重大突破，三位數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)，建立了整個(gè)物理學(xué)的邏輯體系

1900年8月8日，巴黎，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的講臺(tái)上，戴希爾伯特用德語(yǔ)宣讀了一個(gè)數(shù)學(xué)界聞所未聞的宣言。他沒有報(bào)告某個(gè)最新定理，也沒有演示什么復(fù)雜計(jì)算，而是列出了一份清單——二十三個(gè)尚未解決的問(wèn)題，作為新世紀(jì)數(shù)學(xué)的工作清單。對(duì)他來(lái)說(shuō)，真正重要的不是過(guò)去解出了什么，而是未來(lái)應(yīng)該解什么。

第六題看上去不太像數(shù)學(xué)問(wèn)題。它沒有給出具體方程，也沒有要求證明某個(gè)命題。它提出的，是一種要求：像歐幾里得那樣，用公理化的方式建立整個(gè)物理學(xué)的邏輯體系。

原文是這樣的：“將那些在其中數(shù)學(xué)起重要作用的物理科學(xué)，用幾何所采用的方式，通過(guò)公理加以處理。”——這不是普通意義上的研究任務(wù)，而是一場(chǎng)范式革命的號(hào)召。

十九世紀(jì)末的物理學(xué)雖然已初具體系，卻遠(yuǎn)未形成統(tǒng)一語(yǔ)言。電磁學(xué)、熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域各自為政，充滿直覺性定義、經(jīng)驗(yàn)性假設(shè)和模糊的邊界。一個(gè)物理量在熱力學(xué)中可能叫熵，在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中又是狀態(tài)數(shù)的對(duì)數(shù)，而在動(dòng)力系統(tǒng)中干脆是混沌的度量。不同分支用不同方程描述同一對(duì)象，彼此間的橋梁只是物理學(xué)家的信念，而非數(shù)學(xué)家的定理。

希爾伯特對(duì)此不滿。他要求的不僅是理論一致性，而是邏輯推演上的完備性。正如歐幾里得幾何的全部?jī)?nèi)容都可以從五條公理中演繹出來(lái)，他希望從一組“物理公理”出發(fā)，推出熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)——乃至全部自然規(guī)律。

這就是第六問(wèn)題的真正含義。不是“寫出”某個(gè)模型，而是“證明”不同模型之間的推演關(guān)系。不是構(gòu)造一個(gè)新方程，而是構(gòu)造從微觀到宏觀、從離散到連續(xù)、從力學(xué)到熱學(xué)的邏輯鏈條。

從今天的角度看，這個(gè)要求極不現(xiàn)實(shí)。但正因如此，它才具有哲學(xué)上的重量：它將“物理學(xué)是否數(shù)學(xué)化”這個(gè)常識(shí)性判斷，變成了“能否數(shù)學(xué)化”的根本追問(wèn)。

在這個(gè)意義上，希爾伯特第六問(wèn)題不是一項(xiàng)研究計(jì)劃，而是一種根本立場(chǎng)：自然界的結(jié)構(gòu)是否能被還原為邏輯的演繹系統(tǒng)？

而它之所以如此難，不是因?yàn)樗筇啵且驗(yàn)樗噲D將物理學(xué)的“解釋力”，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的“推導(dǎo)力”。

三個(gè)層次的物理模型

如果說(shuō)希爾伯特第六問(wèn)題是一道橋梁工程的藍(lán)圖，那么它要跨越的，不是河流，而是三個(gè)尺度：從粒子，到群體，再到連續(xù)介質(zhì)。這三個(gè)層次并非理論的分類，而是物理學(xué)中對(duì)同一現(xiàn)實(shí)——比如一團(tuán)氣體——在不同視角下的建模方式。

第一個(gè)層次是微觀模型，統(tǒng)治者是牛頓。

在這個(gè)層面，一切都是確定的。氣體并不是一團(tuán)連續(xù)的霧，而是由無(wú)數(shù)硬球狀的粒子組成，每個(gè)粒子都有精確的位置和速度，在時(shí)間中遵循牛頓三定律推進(jìn)。粒子之間發(fā)生彈性碰撞，守恒動(dòng)量與能量，軌道如行星。這就是所謂的“硬球模型”（hard-sphere model）。從嚴(yán)格意義上說(shuō)，這是物理學(xué)中最“真實(shí)”的模型，因?yàn)樗枋龅氖菢?gòu)成氣體的基本成分——分子——的個(gè)體運(yùn)動(dòng)。

但有個(gè)問(wèn)題：一立方厘米的空氣大約包含10^19個(gè)分子。沒有人能寫下這么多方程，更沒有人能解出它們。因此，即使這是最基本的圖景，它在實(shí)踐中幾乎毫無(wú)用武之地。

于是，物理學(xué)進(jìn)入第二個(gè)層次：中觀模型，主角是玻爾茲曼。

這里不再嘗試追蹤每一個(gè)粒子，而是引入一個(gè)分布函數(shù) f(x,v,t)：在位置 x、速度 v、時(shí)刻 t，有多少粒子以該速度存在。這個(gè)函數(shù)不描述單個(gè)粒子，而是描述整體的概率密度。它是統(tǒng)計(jì)的，但又比宏觀流體模型細(xì)致許多。它知道粒子的速度分布、知道碰撞頻率、知道局部非平衡態(tài)。這種描述的核心是玻爾茲曼方程，它告訴你：如果你知道現(xiàn)在的分布 f，你就可以預(yù)測(cè)它下一刻的演化。

玻爾茲曼模型的奇妙之處在于它的兩面性。一方面，它不需要解出所有粒子的軌跡；另一方面，它仍然源于牛頓動(dòng)力學(xué)，并試圖保留微觀信息。它是連接微觀粒子與宏觀現(xiàn)象之間的橋梁，是物理建模中最精致、最難以把握的中層。

然后，我們到達(dá)第三個(gè)層次：宏觀模型，舞臺(tái)屬于納維-斯托克斯。

在這一尺度下，我們放棄了對(duì)粒子的所有痕跡。氣體被視為一種連續(xù)介質(zhì)，像是一塊可變形的橡皮泥，可以被壓縮、拉伸、卷曲、旋轉(zhuǎn)，但再也看不見里面的微粒。它的狀態(tài)由密度、速度場(chǎng)和溫度等“場(chǎng)量”描述，這些量在空間中變化，并隨時(shí)間演化。其主導(dǎo)方程是納維-斯托克斯方程組，它不再處理分布函數(shù)，而是直接描述速度與壓強(qiáng)如何在空間中流動(dòng)。

這套方程能夠描述從空氣動(dòng)力學(xué)中的機(jī)翼繞流，到廚房里滾開的水蒸氣，從颶風(fēng)的路徑到血液在動(dòng)脈中的流動(dòng)，幾乎無(wú)所不能。但它的前提是假設(shè)氣體是連續(xù)的，而不是由粒子組成的。這種近似在多數(shù)情況下有效，但從根本上說(shuō)，它只是對(duì)玻爾茲曼模型的極限處理，而玻爾茲曼本身，又源自牛頓。

于是我們得到了三個(gè)層次，三種語(yǔ)言，三套方程：

• 牛頓描述單個(gè)粒子的命運(yùn)；

• 玻爾茲曼描述粒子群體的統(tǒng)計(jì)分布；

• 納維-斯托克斯描述宏觀物質(zhì)的整體運(yùn)動(dòng)。

三者共同描述同一個(gè)物理現(xiàn)實(shí)：氣體。但它們之間的邏輯關(guān)系，并不透明。每一層都有自己的假設(shè)、變量和演化機(jī)制。物理學(xué)家傾向于認(rèn)為這三層“兼容”，但數(shù)學(xué)家想知道，它們是否可演繹。是否可以從牛頓方程推出玻爾茲曼方程，從玻爾茲曼方程推出納維-斯托克斯方程？是否可以證明，三者并不是不同的模型，而是同一個(gè)模型在不同分辨率下的變形？

希爾伯特第六問(wèn)題，正是要求證明這一點(diǎn)——在邏輯上，而不僅是物理直覺上。

如果你希望繼續(xù)，我們可以進(jìn)入第三點(diǎn)：“歷史上嘗試的突破”，介紹20世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)家如何嘗試接通上述模型之間的推導(dǎo)鏈條，但都止步于早期階段。是否繼續(xù)？

歷史上嘗試的突破

盡管希爾伯特第六問(wèn)題提出于1900年，它真正引發(fā)系統(tǒng)性回應(yīng)是在二戰(zhàn)之后。20世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)界大多將注意力放在解析函數(shù)、偏微分方程、泛函分析等工具的建設(shè)上，為以后的攻堅(jiān)戰(zhàn)準(zhǔn)備武器。但當(dāng)人們真正著手處理第六問(wèn)題時(shí)，才發(fā)現(xiàn)這不只是數(shù)學(xué)難題，而是數(shù)學(xué)方法論本身的極限測(cè)試。

先看從玻爾茲曼到納維-斯托克斯這一段。這是三段鏈條中最早取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的部分。物理學(xué)上，人們一直認(rèn)為玻爾茲曼方程在特定條件下趨于局部熱平衡，熱力學(xué)量在時(shí)間演化中變得光滑，于是可以近似為連續(xù)介質(zhì)。這一過(guò)程稱為流體極限。在數(shù)學(xué)上，這意味著當(dāng)克努森數(shù)（自由程與特征長(zhǎng)度之比）趨于零時(shí)，玻爾茲曼解應(yīng)當(dāng)收斂到納維-斯托克斯解。

上世紀(jì)五六十年代，Cercignani、Grad、Bardos 等人推動(dòng)了這一方向的發(fā)展。特別是Chapman-Enskog展開提供了一種形式上的連接方式：從玻爾茲曼方程出發(fā)，通過(guò)對(duì)分布函數(shù)作漸近展開，可以得到一階近似的歐拉方程，二階近似下引入粘性與熱導(dǎo)，恰好是納維-斯托克斯方程。

數(shù)學(xué)家進(jìn)一步引入函數(shù)空間工具，如Sobolev空間、緊致性、弱極限、熵方法等，來(lái)控制解的行為。這些技術(shù)，使得在某些理想條件下，從玻爾茲曼方程導(dǎo)出納維-斯托克斯成為可能。1990年代，Lions 和 Masmoudi 等人開始建立所謂的耗散極限理論，在無(wú)碰撞極限、低馬赫數(shù)極限等設(shè)定下，也能部分導(dǎo)出連續(xù)介質(zhì)模型。

但這是從中觀到宏觀，鏈條的“后半段”。

問(wèn)題的“前半段”——從微觀牛頓動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)玻爾茲曼方程——才是真正令人絕望的部分。

早在19世紀(jì)，玻爾茲曼就提出了他的分子混合假設(shè)（Stosszahlansatz）：每次碰撞發(fā)生之前，粒子之間的速度分布是獨(dú)立的。但這一假設(shè)始終缺乏從牛頓力學(xué)中嚴(yán)格推導(dǎo)的依據(jù)。它看似自然，卻可能被粒子的前一次碰撞破壞。一旦考慮“再碰撞”（recollision）——即兩個(gè)粒子不止一次碰撞——統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性就難以維持，而再碰撞是不可避免的。

1975年，奧斯卡·蘭福德（Oscar Lanford）邁出了劃時(shí)代的一步。他在極端限制條件下——極稀薄的硬球氣體、非常短的時(shí)間尺度內(nèi)——證明了：在這一時(shí)間區(qū)間內(nèi)，從牛頓力學(xué)確實(shí)可以導(dǎo)出玻爾茲曼方程。這是第一個(gè)真正意義上“從微觀到中觀”的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

蘭福德的證明依賴于精妙的圖論技巧和漸近分析。他將所有可能的碰撞歷史表示為樹狀圖結(jié)構(gòu)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)控制來(lái)排除絕大多數(shù)“復(fù)雜路徑”，最終證明在短時(shí)間內(nèi)，再碰撞的概率可以忽略不計(jì)。但這個(gè)時(shí)間窗口極短，短到大多數(shù)粒子還沒來(lái)得及發(fā)生第一次碰撞，玻爾茲曼方程的演化才剛剛開始。

接下來(lái)的幾十年，無(wú)數(shù)人嘗試延長(zhǎng)這個(gè)時(shí)間窗口，放寬假設(shè)條件，處理更復(fù)雜的初態(tài)，考慮有限體積、有邊界的情況。但都止步于最前沿的混亂。不是因?yàn)樗麄兊募记刹粔颍且驗(yàn)榻Y(jié)構(gòu)本身太復(fù)雜。牛頓力學(xué)的粒子系統(tǒng)雖然形式簡(jiǎn)單，卻擁有幾乎無(wú)限的動(dòng)力學(xué)可能性。任何一個(gè)小的粒子路徑偏差，都可能通過(guò)鏈?zhǔn)脚鲎卜糯鬄檎麄€(gè)系統(tǒng)的行為改變。

于是，20世紀(jì)末的圖景是這樣的：

• 從玻爾茲曼到納維-斯托克斯，邏輯上基本打通，雖然仍需額外假設(shè)與數(shù)學(xué)精煉；

• 從牛頓到玻爾茲曼，只有在短時(shí)稀薄極限下，存在一個(gè)極窄的突破口；

• 三層模型之間的全鏈條推導(dǎo)，依舊未能完成。

數(shù)學(xué)家們?cè)诖藛?wèn)題上留下的，是一個(gè)個(gè)拼圖碎片。每一塊都有意義，但整體畫面仍模糊不清。他們建立了部分極限、短時(shí)存在性、局部控制結(jié)構(gòu)，甚至設(shè)計(jì)了路徑空間上的測(cè)度構(gòu)造，但始終缺少那條決定性的貫通軌道——那條從確定性粒子系統(tǒng)導(dǎo)出不可逆統(tǒng)計(jì)演化的嚴(yán)格路徑。

三位數(shù)學(xué)家的突破性工作

轉(zhuǎn)折點(diǎn)出現(xiàn)在21世紀(jì)的第三個(gè)十年。

2023年末，三位原本并不專攻粒子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)家——鄧宇（Yu Deng）、哈尼（Zaher Hani）、馬嘯（Xiao Ma）——突然宣布，他們完成了從牛頓力學(xué)到玻爾茲曼方程的嚴(yán)格推導(dǎo)，而且不再局限于蘭福德式的極短時(shí)間窗口，而是在更長(zhǎng)時(shí)間尺度、更一般的設(shè)定下，控制住了那個(gè)困擾了百年的難點(diǎn)：再碰撞。

他們的背景原本來(lái)自波動(dòng)系統(tǒng)（非粒子系統(tǒng)）的長(zhǎng)期演化研究。他們擅長(zhǎng)處理非線性干涉、相互作用鏈、復(fù)雜路徑的結(jié)構(gòu)分解問(wèn)題。而正是這些工具，在過(guò)去從未被應(yīng)用于玻爾茲曼問(wèn)題中。

他們將波動(dòng)領(lǐng)域發(fā)展出的頻率解耦、擾動(dòng)穩(wěn)定性、路徑重構(gòu)技術(shù)轉(zhuǎn)化為粒子系統(tǒng)中的碰撞圖譜分析與概率估計(jì)技巧，成功壓縮了再碰撞路徑的復(fù)雜度。他們不再逐個(gè)枚舉所有可能的粒子路徑，而是將這些路徑重新組織為具有控制結(jié)構(gòu)的“模式簇”，再通過(guò)分層控制的方法估計(jì)其整體概率，并嚴(yán)格證明：在稀薄氣體中，粒子之間的再碰撞在統(tǒng)計(jì)意義下確實(shí)可以忽略不計(jì)，從而滿足玻爾茲曼的分子混合假設(shè)。

更重要的是，他們并未止步于“全空間”設(shè)定（即無(wú)限大、無(wú)邊界的理想空間），而是在2024年完成了關(guān)鍵的第二步：將整個(gè)方法遷移到“盒中氣體”模型，即粒子在有限體積中、以周期性邊界反射運(yùn)動(dòng)。這正是現(xiàn)實(shí)氣體模型最基本的形式。

這一成果直接打通了那條從牛頓到玻爾茲曼的通道，而玻爾茲曼到納維-斯托克斯的通道早已在多個(gè)特定情形下建立。因此，首次意義上的希爾伯特第六問(wèn)題的閉環(huán)邏輯鏈條，在一個(gè)完整的建模體系內(nèi)，成立了。

這一鏈條的閉合，除了技術(shù)上的意義，更讓人回想起一個(gè)曾長(zhǎng)期被物理學(xué)家視作“哲學(xué)困惑”的舊問(wèn)題。

牛頓力學(xué)是時(shí)間可逆的。如果你錄像一群粒子撞來(lái)撞去，再將視頻倒放，方程不會(huì)說(shuō)出破綻。軌跡與規(guī)律在數(shù)學(xué)上毫無(wú)異議。

但玻爾茲曼方程不是。它描述的是熵的增長(zhǎng)、系統(tǒng)的彌散、不可逆性。一滴墨水滴入水中，擴(kuò)散是自然的，聚攏是荒謬的。熱從熱源傳向冷體，永不倒流。玻爾茲曼指出：這是統(tǒng)計(jì)的必然——雖然每一個(gè)可逆過(guò)程在數(shù)學(xué)上允許，但它的概率趨近于零。

這個(gè)直覺早就存在，蘭福德曾短暫實(shí)現(xiàn)了它，而鄧宇等人的工作，是首次在嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上確認(rèn)了它。不是哲學(xué)解釋，不是數(shù)值模擬，而是邏輯推導(dǎo)：在牛頓力學(xué)可逆的前提下，宏觀不可逆行為以統(tǒng)計(jì)壓倒性地必然出現(xiàn)。

這不只是對(duì)時(shí)間之箭的一次確認(rèn)，更是對(duì)數(shù)學(xué)本身解釋自然能力的再度擴(kuò)展。數(shù)學(xué)家終于能夠告訴物理學(xué)家：你們一直以來(lái)“合理”的假設(shè)，現(xiàn)在，有了可證明的基礎(chǔ)。