伊斯蘭墻磚藝術的尺規繪制秘籍

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少

本文探究伊斯蘭藝術中具有六重旋轉特征的圖案之間的結構關系，并提出了一種基于將90度角六等分的尺規作圖方法來生成圖案。該方法能夠在正方形和邊長為√3的單位網格內系統地構建各種幾何設計，為當代應用提供了一套實用的設計方法。本研究展示了這一方法如何揭示歷史圖案之間的關聯，并加深對伊斯蘭藝術中共同設計原則的理解。本研究的一項關鍵貢獻是引入了SES-APPS系統（即"加法圖案與多邊形結構"系統），它將模塊化設計元素與多邊形框架相結合。本研究還提出了將這些圖案應用于k-均勻系統以及復雜多面體形式（如立方八面體）的方法，為伊斯蘭幾何裝飾藝術的理論探索和實際設計提供了新的可能性。

引言

伊斯蘭幾何圖案是結合了數學精確性與藝術創造力的深厚知識傳統的產物。在伊斯蘭藝術中，基于使用尺規的傳統設計方法一直是歷史設計過程中不可或缺的一部分。然而，系統全面地研究這些技術的結構和方法框架的工作，仍然是一個有待進一步探索的領域。

本文聚焦于一種特定的設計策略：將90度角六等分。通過在正方形和邊長為√3的單位網格內應用這一原理，研究展示了角度劃分如何能夠生成一系列具有六重旋轉特征的圖案。研究首先分析了位于馬爾丁的茜蒂·拉達維耶經學院米哈拉布中發現的具有p4g對稱性的基礎圖案。例如，圖2中右下角的圖案便是通過將六角星以"點對凹"的配置方式置于正方形的頂點上而構建的，從而保留了部分四重對稱性。接著，本文將分析范圍擴展至瓜廖爾穆罕默德·加烏斯陵墓的雕花屏窗以及祖贊經學院的圖案。這種方法闡釋了尺規作圖法如何揭示出那些在不同時代和地域、看似無關的圖案背后所共通的幾何邏輯。識別這些內在聯系為開發新方法奠定了基礎。

六重旋轉圖案的基本構成

將正方形或長方形的90度角進行折疊或六等分，會產生一個六重旋轉的圖案單元，它通常遵循√3單位矩形的比例，但也可能以其他比例出現。圖1展示了如何使用圓規和直尺構建正方形單位和√3單位矩形。在構建正方形的過程中，所繪弧線的交點可作為后續作圖的參考點（A1）。從正方形頂點向這些內部交點繪制連線，即可將每個頂角六等分（A2）。繪制√3單位矩形時，需先確定其頂邊的位置。為此，我們從右下和左下頂點以60度角作線段，標記這兩條線段與右側和左側邊緣的交點（B1）。然后連接這兩個交點，即完成該矩形的繪制。為了構建本文所示的六重旋轉圖案的基本模板，我們以各頂點為圓心，繪制兩條延伸至相鄰頂點的弧線，從而將每個頂角六等分。當我們從這些弧線的交點向頂點繪制連線時，頂點處的角即被劃分為六個15度的角（B2）。

圖1 使用直尺和圓規繪制正方形單位和√3矩形。

《托普卡帕卷軸》是研究伊斯蘭藝術幾何圖案的重要一手文獻來源（Necipoglu 1995）。盡管該卷軸并未提供關于使用尺規構建圖案的明確信息，但其大部分設計都是在可重復單位網格的四分之一結構內完成的。此外，在圖案背后可以觀察到劃分頂角的淡色線條以及環繞星形的圓圈。這些元素表明，圖案是運用尺規作圖技術構建的，且潛在的放射狀框架是幾何構成過程中不可或缺的一部分。

卷軸所提供的、在技術層面最重要的見解之一，在于圖案結構中存在一種如同外殼般包裹著星形的多邊形構型。這些多邊形用紅色虛線標示。由 E. Hanbury Hankin 發現并命名為“相切多邊形”（PIC）的結構（1925），后來被 Jay Bonner 擴展為一個全面的理論框架，他稱之為“多邊形技法”（2017）。Peter R. Cromwell 對卷軸中幾何設計的分析（2010a；2010b），以及他關于結合一點法與二點法的混合結構的研究（2010c），為多邊形系統的歷史與當代應用提供了重要的見解。Craig S. Kaplan（2005）也做出了顯著貢獻，他將 Hankin 的“相切多邊形”方法改編為計算機輔助設計流程。Kaplan 的方法通過追蹤多邊形的切點來生成星形圖案，為將多邊形系統融入當代設計應用提供了一個實用模型。

這表明，多邊形框架本就內在于卷軸上圖案的建構邏輯之中，并通過尺規作圖得以實現。然而，圖案30和圖案42（Necipoglu 1995）僅能通過尺規近似完成。圖案30是由十六角星和十三角星結合而成，而圖案42則基于十一角星與九角星的共存。在這些案例中，13和11作為質數的存在，是導致尺規作圖難度增加的決定性因素，因此這些圖案只能被近似地繪制出來（Ekizler S?nmez 2024）。

與此類似，本文所探討的每個圖案都是通過基于歐幾里得幾何的尺規作圖法展開的，并且通常是在可重復單位網格的四分之一結構內完成的。這種共有的結構邏輯使我們能夠追溯不同圖案之間的親緣關系。

穆罕默德·加烏斯陵墓及其相關圖案

通常，研究者進行圖案分析時，會聚焦于單一圖案，或至多幾個具有共同結構的圖案。邦納將具有相同多邊形結構的圖案劃分到不同類別中（Bonner 2017）。本研究則首次嘗試運用尺規作圖法來闡明圖案之間存在的緊密聯系。我們通過追溯圖案之間的關聯，如同在不同網絡標簽頁間瀏覽一般，按特定順序展示這些圖案的相互聯系。

建于12世紀末的馬爾丁茜蒂·拉達維耶（又稱哈圖尼耶）經學院米哈拉布上的圖案（圖2），其特點是在正方形的對角頂點處布置了具有60度夾角的六角星（圖3）。這種布局是通過將星形以“點對凹”而非更常見的“點對點”方式對齊實現的。六重旋轉紋樣在正方形單元內的這種布置方式，對于本研究的后續階段至關重要。本文在此示例的基礎上繼續發展出更多的設計。呈對角線相對位置的兩個六角星朝向相反的方向（Ekizler S?nmez 2020a）。我們按照C1至C5的步驟來生成該圖案。重復構成該結構中隱藏的、以紅色、黑色和綠色標示的圖案，可以得到不同的密鋪鑲嵌。此外，通過疊加這些圖案，我們還能繪制出另一種設計。當構成C4圖案的三個結構層用不同顏色高亮顯示時，便得到了CA。其中綠色層描繪了邦納所稱的“振蕩正方形”結構（Bonner 2017）。將菱形二等分，可以得到兩個等邊三角形，這對應于(3^2.4.3.4)型的半規則密鋪，在該密鋪中所有頂點都具有相同的構型。紅色線條代表了可內切于菱形的最大六邊形——這些六邊形是通過切去菱形的角部獲得的。如果將這些觸及黃色正方形區域邊中點的紅色線條，作為邊的平分線在正方形內部延伸，那么由此產生的布局（如CB所示）將生成一個由(3.4.6.4); (3.4^2.6); (4^4) 三種構型組成的三均勻半規則密鋪（Grünbaum and Shephard 1987），即Galebach 61種三均勻密鋪中的第22號（Galebach 2002-25）（圖3）。

圖2 茜蒂·拉達維耶經學院的米哈拉布

圖3 圖案C5的構建步驟及其底層結構層。

通過使用相同的結構和交點，生成了三個設計。這些設計自然與圖2中所示的C5圖案相關。第一個是圖案D（圖4）。在正方形的對角頂點處，布置了頂角為60度的六角星，它們在每個頂點處的旋轉角度不同，分別為30度、90度或180度。D3圖紙展示了該圖案與圖案C5的關聯。該圖案在《托普卡帕卷軸》中被編號為59（Necipoglu 1995），繪制在正方形單位網格內，可通過平移對稱性進行重復以得到完整的密鋪鑲嵌（Ekizler S?nmez 2024）。D5-A中的粉色線段揭示了該設計的走向與結構，而在《托普卡帕卷軸》中，這些線段以紅色虛線形式出現在圖案背后。這一圖案也出現在Bourgoin的圖集中（Bourgoin 1973）以及埃迪爾內塞利米耶清真寺（1574）的窗欞上。

圖4 基于相同結構的三種不同設計。

在D5-B階段，我們對四個蝴蝶形的線條進行了延伸和相交處理。此階段的圖案可見于敘利亞大馬士革的伍麥葉清真寺（715年）的門扇上（Wade 2025），同時也出現在Bourgoin的圖集中（Bourgoin）。在法塔赫布爾西格里（1570–1586），正方形單元網格和√3矩形單元網格被并列應用，這為我們比較這兩種不同單元網格的應用提供了機會。在圖案E中，圖案D里的六邊形被替換成了“面二三角”形。這種與正方形和十二邊形相關的面二三角形，其內角為150度和90度，這分別是十二邊形和正方形的內角。六角星的內角正是90度。此圖案中的所有形態均為模塊化構件。因此，中心的蝴蝶形也與面二三角形相關聯。該圖案出現在伊蒂馬德-烏德-道拉陵墓（1622年）中。在Gabriel的檔案中，也能看到巴特曼省澤伊內爾貝伊陵墓（1473年）的瓷磚設計里有相似的圖案（Yurtta? 2010）。這些模塊化構件對我們研究至關重要。在本研究的后續部分，我們將提出一種用于創建加法圖案的新型模塊化配置方案（圖24）。

該方法的基礎框架是通過將一個正方形的四個角分別六等分而生成的，它作為構建各種幾何圖案的模板。這是因為在設計過程中，通常只需遵循這些引導線并關注某些參考點就足夠了。除了展示如何用最少的尺規作圖步驟構建這個六重系統外，我們還通過圖案F引入了在方法論上具有顯著差異的新途徑，從而擴展了該系統的生成潛力。圖案F3中的蝴蝶形與圖案D5-A中的蝴蝶形具有相同的屬性，但這四個蝴蝶循環的旋轉方向相反。F3圖案見于瓜廖爾的穆罕默德·加烏斯陵墓（16世紀）（圖5）。在探討圖案F所引導出的不同設計之前，我們需先指出另一種設計。觀察圖案的不同方式使我們能根據廣泛的特征對其進行分類，這有助于我們生成新的設計。

圖5 穆罕默德·加烏斯陵墓的雕花屏風圖案，瓜廖爾，16世紀。

《托普卡帕卷軸》中以紅色虛線顯示的圖案，此處用粉色線條表示。在外圍正方形內，由四個風箏形構成一個循環圖案并作為一個獨立單元應用的設計，被Cromwell和Beltrami（2011）稱為“旋轉風箏形”設計。他們認為，此設計是一個由四個風箏形圍繞一個中心正方形組成的有限構圖，而非可重復的密鋪圖案。這種設計在伊朗通常被稱為“chahar toranj”。構成該循環的風箏形，其內角分別為60度、90度和120度（圖6）。此設計以不同角度和比例變化的變體，在伊斯蘭建筑中也能找到（Ekizler S?nmez 2024）。圖6中的紫色正方形單位對應著可通過平移對稱性重復以生成連續表面圖案的單位網格的四分之一。與圖15不同，此處構成圖案的線條并非連續的。

圖6 旋轉風箏形的有限構圖。

當我們突出顯示圖案F3中交于中心點的線條時，便得到了圖案F3-X（圖7）。這一設計見于加濟安泰普16世紀塔赫塔尼清真寺的宣禮塔上。

圖7 F3-X設計。

通過利用D5-A、E4和E3中心的方形，我們得到了DX、EX和FX設計。對圖案D5-A、E4和E3中的半風箏形應用反射對稱再施加旋轉對稱，可以得到六邊形單元；通過重復這些單元，我們得到了DY1、EY1和FY1設計（圖8）。藍色區域標示了這些圖案中的根號三矩形單位網格。在FZ1中，中心六邊形被移除，顯露出其下方的十二角星。有趣的是，EY1結構同時出現在伊蒂馬德-烏德-道拉陵墓（1628年，阿格拉）和魯斯坦帕夏清真寺（1561年，伊斯坦布爾）中，盡管兩地相隔遙遠。

圖8 圖案DX、EX、FX 以及 DY、EY、FY。

首先對圖4中設計底層較大半風箏形區域內的較小半風箏形部分（圖8中以藍色高亮顯示）應用鏡像對稱，然后再施加六重旋轉對稱，我們生成了DY2、EY2和FY2構圖。要得到FZ2圖案，則需要增加一排六邊形單位網格。這種擴展在角落和中心同時生成了十二角星。

DY2設計在伊斯蘭建筑中應用廣泛。埃爾祖魯姆的雅庫提耶經學院（1310年）、阿克薩賴的蘇丹漢驛站（1229年）、布哈拉的米爾-阿拉伯經學院（1536年）以及胡馬雍陵（1570年）等都是使用該圖案的地方。Critchlow的分析揭示了該圖案與(3.4.6.4)半規則密鋪的關聯（Critchlow 2011）。雖然EY2圖案包含的模塊化構件屬于一個在米馬爾·希南作品中廣泛使用的圖案（尤其是在奧斯曼時期，我們將在圖17中將其稱為圖案N），但FY2圖案將在本研究的后續部分中作為一個能夠衍生出不同圖案的結構來使用。

該圖案被應用在埃迪爾內塞利米耶清真寺（1575年）的陵墓圍墻上（圖9）。當我們移除根號三矩形單位網格中心的六邊形后，就得到了圖案FZ。這一圖案可見于伊茲尼克綠色清真寺（1391年）的米哈拉布，以及安卡拉哈吉·穆薩清真寺（15世紀）的敏拜爾欄桿上。

圖9 埃迪爾內塞利米耶清真寺陵墓圍墻上（1575年）

圖案F3呈現出一個略有不同的體系，類似于多邊形結構。在此，我們從另一個角度解釋圖案F3與其他設計的關聯。角落處四分之一大小的六邊形被替換為六角星，其線條經過延伸和相交處理。通過使用60度角和90度角這兩種不同的六角星，我們分別得到了圖案D5-A和圖案E4。在圖10中，可以看到這些圖案的密鋪鑲嵌。背景中的綠色線條標示了一個由 (3.4.6.4); (3.42.6); (4?) 構成的三均勻半規則密鋪系統。

圖10 圖案D5-A與E4及其底層的半規則密鋪。

基于圖4中的圖案F，還可以生成另一種圖案。該圖案出現在Bourgoin的圖集中，這一事實可能表明它存在于歷史建筑中（Bourgoin 1973）。此圖案按照FA-1至FA-5的步驟構建。FA-2階段展示了該圖案內部嵌有我們在圖2中討論過的圖案。此外，該圖案中還隱藏著以綠色顯示的FA-3X“chahar-turanj”圖案。

在FA-5階段的紅色結構中，我們看到了兩種重復出現的形態：蝴蝶形和風箏形。在本研究的這個階段，我們開始思考重新排列這些部件以構建新設計的可能性（圖11）。

圖11 圖案FA的構建過程。

圖12展示了與圖4中圖案F相關的另一種圖案。該圖案尤其在印度的許多建筑中可見，而阿格拉堡的實例最為著名。在示意圖H1中，我們可以看到中心四個旋轉風箏形與紅色蝴蝶形之間的結構關系。在角落處，藍色層的六邊形與紅色層的六邊形完全相同，只是旋轉了90度。

圖12 圖案H的構建步驟。

在圖4中，我們展示了如何將圖案F3用作另一個圖案的骨架。這個新形成的圖案，如圖13所示，如同肌肉般包裹著這個骨架。我們可以按照K1至K6的步驟繪制此圖案。在K7中，我們高亮顯示了圖案中的風箏形。

圖13 圖案K的構建步驟。

該圖案源自祖贊經學院（1219年）（圖14），其歷史可追溯至花剌子模王朝時期。圖案中蝴蝶形的排列方式所構成的設計，與圖3中的圖4-F3圖案密切相關。如圖15中藍色部分所示，繪制并延伸中心正方形的對角線，會得到一個由蝴蝶形水平垂直排列構成的設計，其頂角為150度和90度。在綠色圖層中，我們繪制中心正方形的中線并使其相交，也得到了具有相同蝴蝶形排列的設計，但這次蝴蝶形的頂角為120度和90度。

圖14 祖贊經學院的圖案（1219年）

圖15 基于F3圖案繪制不同的蝴蝶形圖案。

本研究的下一部分將揭示在正方形單位網格內構建的六重旋轉圖案與那些采用√3單位矩形網格的圖案之間的關系。圖8指出了它們在圖案FY的初始階段是如何關聯的。圖1展示了√3矩形的構建方法以及如何將頂角六等分。為了構建圖案FY，我們使用這些線條和頂點作為參考點（圖16）。利用相同的結構，我們可以繪制出FZ圖案。

圖16 圖案FY與FZ的構建過程。

在圖17中，我們參照圖16中使用的方法，通過填充六邊形內部來設計新的圖案。在六邊形內部，我們放置了多種形態，范圍從頂角150度的十二邊形到頂角30度的六角星。在圖案L中，我們對六邊形內的十二邊形線條進行延伸和相交處理（圖17）。如L2所示，當移除十二邊形后，頂角90度的六角星在最終圖案中顯現得更加清晰。邊緣處則留有半面二三角形。

圖17 圖案L、M、N、O、P、L2和O2的構建過程。

在圖案M中，紅色六邊形內部包含著一個六邊形。在這種情況下，邊緣處也是六邊形。在圖案N中，六邊形內部是一個頂角90度的六角星。同樣，邊緣處是面二三角形。在圖案O中，我們將一個頂角60度的六角星放置在六邊形內部。這一次，面二三角形被替換成了等邊三角形。在圖案P中，六邊形內部是一個頂角30度的六角星。這導致邊緣處出現了頂角30度的三角星。使用圖4中圖案D5-A的構件，可以在√3矩形內生成新的圖案。使用這些構件時，我們能得到與圖案O相關的圖案O2。在圖案D5-A和圖案O2中，線條都不是連續的；六邊形在角部是斷開的。

當所有圖案中的構件疊加在一起時，圖案尺寸的變化變得明顯，類似于吸氣和呼氣的過程（圖18）。這些系統性的角度轉換也與構成多邊形結構的線條相關。

圖18 圖案疊加。

為了審視這些均呈現p6m對稱性的瓷磚圖案的視覺連續性和內在邏輯，我們在圖19中并排展示了五種此類變體。通過突出顯示圖案中相應的組成部分，它們之間的相互轉換關系變得可見，從而可以更清晰地理解這些變體之間的結構親緣性。通過這種方法獲得的視覺清晰度，有助于更深入地理解單元內角的細微變化如何影響最終的美學效果。采用與圖20中祖贊經學院圖案相同的方法，可以在√3矩形內生成一個新的圖案，按照R1至R6的步驟進行。該圖案見于開羅的蘇丹·哈桑經學院（1356年）（圖21）（Wade sd）。

圖19 基于局部角度變換的圖案變體。

圖20 圖案R的構建步驟（R1至R6）。

圖21 來自開羅蘇丹·哈桑經學院的幾何圖案。

圖16中的圖案FY類似于一個骨架，而圖案R6則是包裹著它的肌肉。在圖22中，圖案R是通過平移對稱性重復單位網格得到的。如果我們使用紅色六邊形形態作為單位網格并進行重復，就會得到圖案S。此外，如果將蝴蝶形排列成一個旋轉循環并進行重復，就會得到圖案T。

圖22 圖案R、S和T。

一種新的加法圖案系統

本節通過重新評估已開發的基礎設計來回顧研究的軌跡——從最初作為其他構型生成基礎的F3設計開始。在圖23中，展示了與F3設計相關的底層三均勻密鋪，以及它與E4圖案的關系。K6a展示了K6設計與三均勻密鋪之間的聯系。E4+K6a中的復合布局則展示了F3、E4和K6設計在共同的三均勻結構上的疊加。所有重疊的圖案都使用了相近的色調，以清晰顯示它們之間的對應關系。

圖23 具有加法結構的兩個圖案的疊加。

這種視覺呈現使得人們更容易認識到：三均勻系統中正方形區域的邊中點網格對應著F3設計；當這些正方形被細分為4×4單元時，K6設計便顯現出來；而這些正方形的對角線則揭示了E4圖案的結構。在K6b中，我們延伸并相交了祖贊經學院圖案的線條。結果顯而易見，在三均勻密鋪系統上構建該圖案，只需在每個三角形單元內放置一個六邊形，使其三個角接觸三角形各邊的中點，然后將這些六邊形的線條延伸到初始邊界之外即可。

E4和K6圖案在此構型中的疊加，引導我們得到了一種新生的加法圖案。E4結構中的每個模塊化單元都包含一個額外的、幾何上連貫的子設計，從而形成了一個分層的、結構整合的加法構型。除了在此構型中識別出的六角星、蝴蝶形和面二三角形之外，還有其他幾個模塊化構件也對整體幾何結構有所貢獻（Ekizler S?nmez 2023）。

這些模塊化構件幾乎起到了圖案的多邊形結構的作用。換言之，圖案中各種形態的角部恰好接觸這些模塊化構件的中點。這個新提出的系統與該領域中其他多邊形結構最重要的區別在于，它所利用的多邊形結構本身就是伊斯蘭藝術中常見的圖案構件。換句話說，在這里，多邊形結構的線條本身被直接用作圖案，其內部不再填充其他紋樣。圖24展示了從這些加法圖案中衍生出的幾個示例，它們在此被用作多邊形結構。值得注意的是，所有這些設計都可以通過尺規作圖技術實現。

圖24 模塊化構件的變體與新圖案。

文獻中將由兩個重疊圖案層構成的設計稱為“雙層圖案”。這一類別由Bonner（2003）系統性地概念化并引入該領域。此類設計呈現出一種層級結構：主層通常由較大尺度的形態構成，而次層則由較小的元素組成，這些元素參照主層的幾何框架，并使用相同的設計語匯進行運作。例如，如果主層是根據四重幾何系統構建的，那么次層也必須遵循相同的四重結構；五重結構在幾何上是無法兼容的。

Bonner還關注到另一類圖案，他稱之為“加法圖案”（Bonner 2017）。他用這個術語來描述通過在背景區域添加設計線條來修改獨立圖案，從而增加整體復雜性的過程。這種方法最顯著的例子之一可以在馬拉蓋陵墓塔的外立面上觀察到，那里一個連續的五重場域圖案（不包括十角星）通過向背景中添加次級圖案線條而得以豐富。根據Bonner的觀點，這種添加不會改變圖案的結構邏輯，而是為表面引入一種視覺上的動態感（Bonner 2017）。

本研究中提出的SES-APPS（加法圖案與多邊形結構）模型提供了一個框架，用以挑戰并重新思考這兩類圖案之間的界限。在該模型中，所添加的次級層乍看之下可能類似于加法圖案，但實際上，它源自一個獨立的生成幾何學。因此，次級紋樣不僅僅是裝飾性的增強，其本身也代表著結構上連貫的系統。我們基于在祖贊經學院觀察到的圖案以及奧斯曼古典時期清真寺中常見的石制格柵設計所進行的調查表明，這兩類設計都可以使用尺規作圖法構建。更重要的是，它揭示了盡管這兩個系統看起來不同，但它們共享一個基礎的幾何構造。這種共享的構造不僅僅指它們都屬于具有六重旋轉特征的圖案類別，更是指在所提出的基礎框架內，這兩個設計僅通過線條繪制的變體就能推導出來。關鍵的是，我們發現當從祖贊經學院圖案的幾何邏輯出發來審視時，那些格柵圖案展現出了根本性的多邊形結構。在此背景下，SES-APPS模型引入了一個理論框架，該框架重新評估了多邊形系統在圖案生成過程中的作用，并擴展了加法設計的結構潛力。

圖案K也出現在圖24中，其藍色多邊形結構與圖4中的圖案E4完全相同。實際上，圖案S與圖17中的圖案L是一樣的。科尼亞阿拉丁清真寺（1235年）的敏拜爾是能夠找到圖案S的藍色多邊形構件的地方之一。由多邊形構件排列形成的Q形輪廓圖案，位于蓋布澤的喬班·穆斯塔法·帕夏經學院（16世紀）。然而，多邊形內部則是一個全新的設計。圖案R中以藍色線條多邊形構件呈現的圖案，是奧斯曼時期清真寺，特別是希南設計的清真寺中大理石工藝的典型應用。

圖24中的多邊形內部應用了圖案R。盡管圖案W和圖案Z中的藍色線條模塊化構件在伊斯蘭藝術中并不常見，但它是一種全新的幾何設計。通過改變這些構件的排列方式，可以增加這類設計的數量。

針對不同單元網格比例的新方法

到目前為止，本研究討論了具有正方形和√3矩形單元網格的圖案。圖案還可以有許多其他形式的單元網格，例如不同的矩形、菱形或六邊形。歷史上，存在通過排列紅色六邊形和蝴蝶形（120度和90度角）創造圖案的不同實例。開羅的奧斯曼時期建筑之一——布爾代尼清真寺（1616年）的敏拜爾上的圖案就是其中之一。我們將在圖25中創建一個示例來展示另一種可能性。首先，我們確定單元網格四分之一部分的非常規邊界。經過U1和U2階段后，我們利用矩形構建線條的交點進行繪制。一旦圖案開始顯現，我們便借助直尺和圓規完成缺失的線條。

圖25 具有不同形式單元網格的圖案U的構建過程。

在圖26中，由六邊形組成的水平帶以交錯方式排列。這些帶被源自p4g圖案的條帶分隔開來。然而，與標準的p4g構型不同，這里的旋轉點減少為二重，從而導致整體的對稱類型為cmm。

圖26 圖案U及其相關圖案的密鋪。

新方法：立方八面體上的正方形與三角形區域

本研究的最后部分涉及更復雜的設計，通過用八角星替換正方形區域來運用祖贊經學院圖案。基于此設計，我們生成了√3矩形圖案?？紤]到祖贊經學院圖案的鏡像對稱性，該圖案在水平邊和垂直邊上的部分是互不相同的（圖27-K）。以綠色顯示的邊為參考，我們得到了圖27中綠色三角形內部的設計。而以正方形的粉色邊為基準，藍色三角形內部的設計則是我們能夠實現的另一種設計。綠色和藍色三角形角部六角星的方向不同；其中一個相較于另一個旋轉了90度。當我們對等邊三角形應用六重旋轉對稱時，便得到了六邊形（圖27）。

圖27 基于祖贊經學院圖案（圖案K）的兩種六邊形密鋪。

我們可以將三角形、六邊形與正方形結合，生成半規則和半規則變體設計。在(3.4.6.4)半規則密鋪系統中，當綠色六邊形位于中心時，圖案中的三角形將是藍色三角形（圖28）。當將藍色六邊形置于中心時，那么三角形將是綠色的（圖29）。在3^2.4.3.4半規則密鋪中，我們可以更清晰地看到正方形與藍色、綠色三角形之間的關系。在圖30中，我們展示了一種適用于在圖10中發現的(3.4.6.4);(3.4^2.6);(4^4)三均勻半規則密鋪的排列方式，其中六邊形和三角形的位置在四個方向上旋轉。

圖28 一種(3.4.6.4)半規則密鋪。

圖29 一種 (3.4.6.4) 半規則密鋪。

圖30 隱藏在(32.4.3.4)密鋪中的一種(3.4.6.4); (3.42.6); (4?)三均勻半規則密鋪。

將這些圖案K的構件應用于立方八面體的表面，揭示了立方八面體與四正方向圖像之間的關系（圖31和32）。四正方向的圖像，與卍字形也有關聯，在古代思想史中，特別是在中亞社會中占有重要地位。在伊斯蘭建筑中，尤其是在安納托利亞塞爾柱人建造的建筑物中，立方八面體被用于柱廊（H. Hisarligil and B. Hisarligil 2018; ?zgan and ?zkar 2017）。

圖31 圖案K在立方八面體表面的應用。

圖32 立方八面體的3D繪圖。

卍字形可追溯至公元前10,000年，被伊斯蘭化前的突厥人稱為“oz tamga”（本源印記）。Oz Tamga，或稱天輪，由四個角與一個圓形循環結合而成，它象征著統一，并通過火作為轉化的象征概念來體現飛升向神性的過程。在古代突厥人的宇宙想象中，大地（地與水）和以圓形覆蓋大地的天空是兩個基本元素（Esin 2001）。他們認為大地有四個角，并將天空稱為天輪。???r?（土耳其語紡錘）一詞，指的是一種帶有十字形紡輪的手紡錘，是一種通過將羊毛捻成線來手工紡紗的傳統工具，而這種圓周運動象征著天空的運行（?gel 1994）。

在圖31中，立方八面體上圍繞正方形排列的三角形以兩種不同的顏色顯示。圖32則在立方八面體的3D繪圖中標示了藍色和綠色三角形的位置。

結論

本研究揭示了伊斯蘭藝術中具有六重旋轉特征的圖案之間的結構關系，為理解支配圖案構建的基本原則提供了一個系統性的方法。將90度角六等分這一幾何操作，不僅能夠生成新的設計，還能識別出歷史圖案之間的關聯與延續性。該方法展示了如何在正方形和√3單位網格內構建多種多樣的圖案，使尺規作圖法內在的結構邏輯變得清晰可見。

本研究的一項關鍵貢獻是引入了SES-APPS系統（加法圖案與多邊形結構），它通過將模塊化設計元素與多邊形結構相結合，提出了一種新的框架。該系統不僅提供了一種美學語言，也提供了一種結構設計模型，為將具有六重旋轉特征的圖案應用于k-均勻系統和復雜多面體表面（如立方八面體）提供了方法。

總之，本研究展示了共享的基礎構造如何揭示圖案之間隱含的關系，并為生成新的設計可能性奠定了基礎。

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