改變數學史的“無窮大”論文，被指“偷”了別人的成果

1874 年，德國數學家格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）發表了一篇論文，證明“無窮大”也有大小之分。這篇論文被后世視為數學史上的里程碑，它奠定了集合論的基礎，讓數學家們第一次認真對待了那個被回避了數千年的概念，康托爾也因此被奉為孤身馴服“無窮大”的天才。

圖 | 格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）（來源：ETH-Bibliotek Z）

但 150 年后，一封重新出現的信件讓人們不得不重新問一個問題：“無窮大”，究竟是誰提出的？

2025 年 3 月 12 日，當代德國數學家德米安·古斯（Demian Goos）來到哈勒大學的一間辦公室。退休教授兼康托爾協會主席卡琳·里希特（Karin Richter）遞給他一個文件夾，里面裝著幾十封發黃的手寫信件。古斯一頁頁翻看，然后停在一封信前。

這封信的日期是 1873 年 11 月 30 日，署名是同為德國數學家的理查德·戴德金（Richard Dedekind）。這封信此前被認為已經遺失，并被認為可能毀于二戰，也可能被康托爾本人銷毀。而這封信的內容，涉及到康托爾 1874 年發表的那篇注明論文的核心部分。

圖 | 理查德·戴德金（Richard Dedekind）（來源：ETH Library）

康托爾、戴德金與“無窮大”的問題

1845 年，康托爾出生于俄國圣彼得堡，11 歲時隨家人移居德國。他的父親曾寫信告誡他，許多有天分的人最終被反對者擊敗，要想成為科學領域的杰出人物，就必須在質疑聲中堅持下去。康托爾終身保存著這封信。

后來，康托爾進入柏林大學學習數學，師從卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）、利奧波德·克羅內克（Leopold Kronecker）等人。康托爾研究的核心問題之一是“無窮大”。在 19 世紀之前，數學家們普遍回避“無窮大”這個概念。

古希臘哲學家芝諾（Zeno of Elea）用“無窮大”構造過悖論，基督教神學則將真正的“無窮大”視為上帝獨有的屬性。大數學家卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在 1831 年的一封信中表示，“無窮大”只是一種說話的方式，而非真正的數學對象。

到 19 世紀下半葉，隨著數學家們開始重新審視數學的基礎概念，“無窮大”問題無法再被忽視。康托爾和戴德金分別獨立給出了實數的嚴格定義。戴德金的方法后來被稱之為戴德金分割。

1872 年夏天，康托爾和戴德金在瑞士度假時相遇，兩人進行了長時間的數學討論，此后保持通信。當時康托爾 27 歲，性格外向，急于發表論文；戴德金 40 歲，性格內向，發表論文謹慎。

1873 年 11 月，康托爾開始和戴德金通信討論一個關鍵問題：能否將實數與自然數一一對應。康托爾已經證明有理數可以和自然數一一對應，因此有理數的集合與自然數的集合大小相同，即數學上所稱的可數。但是康托爾無法證明實數是否同樣可數。

戴德金在 11 月 30 日的回信中說，他也無法證明實數是否可數，但他證明了代數數可以和自然數一一對應。代數數是指代數方程的解，比如 2 的平方根。戴德金在信末寫道，提供這些信息是希望可能會對康托爾有所幫助。

12 月 7 日，康托爾寫信告訴戴德金，他證明實數不可數，即實數的數量多于自然數。但他的證明較為復雜，戴德金隨后回信提出了一個簡化版本，讓證明更清晰且不失嚴謹性。康托爾在收到戴德金的信之前，自己也想到了類似的簡化思路，但是沒有像戴德金那樣寫出完整論證。

論文的發表與一個世紀后的新證據

康托爾當時面臨的問題是：數學界權威克羅內克強烈反對“無窮大”概念，且和戴德金有過節。克羅內克是《克雷爾雜志》的編委，這本雜志是當時最重要的數學刊物之一。如果康托爾提交一篇與戴德金共同署名、且明確提出“無窮大”存在不同大小的論文，很可能會被克羅內克拒稿。

康托爾采取了兩個措施。首先，他為論文選擇了一個只提及代數數的標題，將戴德金關于代數數可數的證明放在前面，當自己的實數不可數證明放在后面，并以低調的措辭呈現。其次，他在論文中只署了自己的名字。

1873 年，康托爾將論文郵寄給《克雷爾雜志》。當年圣誕節前后他寫信給戴德金，稱魏爾斯特拉斯建議他發表這篇論文，并對戴德金寫道“你的意見對我幫助很大”。論文發表后，戴德金中斷了與康托爾的通信，持續大約三年之久。

1900 年前后，戴德金在一張手寫便條中記錄，他曾向康托爾提供代數數可數的證明，以及實數不可數證明的簡化版本，數月之后這些內容出現在康托爾署名的論文中。當時，這張便條并未公開發表。

1930 年代，數學家埃米·諾特（Amalie Noether）和哲學家讓·卡瓦耶斯（Jean Cavaillès）整理戴德金的遺留稿件時發現了戴德金保留的康托爾來信以及這張便條。

他們在 1937 年出版了這些信件，但是并未針對內容做出評論。西班牙塞維利亞大學數學史家何塞·費雷羅斯（José Ferreirós）認為，他們是有意讓信件自己說話。

此后數十年間，歷史學家試圖尋找戴德金 1873 年郵寄給康托爾的信，但一直無果。這些信據稱在康托爾去世后留在哈勒大學辦公室，可能在二戰期間或戰后盟軍占領哈勒時遺失。沒有這些信，學術界無法確認戴德金的說法，因此對于康托爾的爭議也就停留在推測層面。

本文開頭提高的當代數學家古斯曾在阿根廷擔任足球裁判 15 年，后從事數學研究并獲得博士學位，2023 年開始從事科學內容創作。在準備一檔關于康托爾的播客時，古斯注意到了 1993 年費雷羅斯發表的論文，其中指出康托爾可能沒有通過論文署名來體現戴德金的貢獻。但由于缺乏直接證據，這一觀點未被廣泛接受。

于是，古斯開始尋找相關資料。他在一個名為康托爾協會的網站上看到一封 1877 年戴德金寫給康托爾信件的掃描件。網站底部寫道，這些信件是康托爾的后代在 2009 年捐贈的。

古斯通過查閱家譜等資料，找到捐贈者其實是康托爾的曾孫女安吉麗卡·法倫（Angelika Vahlen），法倫是一位考古學家。法倫將信件捐給了哈勒大學，這些信件后來交由康托爾協會主席里希特保管。

圖 | 德米安·古斯（Demian Goos）（來源：Zack Savitsky for Qu）

2025 年 3 月，古斯和里希特見面，查看了她保管的信件。古斯原計劃查看那封 1877 年的信件，卻意外發現了 1873 年 11 月 30 日戴德金寫給康托爾的那封信。信中內容涉及到代數數的可數性證明，這與戴德金后來便條中的說法一致。隨后古斯經過數次溝通，終于從里希特那里獲得了這封信的掃描件，并于 2026 年公開這一塵封許久的發現。

新發現的信件為戴德金便條上的說法提供了直接證據，信中包含的代數數可數證明，與康托爾 1874 年論文第一部分內容是吻合的。戴德金在信末的表述也表明，他確實主動向康托爾提供了這一證明。而關于實數不可數證明的簡化版本，在古斯此次發現的信中并沒有直接提及，這是因為戴德金是在 12 月稍晚的另一封信中提出簡化方案的，而那一封信至今尚未找到。

（來源：University of Halle）

遺產與爭議

盡管通過技巧順利發表了論文，但是康托爾卻在論文在發表后繼續遭到業內反對他的前輩抵制。1883 年，當康托爾申請柏林大學教職時，那位前輩更是直接予以否決。1884 年，康托爾因為抑郁癥首次住院，此后多次因為精神問題住院，與學界漸行漸遠。1917 年，他被送入哈勒大學附屬精神病院，1918 年在院中去世。

康托爾去世之后，他的集合論逐漸被新一代數學家接受，后來成為現代數學的基礎理論之一。他獲得的榮譽包括 1904 年英國倫敦皇家學會頒發的西爾維斯特獎章等。

戴德金對數學的貢獻包括實數定義、代數數論和環論基礎。他的工作對于后世影響深遠，但是公眾知名度遠不及康托爾。在 2026 年的今天，依然沒有英文版的戴德金傳記，他的維基百科頁面長度也只有康托爾頁面的四分之一。

美國圣母大學集合論學者喬爾·戴維·哈姆金斯（Joel David Hamkins）告訴媒體，他對戴德金了解得越多，就越發感受到戴德金的優秀。康托爾證明了很多重要定理，但是戴德金可能是更偉大的數學家。

西班牙塞維利亞大學數學史家何塞·費雷羅斯認為，數學是集體的事業，即使是集合論這樣基礎性的工作，也不是由單個人獨立完成的。康托爾當時年輕、熱情，在發表論文時做出了一個有問題的決定。

此次古斯的發現公開后，部分德國數學家質疑其重要性。古斯回應稱，如果署名不重要，那么論文應該匿名發表。康托爾協會主席里希特說，康托爾是一個不太容易與人建立聯系的人，對他而言這非常困難。費雷羅斯則指出，每個科學領域都需要一個英雄，化學有拉瓦錫，力學有牛頓，相對論有愛因斯坦。總是只有一個英雄的話，通常是簡化之后的敘事。

參考資料：

https://www.quantamagazine.org/the-man-who-stole-infinity-20260225/

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%90%86%E6%9F%A5%E5%BE%B7%C2%B7%E6%88%B4%E5%BE%B7%E9%87%91

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%A0%BC%E5%A5%A5%E5%B0%94%E6%A0%BC%C2%B7%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%B0%94

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