伍鴻熙：向未來的教師傳授中小學數學

數學家伍鴻熙長期關注中小學數學，他指出中小學數學并非大學數學的簡化版，而是一門獨立的 “數學工程”，并提出應向未來教師傳授貼合教學實際的基于原理的中小學數學（PBSM）。本文通過具體教學案例論證其與大學數學的本質差異，為中小學數學教師的培養與教學實踐提供了一些思路。

撰文 | 伍鴻熙 (Hung-Hsi Wu)

翻譯 | 陸柱家

校對 | 童欣

本文譯自：Eur. Math. Soc. Mag., 122 (2021), p.39-45, Teaching school mathematics to prospective teachers, Hung-Hsi Wu. Copyright ? the European Mathematical Society 2021. All rights reserved. Reprinted with permission. 感謝歐洲數學會授予譯文出版許可。
注：原譯文將 school mathematics 譯成“學校數學”，為了便于理解，這里統一將其改成了“中小學數學”。

摘要

什么樣的數學應該教給未來的數學教師，一直是數學教育中的一個長期懸而未決的問題。我們主張我們應該準確地教給他們，他們的工作所需要的：中小學數學。

01

引言

良好的中小學數學教育需要教師有淵博的數學知識。畢竟，一個人不能教他（她）所不知道的內容。但是，至少在美國，我們仍然沒有確定我們應該對未來的教師教什么樣的數學，以使他們知識淵博[12]。

在一篇眾所周知的早在1990年的文章[1]中，Deborah Ball 報道了她對5所大學中的252位未來數學教師的候選人（217名小學教師和35名高中教師）的學科知識研究。該研究集

能夠選擇正確代表這種除法的問題。在一項較小的研究中，217名教師中的35名（25名小學和10名高中）被要求創建一個他們自己的應用問題來正確表示這個除法。35位教師中只有4位（即11%）可以提供一個令人滿意的答案，所有這4位都是高中老師。Ball 與不打算從事教學工作的大學數學專業的學生（分別的）面談關于分數除法的同一主題并未產生更好的結果。她的結論是，未來教師的學科準備迫切需要我們認真重新評估。

探究如何最好地幫助未來教師獲得教學所需的數學理解自然早于 Ball 的研究，至少可以追溯到20世紀初。在新數學階段的衰落時期1960年代，E.G. Begle 也思考了教師的學科知識和他們的學生成績之間可能的相關性。在他1972年對308名高中代數教師的研究[2]中，他沒有發現任何證據表明教師的數學訓練數量會導致學生成績的提高。這一發現在1979年得到進一步證實[3]。

自從 Begle 和 Ball 的工作以來的幾十年里，他們發現的現象變得愈加清晰。我們將首先

科，與我們在大學教授的數學不同，我們可以正確地看待這些數據。

02

分數的除法：兩種觀點

我們將從兩個角度探討分數除法的主題。首先，我們描述小學生需要知道的回答 Deborah Ball 的問題的知識，其次，大學生在代數課程中關于分數除法可以學到的內容。由于篇幅所限，我們將只關注兩者之間的關鍵數學差異，而不涉及教學后果。

當分數除法的話題在小學高年級被提出時，學生們面臨一個真正的概念挑戰：分數的概念比他們曾經遇到過的任何事物都具有更高程度的抽象，而除法的概念是關于分數的4種算術運算中最難以捉摸的。如果學生沒有被告知這些概念的確切含義，他們就無法克服任何一個障礙。亞利桑那州小學老師 Kyle Kirkman 說：

“我了解到精確的數學定義是至關重要的。如果缺乏精確性，學生將用出現在他們的范式中似乎符合想法的任何內容填寫定義所缺失或模糊的內容。并非所有數學本質上都是直觀的，所以這肯定會導致錯誤的結論。[12,§4.2.4]”

不幸的是，中小學數學通常不給出分數的一個精確定義，而是用模糊的隱喻向學生解釋分數，至少不是學生可以用以推理分數的4種運算。我們必須首先描述針對這種可悲情況的補救措施。我們將根據小學生感覺“真實”和“有形”的東西來定義分數，現在普遍接受的定義是所謂的數直線 (即數軸——小編注)上的一個點（見[9,§12.1-12.2]或[11,第1-18頁]），如下所示。我們假設我們可以判斷一條直線上的兩個線段（即閉區間）是否具有相等的長度。數直線是一條水平線，其上的整數 (本文中，凡（非零）整數皆指正整數。——譯注) 已被標識為點，因此數字1,2,3,...相繼放置在0的右側，線段[0,1],[1,2],[2,3],...都具有相同的長度（圖1）。分母等于（例如）5的分數由整數和分點組成：每個線段[0,1],[1,2],[2,3],..被劃分為5個相等的部分，即5個相等長度的線段（圖2）。我們稱這個序列是1/5序

最后一個等式是例行計算。

我們現在已經做了足夠的工作來展示學校老師對小學生正確地教分數除法所需要的最少的數學知識。我們再次指出，這最低限度的知識通常并不是小學生在學校里被教授的。盡管如此，現在是時候討論 Ball 1990年文章中關于為什么大學數學專業的學生也可能不具備此類知識的問題了。我們在下面的討論中將只能提供最簡單的大綱。

一門關于抽象代數的大學課程，它包括數學上定義分數的正確方法，本質上是對學生第一次介紹抽象數學。這樣一門課程的主要目的是引導學生在所謂的抽象數學的新環境中邁出第一步。因而這些課程不懈強調的是正確的定義和證明，以及通過使用邏輯將所有復雜的數學現象簡化為最基本的要素。對于手頭的情況，讓我們把自己放在學生已經擁有整數集

是，等式（1）是中小學數學中的一個定理，而同樣的陳述（5）僅僅是大學數學中的一個定義。

我們現在可以解釋為什么大學數學專業學生通常無法向小學生解釋如何將兩個分數相乘。首先，這些數學專業學生的大多數（如果不是全部的話）在他們自己上小學時都沒有獲得這種知識[16]。更重要的是，他們在大學數學課程中學到的分數是關于有理數集作為一個域的抽象結構，而不是關于分數與日常經驗的關系。所以，并不是大學數學專業的學生都不懂分數，但他們對分數的理解并非是小學生所顧慮的。就乘法是除法的基礎而言，同樣的評論將適用于分數除法的中小學數學，正如我們現在所展示的。

作為大學數學使命的一部分，約簡所有現象到基本要素，中小學數學中的4個算術運算減少

從抽象數學的觀點來看，"除法"只是處于正確位置的乘法。數學專業的學生此時通常會忙于探索新的代數結構（群,域,環等），而根本不顧及任何除法或其在現實生活中的影響帶來的任何困惑。如果他們不能幫助小學生克服"我們的問題不是推理，只是倒置和乘帶來的任何困惑。如果他們不能幫助小學生克服"我們的問題不是推理，只是倒置和乘法"這樣的恐懼，這不是再次——因為他們知道的比學校老師少，而是因為他們知道一些不同于小學生所關心的事情。

03

什么是中小學數學？

通過一個小話題分數除法我們可以看到所謂的大學數學（university mathematics）（大學教授的數學，是為了讓學生做好研究數學的準備）和中小學數學（school mathematics）（在K-12學校教授的數學）之間關鍵的差別。前者的一個主要目標是向學生介紹抽象數學，主要強調的是邏輯完整性，并利用抽象來實現這一目標。不管這做得多么溫和，但也太嚴格、太復雜而不適合在學校使用。主要來自觸覺體驗世界的學校學生需要一座橋梁來幫助他們過渡到抽象世界。中小學數學是那座橋，它應該被認為是一門獨立的學科，致力于定制大學數學以滿足學生的需求，就像化學工程是定制抽象化學原理以滿足人類需求的學科一樣。從這個意義上說，中小學數學是數學工程[7]。

但是，有好的工程，也有糟糕的工程。好的工程總是遵守與其相關的科學學科的基本原理——例如，機械工程不從事設計永動機——但糟糕的工程可能會做相反的事情。就數學而言，至少在美國糟糕的數學工程已經工作了很長時間；它產生的中小學數學似乎是對數學基本原理的嘲弄[16]。但在繼續之前，讓我們陳述數學基本原理的一個版本[8]：

(i)明確的定義（Clear definitions）：精確定義了每個概念，以便用于推理。

(ii)邏輯推理（Logical reasoning）：每個斷言都得到以下推理的支持：解釋為什么它是真的。（據了解，在少數特殊情形，如代數基本定理，可以推遲推理。）

(iii)準確的語言（Precise language）：在真假之間的區別是絕對的學科中，沒有歧義的容身之地。

(iv)連貫性（Coherence）：概念和技能不是零散的和碎片，它們是一個連貫整體的一部分。

(v)目的性（Purposefulness）：每個概念或技能都是有目的的。

在前面關于分數除法的討論中，我們已經看到了它們的全部作用。因此，分數、分數乘法和分數除法都被精確定義，使得利用推理來解釋公式（5）和（6）成為可能。中小學數學

從分數的定義以及整數乘法的定義演變而來的。我們還展示了分數除法的定義是以整數除法的定義為模型的。最后，雖然分數乘法和除法概念的目的非常明顯，但還有許多其他概念或技能在學校課程中的存在并沒有得到很好的解釋，例如，為什么學習如何四舍五入

到最接近的十或最接近的千（見[9,第10章]），為什么取實數的絕對值（見[15,第130-131頁和[14,第120, 123頁]）等。另請參閱下面對斜率（slope）的討論。

我們將參考遵循數學基本原理作為PBSM（Principles-Based School Mathematics（基于原理的中小學數學）；見[5]）的中小學數學。

我們現在有了必要的工具來重新審視教師的數學教育問題，這個問題由 Begle, Ball 和其他人發現，但他們并未給以確切表達。在我們的語言中，他們的信息是，要培養出具有數學知識的教師，我們必須教授他們 PBSM，而不是大學數學。這是因為中小學數學和大學數學是相關但本質上不同的學科，因此了解大學數學并不意味著了解 PBSM。我們用一個小話題——分數除法——強調了他們的不同之處，但是還有很多其他這樣的例子。讓我們簡要地看另外兩個附加的例子以進一步為我們所說的理由辯護：一條直線斜率的概念，以及學校幾何課程的廣泛問題。類似的例子貫穿了6本書（見[9-11,13-15]）。

首先，考慮中小學數學如何處理"斜率"。典型的出發點是讓學生保留他們在 Euclid（歐幾里得）幾何中對直線的幼稚概念，并根據這種幼稚的概念定義斜率。這樣，在坐標平面

最后，關于學校幾何課程的一些評論。這個課程有需要糾正的明顯缺陷。我們已經提出了相似三角形教學與斜率教學相協調的必要性；這種需求通常得不到滿足。還需要解釋全等（congruence）和相似（similarity）的概念，因為它們很自然地出現在日常生活中。但是，學校課程在Euclidean幾何課程中通常只教授三角形（triangle）全等和相似，而從不教授一般幾何圖形的全等和相似。這不僅是通識教育的缺陷，而且對中小學數學課程本身也是有害的，因為拋物線的全等和相似的一般知識將很好地闡明二次方程和函數的主題（見[13,§2.1和§2.2]）。最后但并非最不重要的，Euclidean幾何課程通常被炫耀作為學校教育的皇冠上的明珠，它教學生如何在公理的基礎上利用邏輯嚴格地證明一切。我們越早消除學校學生的這種錯覺越好！的確，從Hilbert（希爾伯特，1862-1943）的工作開始，我們就知道Euclidean幾何的公理系統異常微妙，其內部運作并不適合學校學生的教育（見Hartshorne（哈茨霍恩）著作[4]的前幾章；即使是大學數學專業的學生也會付出沉重的代價）。中小學數學教育應該遠離關于Euclidean幾何公理系統這種編造，而是嘗試引入相當多的冗余假設進入Euclidean幾何，以盡量減少學生一開始證明許多無聊、明顯且難以證明的定理。比較[15,第4-5章]和[13,第6-8章]。

不用說，大學數學的任何部分都不會在高中幾何的演示中解決這些問題。這里需要嚴肅的數學工程，使平面幾何真正為高中生所用。

04

一個存在性證明

到目前為止，我們一直主張有必要對未來的教師教授 PBSM。隱含的假設是 PBSM 總是一直在身邊，并準備好接受。這是所做的一個令人愉快的假設，甚至是一個可以相信的更令人愉快的假設。然而清醒地意識到，世界上各種有缺陷的中小學數學很可能永遠無法定制大學數學在不違反一項或多項數學基本原理的情況下供學校學生使用。Alan Schoenfeld (舍恩菲爾德) 似乎是教育工作者中第一個在 1994 年承認，盡管他認為應該存在類似 PBSM 的東西，但目前還沒有書面證據證明確實如此[6]。我們可以在 2021 年報告，這個假設不再是一個假設：確實存在中小學數學的 PBSM 的完整闡述。它在 6本書中進行了描述: [9, 11]適合 K-5 年級教師，[10, 11]適合 6-8 年級教師，[13-15]適合 9-12 年級教師。

我們可以解釋對 PBSM 13 年的完整闡述這樣的必要性。已經有一些文章和書籍證明了在中小學數學中將推理引入一兩個特定主題的可能性，但如此小規模的討論無法揭示數學基本原理的本質。例如，為了讓教師了解精確定義的必要性，我們不能只向他們展示一些關鍵主題的 PBSM，因為教師需要在中小學數學的各個方面體驗這種需求，包括最普通概念的定義，例如百分率，比，速度，方程，變量，角度，不等式圖像等. 考慮連貫性問題: 當通過顯微鏡觀察中小學數學時，它通常是不可見的，例如關注分數加法或分數除法. 但是當分數的主題被作為一個整體來考慮時，那么等價分數定理將分數的所有不同部分一起變得有些令人嘆為觀止 (見[11, 第 28-86 頁])。在稍大一點的規模上，當除法的概念被證明在整數，分數，有理數和實數上都是相同的時，人們也可以看到工作的連貫性[9]。我們應該補充的是，如果沒有對中小學數學的這種縱向概述，學校幾何課程的缺陷可能就不會被發現。

6 本書對 PBSM 的闡述，除了為學生的中小學數學課本提供基礎之外，還詳細展示了我們如何為教師提供更好的數學教育。在美國，對教師的教學分為 3 個年級段: 小學(K-5 年級)，初中(6-8 年級)和高中(9-12 年級)。如上所述，所說到的 6 本書中編寫時考慮到了這些年級，因此，總的來說，他們現在對由 Begle, Ball 等人隱含地提出的原始問題提供了一個答案，即我們應該教老師什么樣的數學? (在[15, 第 xxi 頁]給出了對這個問題更詳細的答案。) 毋庸置疑，中小學數學課程現在不是——也永遠不會是——都一樣，但盡管如此，我們希望這樣一個完整的 PBSM 闡述將有助于更好的中小學數學教育，因為教育工作者無需執行必要的數學工程。現在應該相對容易地自由修改現有模型[9-11, 13-15]，以滿足不同的需求。

致謝（略）

參考文獻

[1] D. L. Ball, The mathematical understandings that prospective teachers bring to teacher education. Elementary School Journal 90, 449-466(1990)

[2] E. G. Begle, Teacher knowledge and student achievement in algebra. SMSG Reports, No.9, https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED064175.pdf(1972)

[3] E. G. Begle, Critical Variables in Mathematics Education: Findings from a Survey of the Empirical Literature. Mathematical Association of America(1979)

[4] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond. Springer(1997)

[5] R. C. Poon, Principle-based mathematics: an exploratory study. Dissertation at University of California, Berkeley, http://escholarship.org/uc/item/4vk017nt(2014)

[6] A. Schoenfeld, What do we know about Mathematics Curricula? J. Math. Behavior 13, 55-80(1994)

[7] H. Wu, How mathematicians can contribute to K-12 mathematics education. In Proceedings of International Congress of Mathematicians, Vol. III(Madrid, 2006), European Mathematical Society, 1676-1688, http://math.berkeley.edu/~wu/ICMtalk.pdf(2006). 中譯文鏈接>> 數學家如何為中小學數學教育做出貢獻

[8] H. Wu, Phoenix rising. Bringing the Common Core State Mathematics Standards to life. Amer. Educator 35, 3-13, www.aft.org/pdfs/americaneducator/fall2011/Wu.pdf(2011). 中譯文鏈接>>伍鴻熙：鳳凰涅槃——讓核心數學標準煥發生機

[9] H. Wu, Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. American Mathematical Society, Providence(2011). 有中譯本，中譯本書名《數學家講解小學數學》，趙潔、林開亮譯，北京大學出版社.

[10] H. Wu, Teaching School Mathematics: Algebra. American Mathematical Society, Providence(2016). 有中譯本，中譯本書名《數學家講解中學數學——代數》，程曉亮、車明剛、鄭晨譯，北京大學出版社.

[11] H. Wu, Teaching School Mathematics: Pre-Algebra. American Mathematical Society, Providence(2016)

[12] H. Wu, The content knowledge mathematics teachers need. In Mathematics Matters in Education, edited by Y. Li, W. J. Lewis and J. Madden, Springer, Cham, 43-91, https://math.berkeley.edu/~wu/Contentknowledge1A.pdf(2018)

[13] H. Wu, Algebra and Geometry. American Mathematical Society, Providence(2020)

[14] H. Wu, Pre-Calculus, Calculus, and Beyond. American Mathematical Society, Providence(2020)

[15] H. Wu, Rational Numbers to Linear Equations. American Mathematical Society, Providence(2020)

[16] H. Wu, Learnable and unlearnable school mathematics. https://math.berkeley.edu/~wu/AE2020A.pdf(2021)

本文原載于《數學譯林》, 2022, 41(3)。

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