1月18日周日開講：見大象之形，致無窮之用|《拓撲學的思維革命：從空間直覺到系統科學》第八課

導語

在前幾講中，我們游歷了拓撲學的深刻理論與眾多應用，由此可見拓撲學不僅存在于抽象的數學世界。這一講將更加徹底地重塑你的觀念：運動軌跡、時空和內部自由度空間是怎樣彎曲的？DNA如何在細胞中纏繞又解開？為什么物理世界中會存在“拓撲相變”和“物質拓撲態”？分析數據時，怎樣用“拓撲形狀”識別復雜結構？拓撲量子計算又是怎樣利用“內蘊形”、其代數不變量及相互關系處理信息的？……這一講將繼續帶大家打破數學、生物、物理、計算與認知的邊界，進一步理解“拓撲”如何成為連接理論與現實的橋梁。

集智學園聯合北京大學博士金威老師開設，以“結構不變性”為核心線索，貫通數學思想史與現代系統科學。課程已于11月23日開啟，歡迎加入課程群交流。

主題：拓撲思想在理論與現實中的應用

課程簡介

目標： 進一步認識拓撲思想在自然與人工系統中的應用，理解“內蘊形及其關系”與“系統穩定性”及“系統的狀態與變化”的關系。

幾何中刻畫“彎曲”的曲率在各尺度中廣泛存在：在宏觀世界的工程與力學系統中，曲率出現在運動學中；在宇觀層次，它刻畫時空，是廣義相對論的核心要素；在微觀尺度上，粒子間的規范場與相互作用由纖維叢的曲率來刻畫。而曲率的整體積分又被拓撲性質所決定。由此，拓撲、幾何與物理在“整體性”“局部-整體關系”和“對偶性”等核心概念下深刻地統一起來。

在生命科學中，DNA 的復制、轉錄與重組是高度受限的拓撲過程：雙螺旋如何在狹小的細胞空間中纏繞、打結，又被精準地解開？紐結論為理解這些過程提供了不可替代的語言。在凝聚態物理中，人們發現某些物質的性質并非由局部對稱性，而是由系統的整體拓撲結構所決定，“拓撲相變”與“拓撲物態”由此成為理解新型材料與量子現象的核心概念。

當今時代數據規模與系統復雜度不斷提升，拓撲思想也進入了計算與信息科學領域。拓撲數據分析（TDA）利用同調與持續同調，從高維、噪聲數據中提取穩定的“形狀特征”，為人工智能、模式識別與復雜系統分析等提供了新的工具。在量子信息與計算領域，拓撲量子計算則試圖利用拓撲不變量的穩定性，對抗環境擾動與退相干問題，將“形之不變”轉化為信息處理的可靠來源。

本講將以一系列跨學科實例為線索，展示拓撲如何成為連接數學理論、自然現象與工程實踐的共同語言。通過這些案例，學生將體會到：面對具體細節的汪洋大海，，我們可以用拓撲思維抓住系統整體的結構性本質；也具備了理解復雜系統穩定性、狀態演化與認知結構的獨特而深刻的視角。本課程亦將在此處開始回望全程，反思拓撲思維在科學與哲學層面的意義。

課程大綱

• 曲率及其應用（續）

• 紐結論與DNA的拓撲異構（酶）

• 拓撲數據分析（TDA）與人工智能

• 拓撲相與凝聚態物理

• 拓撲量子計算、量子拓撲、范疇論與思維科學中的結構不變性

• 互動討論：拓撲思維的數學、科學與哲學意義

關鍵詞

關鍵詞：紐結理論、DNA、拓撲數據分析、拓撲相變、拓撲量子計算

課程信息

課程主題：見大象之形，致無窮之用——拓撲思想在理論與現實中的應用

課程時間：1月18日（周日）晚19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內通知）；集智俱樂部視頻號、b站同步直播，集智學園網站錄播（3個工作日內上線）

課程主講人

金威，北京大學基礎數學博士，博士后。主要研究方向為拓撲學和數學物理。現從事人工智能的基礎理論和算法研發，并致力于數學和系統科學方面的教育/科研和科普活動。《基本粒子：數學、物理學和哲學》一書中文版譯者，《返樸》公眾號作者。研究興趣：屬性論和屬性數學、拓撲學和數學物理、系統科學和復雜網絡、中醫等。

課程適用對象

1. 理工科領域研究者及高年級學生：適合具備基礎數學背景（微積分、線性代數、復變函數、常微分方程）的理工科高年級本科生、研究生及科研人員。尤其適合關注復雜系統、非線性動力學、統計物理、信息科學等方向，或希望將數學思想應用于物理、工程、生命與智能/認知系統的學習者。

2. 喜愛探索和創新學習者：面向對抽象思維、系統建模與跨學科分析有興趣的學生與研究者。鼓勵具備問題意識、善于邏輯推理與思維開放的學習者，通過拓撲學培養結構化與整體化的科學思維。

報名須知

1. 課程形式：騰訊會議，前兩課線上同步直播，集智學園網站錄播，部分課程設置線下課。

2. 課程周期：2025年11月23日-2026年1月，線上課程每周日19：00-21：00進行。

3. 課程定價：前兩節課程免費，全部課程原價599

付費流程

https://campus.swarma.org/course/5647?from=wechat

可開發票

2. 課程頁面添加學員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發票。

課程群內討論交流

拓撲學課程：從空間直覺到系統科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統中會出現周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式？為什么神經網絡、量子物理甚至心理結構，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數學的抽象分支，更提供了系統的思維方式，讓我們理解連續性、結構不變性乃至復雜系統的整體規律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學園聯合北京大學博士金威老師開設，課程于11月23日開啟，歡迎感興趣的讀者加入。

詳情請見：