小樂數學科普：從莫德爾猜想到法爾廷斯定理

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格爾德?法爾廷斯（Gerd Faltings）剛剛獲得2026年阿貝爾獎，他是算術幾何領域的泰斗級人物。其學術思想與研究成果重塑了整個領域，不僅攻克了多項懸而未決的重大猜想，更構建了全新的理論框架，為后續數十年的相關研究指明了方向。本文簡單介紹格爾德?法爾廷斯的學術成就。

圖源：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

作者：阿貝爾獎官網（abelprize.no）2026-3-19

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-3-20

從數學發展歷史來看，這門學科的建立依托兩大核心支柱：數論與幾何學。數論的研究核心是自然數，以及由其拓展而來的有理數。小學階段，孩子們便會學習加法與乘法的運算規則，以及二者間的關聯——乘法可被看作是重復的加法。

但這種淺顯的理解方式，掩蓋了數字背后更為神秘的特質。將加法與乘法結合所產生的復雜問題，一個經典例證便是那個古老的數學問題：兩個完全平方數相加，其和是否仍為一個完全平方數？這一問題與勾股定理密切相關，勾股定理描述了直角三角形三邊的平方關系，而其背后的數論問題，實則是求解方程a2+b2=c2的整數解(a, b, c)，這類解也被稱作勾股數。

自古以來，人們便知曉勾股數有無窮多組，最經典的例子便是木匠常用的“3-4-5法則”：基于32+42=52這一結論，木匠們用該方法判定一個角是否為直角。從概率論角度可對勾股數的無窮性作出解釋：完全平方數在自然數集中是一個密度足夠大的子集，因此，能表示為兩個完全平方數之和的自然數集合，與完全平方數集合之間存在無窮多個交集。

當研究對象從完全平方數拓展到完全立方數時，這類數在自然數集中的出現頻率遠低于完全平方數，此時再探討與勾股數類似的問題，其答案是否為肯定便不再直觀。事實上，由阿貝爾獎得主安德魯·懷爾斯證明的費馬大定理給出了明確答案：這是不可能的。費馬大定理研究的是方程x?+y?=z?在d≥3時的整數解問題。1922年提出的莫德爾猜想則指出，對于所有特定形式的高次方程，其有理數解的數量僅有有限個。

橢圓曲線

插圖由牛津大學珍妮弗·巴拉克里希南JenniferBalakrishnan博士繪制

三次方程的解在幾何層面可解釋為橢圓曲線上的點。橢圓曲線的虧格為1，虧格是描述曲線幾何形狀的一個重要特征。虧格≥2的曲線在幾何上更為復雜，由次數更高的方程定義。曲線的所有點中，部分點的坐標為有理數，這類點被稱為有理點。

莫德爾猜想的核心內容為：虧格≥2的曲線上，有理點的數量僅有有限個。莫德爾本人僅證明了一個稍弱的結論：橢圓曲線上可能存在無窮多個有理點，但只需其中有限個有理點，便可構造出其余所有的有理點。這一構造方法的理論基礎是，橢圓曲線具備一種自然的加法運算，這使得曲線上所有點的集合構成了數學家口中的阿貝爾群。阿貝爾群以尼爾斯·亨利克·阿貝爾的名字命名，阿貝爾獎也正是為紀念這位數學家而設立。

虧格≥2的曲線所對應的莫德爾猜想，在提出后的六十余年間始終未被證明。在這一時期，數學家們得到了一些與該猜想相關的研究成果，其中便包括沙法列維奇提出的、關于曲線族有限性的猜想。借助帕爾申技巧這一數學結論，上述曲線族與該曲線族背后的一條曲線之間建立了緊密關聯。上世紀80年代初，數學家們發現，若能證明沙法列維奇猜想，便可直接推導出莫德爾猜想的正確性。

1983年，格爾德·法爾廷斯成功證明了沙法列維奇猜想。其證明過程中的關鍵一步，是引入了如今被稱作曲線的法爾廷斯高度的概念。法爾廷斯不僅證明了法爾廷斯高度有界的一類曲線，其數量具有有限性，還證明了法爾廷斯高度本身的有界性。將這兩個結論相結合，便可得到所研究曲線族的數量有限的結論，沙法列維奇猜想也由此得證。再借助帕爾申技巧，莫德爾猜想便不再是一個猜想，而是成為了被證實的法爾廷斯定理。

伊戈爾·沙法列維奇（1923-2017）

照片：康拉德·雅各布斯Konrad Jacobs，埃爾朗根

專業術語注釋

1. 虧格（genus）：代數幾何中描述曲線/曲面拓撲結構的核心不變量，直觀反映曲線的“孔洞數”，橢圓曲線虧格為1，虧格≥2的曲線為高虧格曲線。

2. 阿貝爾群（abelian group）：滿足交換律的群，是抽象代數的基礎概念，也是算術幾何的核心研究對象之一。

3. 沙法列維奇猜想（Shafarevich conjecture）：算術幾何領域的重要猜想，聚焦數域上阿貝爾簇的好約化性質與曲線族的有限性。

4. 帕爾申技巧（Parshin’s trick）：由數學家帕爾申提出的數學方法，建立了沙法列維奇猜想與莫德爾猜想之間的邏輯關聯。

5. 法爾廷斯高度（Faltings height）：法爾廷斯為證明沙法列維奇猜想引入的重要幾何不變量，用于刻畫曲線的算術性質。

參考資料

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/From%20Mordell%E2%80%99s%20Conjecture.pdf

https://abelprize.no/page/introduction-laureates-work-timandra-harkness

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/pressrelease_english__Abelprize%202026.pdf

https://abelprize.no/page/press-room-2026-abel-prize-laureate

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