對話理論物理學家David Tong：量子場論為什么不完整？

導語

量子場論是物理學中最成功的理論之一，特別是其中的粒子物理的標準模型，讓我們對微觀世界的理解達到了空前的高度。但它在數學上是不完整的。為什么會出現數學上不嚴格的問題？量子場論還有什么未解之謎？劍橋大學理論物理學家David Tong給出了他的見解。

關鍵詞：量子場論，量子力學

Steven Strogatz丨采訪

David Tong丨受訪

劉航丨編譯

當追問物質是由什么組成的時，人們沿著還原論的思路探索到了基本粒子組成的微觀世界。似乎到了夸克就是這條線索的末端了，它是物質的最基本組成部分。但事實并不這么簡單。物理學家告訴我們，所有一切是由一種神秘的實質性物質組成的——具有相互作用的量子場。這些看不見的場時而像粒子，時而像波，它們可以相互作用。量子場論稱為迄今為止最成功的科學理論，特別是標準模型，在某些情況下，其預測與實驗的一致性達到了驚人的小數點后12位。除此之外，它還對數學領域產生了巨大的影響。然而，物理學家發現理論中可能遺漏了一些東西，量子場論在數學上是不完整的，為我們留下了許多未解之謎。

近日，Quanta Magazine的播客主持人Steven Strogatz采訪了劍橋大學理論物理學家David Tong，他們從場概念的起源開始，探討了量子場論中一些開放性問題。本文編譯了對話的主要內容。

“場”這個詞是誰發明的呢？一般我們認為是邁克爾·法拉第的功勞。他最初的想法是什么，他又發現了什么?

場（field）一詞是由法拉第（Michael Faraday）發明的，他是有史以來最偉大的實驗物理學家之一。他發現了電磁感應現象。法拉第雖然不太懂數學，但奇妙的是，基于二十多年對電和磁的實驗經驗，他構建了對宇宙運行方式的直覺——他腦海中構想解釋事物運行的方式的圖像，實際上是對我們所生活宇宙的正確描述。法拉第認為兩個條形磁鐵之間存在某種東西，即我們現在所說的磁場，他稱之為力線（line of force），并且認為磁場和磁鐵本身一樣真實。這是一種思考我們所處宇宙的全新方式，他認為宇宙中不僅有粒子，還有另一種非常不同的物質——場——同時存在于空間的任何地方。法拉第最大的貢獻是提出這些場是真實的，跟粒子一樣的真實存在。

用我們現代的語言來說，在宇宙中的每一個點，都有兩個矢量。這兩個矢量告訴我們電場和磁場的方向和大小。這些電場和磁場本身在波動和演變，反過來影響粒子的運動。所以粒子的運動和場的運動之間通過一種復雜的關系相互聯系。

量子力學被發現后，場的概念是如何改變的呢？

我們知道了電場和磁場的存在，電磁場的漣漪就是我們所說的光。而量子革命告訴我們，光本身是由粒子組成——光子。所以問題變成，應該如何考慮場和光子之間的關系？有兩種可能合乎邏輯：一種是認為電場和磁場是由很多很多光子組成的，就像流體是由很多原子組成的；另一種則相反，場可能是最基本的東西，光子來自于場的漣漪。

經過二三十年的發展，科學家認識到，場才是最基本的，場是一切的基礎。從量子力學的角度，電場和磁場的微小波動會變成小束的能量，我們稱之為光子。

物理學史上的最偉大的進步之一，就是理解了所有其他粒子的情況都是一樣的。所謂的電子和夸克本身并不是最基本的物質，在整個宇宙中充滿著各種“場”，就像電場和磁場一樣。我們稱為電子的粒子，實際上是電子場的激發。這對任何其他粒子也是一樣的。宇宙中還有6種不同的夸克場；有中微子場，有膠子場和W玻色子場等等。每當我們發現一個新粒子（最近的是希格斯玻色子），我們就知道了與它相關的是一個場，這些粒子只是相應的場的波動。

有某個特別的人提出這種思維方式嗎？

有一個人，帕斯庫爾·約當（Pascual Jordan）。他幾乎被歷史書抹去了，因為他是納粹黨的關鍵人物。他是量子力學的奠基人之一——他和海森堡等人一起撰寫了初始的論文。他是第一個意識到：從一個場開始，應用量子力學的規則，最終能得到一個粒子。

你提到了很多不同的場，那么它與標準模型是什么關系呢？

標準模型是目前關于我們宇宙的最好的理論，它是量子場論的一個特例。它基本上包含了我們已知的所有粒子，每一個粒子都有一個相對應的場。而標準模型的一系列公式，描述了這些場是如何相互作用的。

理論中包含三種力場。首先是電和磁相關的場（由于法拉第的實驗，我們意識到電場和磁場是同一枚硬幣的兩面，因此算作一個）。然后是兩種核力場：其中一種是膠子場，它與強相互作用有關，將原子核聚集在原子內部；另一種與弱相互作用相關，它們被稱為W玻色子場或Z玻色子場。

標準模型中還包括一些物質場，它們分成3組，每組4個。第一組是我們最熟悉的，第一代電子場，兩個與上夸克和下夸克相關的夸克場，以及電子中微子場。質子包含兩個上夸克和一個下夸克（中子包含兩個下夸克和一個上夸克）。所以這是四種粒子與三種力相互作用的集合。

然后，宇宙決定將這些物質場再重復兩次，所以有了接下來的兩組。第二代四個粒子的集合，分別是μ子、奇異夸克、粲夸克和μ子中微子。第三代包含另外四個：τ子、頂夸克、底夸克、還τ子中微子。自然界有這種自我重復的方式，但沒有人知道原因。我認為這仍然是最大的謎團之一。

最后，還有希格斯玻色子，它將一切聯系在一起——賦予其他粒子以質量。這12個粒子和希格斯玻色子與三種力相互作用的集合組成了標準模型。

一個糟糕的類比是，希格斯場有點像遍布整個空間的糖漿，如果粒子以光速通過希格斯場，它們會因為場的存在而減速，這就在形式上賦予了粒子質量。這確實是個不好的類比，并不是有某種摩擦作用使它們減速了。但要想出一個令人信服的比喻來反映這些方程是相當困難的。

如果沒有希格斯場或者類似的機制，一切會以光速運動？

如果沒有希格斯場，電子將以光速運動，那么相應的原子將不太穩定。中微子幾乎是無質量的，它會以光速傳播。而對質子或中子來說，其質量將和現在的質量基本相同，因為它們內部的夸克幾乎是無質量的，只有0.1%左右，與質子或中子的質量相比微不足道。質子和中子的質量實際上來自于其內部量子場的瘋狂波動，而這部分是量子場論理論中我們最不了解的部分。所以，如果沒有希格斯場，基本粒子會變得無質量，比如夸克、電子；但構成我們的物質的中子和質子不會。它們的質量來自于另一種機制。

考慮質子內部的相互作用，從愛因斯坦的質能方程E=mc2出發，強大的相互作用與大量的能量相關，在某種情況下這些能量轉化為質量，是這樣嗎？是有虛粒子被創造出來然后消失了?所有這些都在創造能量和質量？

這兩種思考方式都是正確的。我之前說的每個質子和中子內部有三個夸克并不完全正確。正確的說法是，在質子內部有數百個夸克、反夸克和膠子，在任何給定的時間，夸克比反夸克多三個，我們稱為三個價夸克（其他成對的夸克和反夸克一般稱為海夸克）。質子是一個非常復雜的物體。它包含數百個，甚至數千個不同的粒子以某種非常復雜的方式相互作用。你可以把這些夸克-反夸克對想象成虛粒子，從真空中跳出來又回到質子內部。或者另一種思考方式是，場本身在質子或中子內部以某種復雜的方式被激發以得到質量。所以，物理就像年少時善意的謊言，隨著年齡的增長，你會意識到事情越來越復雜。

量子場論是一個非常成功的理論，精確度可以達到小數點后12位，這是物理學乃至整個科學界最偉大的成就之一。這也可以說有一種哲學境界，即數學上不合理的有效性。

這確實非同尋常。應該說有一些事情我們可以計算得非常好，當我們知道我們在做什么時，我們真的可以做一些了不起的事情，即使會花很多年的時間。同樣重要的是，實驗上可以很好的測量。

一個例子是被稱為g-2的量（電磁形狀因子），在物理學的大問題中它不是特別重要，但它很典型。一個電子有自旋，如果把電子放在磁場中，自旋的方向會隨著時間推移而進動，而g-2會告訴你進動的速度。人們曾天真地認為這個數字會是1，而狄拉克（Paul Dirac）獲得諾貝爾獎的部分原因就是他證明了這個數字實際是2的近似值。后來，施溫格（Julian Schwinger）、朝永振一郎（Sin-Itiro Tomonaga）和費曼（Richard Feynman）因為證明其值不是2，而是2后小數點多位，最終也獲得了諾獎。隨著理論發展，我們已經可以精確得到小數點后9位。令人驚訝的是，實驗與理論相符合地很好，這些數據一個接一個地相互一致。在某種程度上說，這不是關于世界運行的模型，而是更接近真實世界。

這確實值得稱贊。在歌頌了量子場論之后，我們也應該認識到它是一個極其復雜的，在某些方面存在問題的理論。所以，下面我們想討論下，關于量子場論哪些部分是我們應該存疑的？或者前沿是什么方向？比如說，這個理論是不完整的，是哪方面不完整？關于量子場論還有哪些未解之謎？

這取決于你關心的領域。如果你是一個物理學家，你想計算g-2這個數字，那么量子場論就沒有不完整的地方。當實驗變得更好的時候，我們會做得更好，可以做到你想象的那樣好。

但當我們和純數學家朋友交談時，問題就來了。我們認為量子場論中應用了相應的數學理論，但數學家不理解我們正在討論的問題。這不是他們的錯，而是我們的問題。我們正在處理的數學并沒有建立在一個嚴格的基礎上，而是對各種數學概念的一種反復的嘗試。我們很確定知道我們在做什么，因為跟實驗結果有很好的契合度，但它肯定沒有達到數學家所能接受的嚴格程度。并且，我認為可能物理學家也會越來越不滿意。

應該說這不是什么新鮮事，每當有新的想法，新的數學工具出現的時候，物理學家們總會接納這些想法并運用它們，因為它們可以解決問題。而數學家們總是更“嚴謹”（rigor）一些。但現在，他們好像比我們慢。不知何故，量子場論中在很長時間里幾乎沒有什么進展，或許是我們的路走歪了。有一種緊張是它不能在數學上嚴謹，而不是不想嘗試。

量子場論中，每一個點定義的東西比矢量或數字更復雜？

數學上的說法是，在每一點上都有一個算子，即空間中的每一點上都有一個無限維矩陣，作用于希爾伯特空間。這個算子本身就很復雜，很難定義，因此數學上是極其復雜的。在很大程度上，我們認為世界——空間和時間——是連續的，尤其空間是連續的。所以每個點上都應該有定義：在一個點旁邊，無限小地靠近它之處有另一個點，對應另一個算子。

當你觀察越來越小的距離尺度時，會出現無窮大，不是向外的無窮大，而是向內的無窮大。解決這一問題的一種方法是假設空間不是連續的，事實上，空間很可能就是不是連續的。你可以想象有一個晶格，數學家稱之為格點。你考慮一個點a，距離它有限的距離是另一個點b，在距離b有限的距離是另一個點c，于是你離散了空間。考慮到自由度，物質只定義在這些格點上而不是在某個連續體中。這樣數學家能更好地處理。

但如果我們這樣做，就會有一個問題，我認為這是理論物理中最深奧的問題之一：有一些量子場論，我們根本不能這樣離散化。有一個數學定理禁止我們寫下某些量子場論的離散版本，即Nielsen–Ninomiya定理，該定理指出格點上不具有同時滿足下列所有條件的費米子——厄米性、無加倍子、局域性、手征性。而那些無法離散化的量子場論中，有一種正是描述我們宇宙的標準模型。

從表面上看，這個定理告訴我們，人類并不生活在“黑客帝國”里。在電腦上模擬任何東西的方法是先離散化，然后再模擬。然而，要將我們所知道的物理定律離散化，似乎有根本性的障礙，我們不能模擬物理定律。如果你真的相信這個定理，那么我們就不是生活在模擬的世界。

我可以告訴你更多關于標準模型的具體方面，這使得它很難在計算機上模擬。有一個很好的口號，“Things can happen in the mirror that cannot happen in our world（鏡花水月轉頭空）”。在20世紀50年代，吳健雄實驗發現了宇稱不守恒。這句話的意思是，當你看著發生在你面前的事情，或者你看著它在鏡子里的形象，你能分辨出它是發生在現實世界里還是發生在鏡子里。這是物理定律的一個方面，即鏡子中所反映的與現實中所發生的不同。這點是很難或不可能模擬的。

格點本身在處理宇稱上應該是對稱的。但我相信這是一個微妙的定理。

自然界的每一種粒子，比如電子、夸克，它們分成兩種不同的粒子——左手粒子和右手粒子。這與它們運動時自旋的變化有關。物理定律表明左手粒子與右手粒子感受到的力是不同的。這就是宇稱破壞的原因。

現在，事實證明，寫出一致的數學理論并使左手粒子和右手粒子感受到不同力的性質是一項挑戰。有一些你必須跳過的漏洞，這在量子場論中被稱為反常（anomaly），或反常消除（anomaly cancellation）。而這些微妙之處，只有在空間是連續的情況才能看到。我們無法用格點處理這些微妙的反常，另一方面我們也不能寫出不一致的理論。因此，格點必須掩蓋它的缺點，必須確保給出的是一致的理論。而處理方法就是不允許理論中左手粒子和右手粒子感受到不同的力。

這似乎和拓撲結構有關，有些結構允許出現一些現象。對于這些在弱相互作用中看到的異常現象，連續性是關鍵，而離散空間是不允許的。

這確實與拓撲學有關。

這確實是個很好的切入點，接下來我們來談談量子場論對數學的貢獻。它給了數學家很多靈感，繼而得出了非常深刻的見解，您能講講這個故事嗎，從90年代說起？

這確實是量子場論中最美妙的東西之一，卻也是一種諷刺：我們使用的這些數學技術，起初數學家們都非常懷疑，因為他們認為不嚴格。但在某些情況下，我們幾乎在他們的游戲中打敗了他們。我們可以把數學家感興趣的結果交給他們，這些結果完全改變了數學的某些領域。

這其中最有用的是幾何的思想，應用數學上幾何的思想，物理學家取得了很大的進步。當然，幾何學一直是物理學家的心頭好。愛因斯坦的廣義相對論告訴我們，時空本身就是某種幾何對象。我們現在要討論的即是數學中的流形——它是一些幾何空間。你可以在腦海中先想象一個足球的表面，然后是甜甜圈的表面，中間有個洞。然后推廣到扭結面包的表面，中間有幾個洞。接下來最重要的一步，就是把這些推到更高的維度上，想象一些更高維度的物體有更高維度的孔，等等。

圖片來源：Differential Forms by Hung Nguyen-Sch?fer, Jan-Philip Schmidt

數學家比較關心如何將物體分類，不同類別有什么特點，它們可以有什么樣的結構等問題。而物理學家有一些額外的直覺。

除此，我們還有量子場論這個秘密武器。物理學家們似乎有兩個秘密武器：其一是量子場論，另一個是我們有時“故意”無視其嚴謹性。兩者結合得非常好。比如在一個空間中有一個粒子，或者準確地說是量子粒子，一些非常有趣的事情發生了：它是遍布在空間中的概率波，因為其量子性質，我們能以此了解空間的全局性質。它可以同時感知整個空間，找出洞在哪，谷在哪，峰在哪。所以我們的量子粒子可以做一些事情，比如卡在某個洞里，這樣就能告訴我們空間的拓撲結構。

量子場論的應用有很多重大的成功，其中最棒的一次是在上世紀90年代早期的鏡像對稱，它徹底改變了辛幾何領域。之后內森·塞伯格（Nathan Seiberg）和愛德華·威滕（Edward Witten）解決了一個特殊的四維量子場論，這為四維空間的拓撲結構提供了新的見解。

幾十年來物理學家們從量子場論中提出了新的想法，但卻完全無法證明它們——因為缺乏嚴謹性。這時數學家們出現，這不僅僅是常規的推演可以完成的，他們通常會引入新的想法，用自己的方式來證明這些想法。這些新的想法會反饋給量子場論。因此，數學和物理之間有著非常美妙和諧的發展。事實證明，我們經常問同樣的問題，但使用非常不同的工具，通過彼此討論取得了更多的進步。

你的比喻給出了非常直觀的圖像，對理解量子場的這個離域的概念很有幫助。這種情況下我們不考慮其為點狀的粒子，而是想象成遍布在整個時空中的物質。這些量子場非常適合檢測全局特征。這不是數學上的標準思維方式——我們習慣考慮一個點和這個點的無窮小鄰域。而物理學家卻習慣于思考這些自動全局感知物體——比如這些場，就像你說的，可以嗅出輪廓，山谷、峰值，全局物體的整個表面？

是的，完全正確。其中一些反饋對物理學是非常重要。比如，認識到拓撲學是我們思考量子場論的基礎。一些未來的計劃，比如建造量子計算機，這也許是建造量子計算機最樂觀的方法之一——使用量子場論的拓撲思想。如果這個方案行得通，信息不是存儲在局部點，而是存儲在全局空間。這樣做的好處是，如果你靠近某一點，并不會破壞信息，因為它不是存儲在某一點，而是同時存儲在全局。

現在讓讓我們回到物理。你提到希格斯粒子早在五六十年前就預測到了，但我感覺，物理學家們對此感覺到失望，或者說困惑。他們希望在大型強子對撞機（LHC）的實驗中看到的一些東西還沒有實現，比如說超對稱性。對此我們該怎么理解呢?

LHC建立的初衷是希望能發現希格斯玻色子，我們確實做到了。希格斯玻色子是標準模型的最后一塊拼圖。我們有理由認為，一旦完成了標準模型，希格斯玻色子也將成為指引我們進入下一階段的入口，即下一層次的研究。

希格斯玻色子很特別，它是標準模型中唯一沒有自旋的粒子。在某種意義上，它是標準模型中最簡單的粒子。如果一個粒子不自旋，我們稱之為標量粒子，它的質量可以很輕。但也有一些有爭議的理論，認為不自旋的粒子應該很重，這意味著可能達到最高的能量尺度。

而我們認為希格斯粒子有現在的質量是有原因的。物理學家提出了一些合理的觀點，在和希格斯粒子相同的能量尺度內，應該發現一些其他粒子以某種方式使希格斯玻色子穩定。一旦希格斯粒子出現，就會出現一些額外的粒子。也許它可以用超對稱的解釋，也許它可以用所謂的藝彩理論（technicolor）解釋，有很多很多相關的理論。而LHC的實驗、探測器的靈敏度方面都超出了所有人的預期。這些實驗學家絕對是英雄。

然而，目前在正在探索的能量尺度上是沒有別的東西。我們認為我們應該發現一些新東西，可是還沒有。我們仍感覺理論是對的，不知道為什么出了問題。所以，我們在量子場論中可能遺漏了一些東西，這是令人興奮的。在科學領域犯錯是件好事——只有當你知道犯錯的時候，你才能最終被推向正確的方向。

這是一種很好的態度，從悖論和失望中取得了如此多的進展。我們來思考一些宇宙學的問題，比如暗物質、暗能量、早期宇宙……大爆炸之后，那時我們還沒有真正的粒子。我們有什么呢，是量子場嗎？

大爆炸之后有一段時間被稱為暴脹，宇宙膨脹得極快，此時存在量子場。我認為在整個科學領域中最驚人的事情之一就是量子場有漲落，它們總是上下跳動。因為量子漲落，以及海森堡的不確定性原理，量子場不可能精確的是零或某個值，它們總是在量子不確定性中上下波動。

在最初的幾秒鐘里究竟發生了什么——幾秒鐘實在太長了。大爆炸的最初的10-30秒宇宙膨脹得非常快。這些量子場在某種程度上陷入了一種行為，它們在波動，但隨著宇宙將它們拉到巨大的尺度，這些波動被困在那里，它們不能再波動了。但這些波動傳遍了整個宇宙，它們傳播得太遠了，波動的一部分不知道另一部分在做什么。

神奇的是我們現在可以看到它們。我們給它們拍了照片，它被稱為宇宙微波背景輻射。這是138億年前充滿宇宙的火球的照片。我們所看到的波紋是由這些量子漲落在宇宙大爆炸后的最初幾秒內播下的種子。我們可以計算出量子漲落，也可以通過實驗測量宇宙微波背景的漲落。二者結果是相符合的。我們能拍下這些波動的照片是一個令人驚嘆的工作。

圖片來源：wiki

但這里也有一定程度的失望：我們看到的波動很普通，與從自由場中得到的類似。如果我們能得到更多的信息就更好了——在統計學上的波動一般是高斯的，如果能看到一些非高斯性，這將告訴我們在宇宙早期場之間的相互作用。這些非高斯性可能會以星系形成的方式出現，宇宙中星系的統計分布也保留了這些漲落的記憶。我們可以追蹤這些波動，從最早期的階段到現在星系在宇宙中的分布方式，這真的很不可思議。

您說波動和自由場的結果吻合是什么?“自由”是指什么，就是真空本身嗎？

不只是真空，因為隨著宇宙膨脹，這些場會被激發。但它只是一個不與任何其他場相互作用的場，甚至沒有自相互作用。它基本上只像彈簧一樣上下彈跳，每個點都像彈簧一樣上下彈跳，就是你能想象到的最無聊的場。也許未來，我們能更好地研究可能的相互作用的發生。

最后，我們來談談你個人未來的展望。在未來幾年內，你最希望去研究或者解決的問題是什么？

有許多我想去做的研究。在數學方面，我想了解更多關于Nielsen–Ninomiya定理的方面——為什么不能離散某些量子場論。這個定理有漏洞嗎？有沒有什么我們可以拋棄的假設，并以某種方式做到這一點？

在物理學中，所謂no-go定理，通常被稱為“不可行”定理，即你不能這么做，但它通常也暗示了你應該看向的方向。一個正確的數學定理，有非常嚴格的假設，也許我們可以拋棄這個或那個假設，并取得一些進展。

在實驗方面，一些新發現的粒子可以提供新的線索和暗示。最近的一個是W玻色子的質量問題，這看起來很奇怪，有可能提供暗物質的線索。

你提到的暗能量，也可能對量子場論給出了一些建議。所有這些量子場的漲落都應該推動著宇宙的膨脹。但在某種程度上，這比我們實際看到的要大得多。這和希格斯粒子的問題是類似的。為什么希格斯粒子這么輕？暗能量也存在類似的問題。為什么宇宙加速度比我們想象的要小。我們有一些理論來解釋，但很明顯，其中有很多我們不了解的部分。

受訪者簡介

David Tong，劍橋大學理論物理學教授，三一學院Fellow。他的研究方向是量子場論——涉及到物理學及數學許多不同部分的理論。他也是一位極具天賦的教師（http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/teaching.html）。2008年他被授予劍橋大學頒發的最負盛名的獎項之一亞當斯獎。他還得到西蒙斯基金會的資助。

參考資料

1.https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-48497-5_4

2.https://en.wikipedia.org/wiki/Nielsen%E2%80%93Ninomiya_theorem

3.https://en.wikipedia.org/wiki/No-go_theorem

4.https://en.wikipedia.org/wiki/Planck_(spacecraft)

5.https://en.wikipedia.org/wiki/Dark_energy

本文編譯自What Is Quantum Field Theory and Why Is It Incomplete? 原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/what-is-quantum-field-theory-and-why-is-it-incomplete-20220810/

賈治安的量子場論十二講

旨在通過12 次課幫助學生系統掌握量子場論的核心結構，包括自由場、相互作用場、正則量子化、路徑積分量子化、費曼圖、重整化與規范理論等內容。課程結束后，學生應能夠理解量子場論的基礎內容，以及它在在高能物理和凝聚態物理中的典型應用，具備閱讀基礎文獻、進行公式推導以及獨立完成計算的能力。同時，課程還將簡要介紹量子場論的前沿主題，如量子反常、拓撲場論和廣義對稱性，以及一些跨學科主題，比如量子場論在神經網絡、量子計算等方向的應用，以此拓展學生的學術視野。

課程詳情可見：

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