僅用1／8的立方體和所含的1／8的方蓋。

這樣，祖氏父子用直截面積相比的方法巧妙地解出了球的體積問(wèn)題。這就完成了中國(guó)立體幾何的系統(tǒng)性，不失為一項(xiàng)偉大的貢獻(xiàn)。從此，"等高處截面面積相等，則二立方體的體積相等"這一祖氏定理得到廣泛應(yīng)用，產(chǎn)生了極大的影響。國(guó)際上稱(chēng)同樣的定理為卡瓦列利定理，是晚于祖暅1000余年之后發(fā)現(xiàn)的。