AI人工智能時(shí)代的數(shù)學(xué)家們——杰里米·阿維加德（Jeremy Avigad）

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AI人工智能能夠以形式化和非形式化的方式證明數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究級(jí)定理。當(dāng)前全球交互式定理證明（Lean）與形式化數(shù)學(xué)領(lǐng)域的核心領(lǐng)軍人物之一、卡內(nèi)基梅隆大學(xué)教授杰里米·阿維加德（Jeremy Avigad）呼吁數(shù)學(xué)家們緊跟該技術(shù)的發(fā)展步伐，思考其對(duì)數(shù)學(xué)研究實(shí)踐的顛覆性影響，并以恰當(dāng)?shù)姆绞綉?yīng)對(duì)當(dāng)下面臨的挑戰(zhàn)與機(jī)遇。

杰里米·阿維加德（Jeremy Avigad）卡內(nèi)基梅隆大學(xué)教授

作者：杰里米·阿維加德（Jeremy Avigad，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)教授）2026-3-7

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-4-1

致謝

感謝約翰·科梅林（Johan Commelin）、西德哈斯·哈里哈蘭（Sidharth Hariharan）、布萊娜·克拉（Bryna Kra）、埃米莉·里爾（Emily Riehl）與阿克沙伊·文卡特什（Akshay Venkatesh）提供的意見、修正建議與研究思路。

1 研究背景

過去一年，美國國家科學(xué)基金會(huì)（NSF）的發(fā)展步履維艱，但即便其下屬所有研究所的預(yù)算均被削減，該基金會(huì)仍在去年秋季成功成立了數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)輔助推理研究所（ICARM）。該研究所的使命是支持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)域新推理技術(shù)的應(yīng)用，其中多項(xiàng)技術(shù)均涉及神經(jīng)人工智能與符號(hào)人工智能。作為研究所所長，我曾以《AI人工智能時(shí)代的數(shù)學(xué)》為題發(fā)表過多版演講，梳理了各類新興技術(shù)，包括形式化與證明助手、符號(hào)人工智能與自動(dòng)推理，以及機(jī)器學(xué)習(xí)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這些技術(shù)雖各有不同，卻存在有趣的交叉與互動(dòng)。

迄今為止，形式化方法的早期實(shí)踐者為數(shù)學(xué)形式化庫Mathlib做出了貢獻(xiàn)，多個(gè)合作項(xiàng)目已借助該庫驗(yàn)證了當(dāng)代數(shù)學(xué)研究成果，部分成果的驗(yàn)證甚至早于常規(guī)同行評(píng)審流程，或是在未開展同行評(píng)審的情況下完成。SAT求解器等自動(dòng)推理工具解決了組合數(shù)學(xué)、代數(shù)學(xué)、數(shù)論與離散幾何領(lǐng)域的多個(gè)公開問題；機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)被用于挖掘計(jì)算數(shù)據(jù)中的模式及數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)，助力新研究成果的發(fā)現(xiàn)，且這些成果均已通過傳統(tǒng)證明方式得到驗(yàn)證，該技術(shù)還被用于尋找具有研究價(jià)值的組合對(duì)象，包括某些猜想的反例；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則被用于求解偏微分方程、識(shí)別具有研究意義的現(xiàn)象，以及尋找能催生此類現(xiàn)象的參數(shù)設(shè)置。盡管這些技術(shù)目前仍屬于小眾領(lǐng)域，且僅有為數(shù)不多的顯著成果，但相關(guān)進(jìn)展足以表明，它們必將對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生重大影響。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將機(jī)器學(xué)習(xí)與符號(hào)方法相結(jié)合，被應(yīng)用于數(shù)學(xué)定理的證明工作。這一應(yīng)用有時(shí)表現(xiàn)為利用語言模型和智能主體系統(tǒng)撰寫非形式化的數(shù)學(xué)論證過程，有時(shí)則是借助其構(gòu)建形式化證明，而這些證明的正確性會(huì)由Lean等證明檢查器進(jìn)行驗(yàn)證。許多系統(tǒng)會(huì)在兩種推理層面交替進(jìn)行，既借鑒傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的洞見，又依托形式化檢查器提供的強(qiáng)正確性驗(yàn)證信號(hào)。該領(lǐng)域近期的發(fā)展尤為顯著。我在各類演講中對(duì)這些技術(shù)的整體態(tài)度始終較為樂觀：新興技術(shù)能夠助力我們更好地開展數(shù)學(xué)研究，完成以往無法實(shí)現(xiàn)的研究工作。它們不僅能對(duì)數(shù)學(xué)成果的驗(yàn)證與發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生積極作用，還會(huì)影響數(shù)學(xué)的教學(xué)與學(xué)習(xí)方式、數(shù)學(xué)知識(shí)的整理留存，以及數(shù)學(xué)思想的協(xié)作交流模式。

不過，這些演講也兼顧了人們對(duì)人工智能的諸多擔(dān)憂。我曾在論文《數(shù)學(xué)是否已過時(shí)？》https://arxiv.org/abs/2502.14874 中對(duì)這些擔(dān)憂進(jìn)行過深入探討，近期也以《如何看待AI人工智能時(shí)代的數(shù)學(xué)之憂》為題發(fā)表過相關(guān)演講。我發(fā)現(xiàn)，將這些擔(dān)憂分為兩類會(huì)更便于分析，即對(duì)人工智能的一般性擔(dān)憂，以及對(duì)人工智能給數(shù)學(xué)領(lǐng)域帶來的具體影響的擔(dān)憂。

對(duì)人工智能的一般性擔(dān)憂，不僅涉及其對(duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和環(huán)境的影響，還包括其對(duì)人類獨(dú)立思考與推理能力的沖擊，以及將人類的生活與生計(jì)寄托于行為不可控、原理未被完全理解的系統(tǒng)所存在的合理性問題。我在《數(shù)學(xué)是否已過時(shí)？》一文中提出，數(shù)學(xué)至少能為解決這些問題提供部分思路，因?yàn)樗屛覀兡軌蛱岢鼍珳?zhǔn)的問題，并以可獨(dú)立驗(yàn)證、查詢和審計(jì)的形式要求人工智能給出解釋與論證依據(jù)。數(shù)學(xué)為我們與人工智能的互動(dòng)提供了方法，讓人類始終處于思考決策的核心位置，保持對(duì)自身決策的主導(dǎo)權(quán)。

本文探討的是第二類擔(dān)憂，即人工智能對(duì)數(shù)學(xué)行業(yè)產(chǎn)生的具體影響，由近期一系列值得我們深思的發(fā)展所引發(fā)。如今，技術(shù)的顛覆性已愈發(fā)明顯，而我們對(duì)這一事實(shí)的重視程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。作為推動(dòng)新興技術(shù)落地的研究所所長，我或許在這場(chǎng)技術(shù)變革中難辭其咎，但本文的核心觀點(diǎn)是：無論我們接受與否，人工智能已經(jīng)到來，若我們無法主動(dòng)迎接這一挑戰(zhàn)，所有人都將成為這場(chǎng)變革的被動(dòng)參與者。為了我們的學(xué)生，也為了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，我們必須做好這件事。

2 近期研究進(jìn)展

2024年初，彼時(shí)還是帝國理工學(xué)院交換生、正在洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院訪學(xué)的西德哈斯·哈里哈蘭（Sidharth Hariharan）——如今是卡內(nèi)基梅隆大學(xué)一年級(jí)博士生——與瑪麗娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）展開合作，啟動(dòng)了維亞佐夫斯卡關(guān)于E?格在8維球填充中最優(yōu)性證明的形式化項(xiàng)目。如今，他們采用的方法已成為形式化學(xué)術(shù)界的標(biāo)準(zhǔn)方法：先撰寫詳細(xì)的非形式化藍(lán)圖，為形式化工作提供指導(dǎo)。（參閱zzllrr小樂數(shù)學(xué)科普文章：）

克里斯·伯克貝克（Chris Birkbeck）與李瑞宇（Seewoo Lee）在同年夏天加入該項(xiàng)目，到了秋季，該項(xiàng)目成為西德哈斯在巴維克·梅塔（Bhavik Mehta）指導(dǎo)下完成碩士論文的研究基礎(chǔ)。2025年7月，維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）在英國劍橋艾薩克·牛頓研究所舉辦的“大證明”會(huì)議上發(fā)表演講，匯報(bào)了該項(xiàng)目的進(jìn)展，彼時(shí)該團(tuán)隊(duì)已將項(xiàng)目面向公眾開放。

2025年秋季，項(xiàng)目推進(jìn)十分順利。項(xiàng)目負(fù)責(zé)人通過社交媒體和每周的Zoom線上會(huì)議協(xié)調(diào)志愿者團(tuán)隊(duì)開展研究，多家人工智能初創(chuàng)企業(yè)主動(dòng)接洽，希望借助該項(xiàng)目測(cè)試其產(chǎn)品性能。該團(tuán)隊(duì)積極接納人工智能技術(shù)，不僅接收人工智能生成的“拉取請(qǐng)求”，還對(duì)其進(jìn)行修訂以符合項(xiàng)目的貢獻(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)，并將其整合至代碼庫中，項(xiàng)目負(fù)責(zé)人也親自參與人工智能技術(shù)的實(shí)驗(yàn)。

然而，幾周前，西德哈斯（Sidharth Hariharan）面色蒼白地來到我的辦公室，他剛得知，一家名為數(shù)學(xué)公司（Math Inc.）的企業(yè)為展示其最新證明智能體高斯（Gauss）的能力，完成了該項(xiàng)目最終結(jié)論的形式化證明。該公司曾在11月為該項(xiàng)目提供過協(xié)作支持，卻隨后突然中止溝通，轉(zhuǎn)為秘密研究。這并非該研究團(tuán)隊(duì)所期望的人工智能協(xié)作模式，他們從未想過，這家企業(yè)會(huì)為了取得博人眼球的成果，投入大量計(jì)算資源攻關(guān)該項(xiàng)目——馬特·巴拉德（Matt Ballard）將這種行為貼切地描述為“過路式證明”。此后，該公司又在未獲得該團(tuán)隊(duì)任何額外支持的情況下，利用高斯（Gauss）驗(yàn)證了基于8維球填充結(jié)論推導(dǎo)的24維球填充相關(guān)成果 https://www.math.inc/sphere-packing

Lean社區(qū)的多位知名人士，包括維護(hù)團(tuán)隊(duì)成員，紛紛伸出援手，協(xié)助項(xiàng)目負(fù)責(zé)人應(yīng)對(duì)這一情況。團(tuán)隊(duì)的擔(dān)憂之一是，該公司在新聞稿中會(huì)如何描述這一成果：高斯（Gauss）的成功，建立在人類研究者近兩年的創(chuàng)造性工作、研究框架搭建和規(guī)劃的基礎(chǔ)之上，若將其單純宣傳為人工智能的成就，對(duì)這些主要是青年研究者的團(tuán)隊(duì)成員而言極不公平。

更大的擔(dān)憂則是，該公司會(huì)宣稱該項(xiàng)目“已完成”。事實(shí)上，單純的形式化證明本身幾乎毫無價(jià)值，因?yàn)榫S亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）的研究結(jié)論的正確性從未受到質(zhì)疑。研究團(tuán)隊(duì)開展該項(xiàng)目，實(shí)則是為了重新梳理這些研究成果，加深對(duì)其的理解，同時(shí)構(gòu)建相關(guān)庫和基礎(chǔ)設(shè)施，為未來的研究工作提供支撐。而人工智能生成的證明往往冗長繁雜，且僅聚焦于手頭的具體任務(wù)，項(xiàng)目負(fù)責(zé)人擔(dān)心，這種自私的成果搶占行為，會(huì)讓團(tuán)隊(duì)失去修訂代碼、將其完善至預(yù)期狀態(tài)的動(dòng)力。

不過，數(shù)學(xué)公司（Math Inc.）最終與項(xiàng)目負(fù)責(zé)人展開合作，確保相關(guān)公告對(duì)該研究團(tuán)隊(duì)的貢獻(xiàn)給予了恰當(dāng)認(rèn)可，并承諾將與團(tuán)隊(duì)公開協(xié)作，修訂和優(yōu)化代碼以符合項(xiàng)目標(biāo)準(zhǔn)。如今，學(xué)界對(duì)這種人機(jī)協(xié)作模式的良好發(fā)展持謹(jǐn)慎樂觀態(tài)度。從消極角度看，項(xiàng)目組織者只是在糟糕的處境中盡力挽回局面；而從積極角度看，我們都在從中學(xué)習(xí)如何讓人工智能更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)研究。目前，這一模式的發(fā)展走向仍未可知：如果人工智能能夠減少形式化工作中的繁瑣環(huán)節(jié)，幫助我們更好地感受和理解數(shù)學(xué)，那我們將迎來更好的發(fā)展；但如果它阻礙了我們對(duì)數(shù)學(xué)的探索樂趣和理解深度，那我們將失去一些重要的東西。

在這場(chǎng)形式化定理證明的風(fēng)波發(fā)生的同時(shí)，數(shù)學(xué)界還見證了一場(chǎng)非形式化定理證明的補(bǔ)充實(shí)驗(yàn)。2月5日，11位數(shù)學(xué)家在arXiv平臺(tái)發(fā)布了10道面向AI人工智能的挑戰(zhàn)題First Proof（ https://arxiv.org/abs/2602.05192 參閱）他們的目的是評(píng)估人工智能輔助實(shí)際數(shù)學(xué)研究的能力，為此，團(tuán)隊(duì)挑選了各自研究中遇到的問題，這些問題均已有約5頁篇幅的證明過程，但相關(guān)成果尚未發(fā)表。他們對(duì)Gemini 3.0深度思考版和ChatGPT 5.2專業(yè)版兩款商用系統(tǒng)進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果卻不盡如人意。不過，他們也邀請(qǐng)了人工智能開發(fā)者用自研系統(tǒng)嘗試解決這些問題，并要求開發(fā)者在2月13日前公開研究結(jié)果，供學(xué)界共同評(píng)估。

部分人工智能開發(fā)者響應(yīng)了這一邀請(qǐng)，該論文的作者們委托數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)輔助推理研究所（ICARM）在其Zulip社交平臺(tái)的相關(guān)頻道開展結(jié)果研討（http://icarm.zulipchat.com ，“首輪證明First Proof”頻道）并邀請(qǐng)數(shù)學(xué)家對(duì)人工智能的解題成果進(jìn)行評(píng)價(jià)。開放人工智能公司（OpenAI）研發(fā)的模型針對(duì)其中一道問題給出的解法，被專家評(píng)價(jià)為“完全正確，且推導(dǎo)過程十分精妙”。表現(xiàn)最佳的是谷歌深度思維（Google DeepMind）研發(fā)的證明智能體阿勒西婭（Aletheia），該智能體正確解決了10道問題中的6道（https://arxiv.org/pdf/2602.21201.pdf 參閱）我想，對(duì)這樣的成果表現(xiàn)感到驚訝的，并非只有我一人。

這些發(fā)展表明，人工智能在非形式化和形式化數(shù)學(xué)研究中的表現(xiàn)正愈發(fā)出色。2022年11月ChatGPT首次發(fā)布時(shí)，我們還曾嘲笑它解答數(shù)學(xué)問題的糟糕表現(xiàn)；而去年夏天，已有四家企業(yè)宣稱其研發(fā)的人工智能系統(tǒng)能在國際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題中取得金牌水平，其中兩家的系統(tǒng)可生成非形式化解法，另外兩家則能生成形式化解法。如今，性能頂尖的人工智能系統(tǒng)已逐漸攻克普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基準(zhǔn)題。人工智能已能處理研究級(jí)的數(shù)學(xué)證明問題，這意味著，數(shù)學(xué)領(lǐng)域已再無“遮羞之地”。在不到四年的時(shí)間里，人工智能的定理證明能力從幾乎為零發(fā)展到如今的水平，而在此期間，人工智能研發(fā)的相關(guān)投資也出現(xiàn)了爆發(fā)式增長。我們必須直面一個(gè)事實(shí)：人工智能很快就能比人類更擅長證明數(shù)學(xué)定理。

3 現(xiàn)存擔(dān)憂

如今，我們陷入了一種尷尬的境地：人工智能正在完成那些我們?cè)J(rèn)為只有人類才能做到的事。我們?cè)鵀樽陨淼哪芰Ρ陡凶院馈軌蚪鉀Q極具難度的問題，構(gòu)建邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拈L篇論證，整合眾多復(fù)雜要素并做出精準(zhǔn)的推導(dǎo)，但現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)，人工智能也能做到這些。我們還曾為自己擁有深刻的洞見與直覺、能發(fā)現(xiàn)微妙的模式與關(guān)聯(lián)、能構(gòu)建具有深遠(yuǎn)意義的廣義理論而驕傲，而當(dāng)代人工智能的應(yīng)用也正朝著這些方向發(fā)展。

我們需要思考，這一切會(huì)給數(shù)學(xué)行業(yè)帶來怎樣的影響。高校數(shù)學(xué)家的工作價(jià)值究竟何在？從某種程度來說，這份工作的存在是因?yàn)橛袛?shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生——也就是熱愛數(shù)學(xué)、且父母愿意支持其學(xué)習(xí)的年輕人。我們不禁要問，若數(shù)學(xué)研究變成了向人工智能發(fā)出查詢指令，這份熱愛還能延續(xù)嗎？

同事們常對(duì)我說，即便國際象棋引擎的水平遠(yuǎn)超人類棋手，職業(yè)棋手依然存在，但這一點(diǎn)安慰對(duì)我而言微不足道：我們不會(huì)要求孩子們從幼兒園到高中一直學(xué)習(xí)下國際象棋，而以國際象棋家教為業(yè)也難以維持生計(jì)。將對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛比作對(duì)音樂和藝術(shù)的熱愛，或許是更貼切的類比，但音樂和藝術(shù)領(lǐng)域同樣面臨著發(fā)展支持不足的問題。如果我們?yōu)閿?shù)學(xué)教學(xué)找到的最佳理由，僅僅是它能帶來審美享受或休閑樂趣，那么數(shù)學(xué)的發(fā)展將舉步維艱。

高校數(shù)學(xué)家的工作之所以具有實(shí)際價(jià)值，更重要的原因在于，我們?yōu)楣こ獭⑸炭啤⒂?jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)等領(lǐng)域開設(shè)服務(wù)性課程，而這些領(lǐng)域均獲得了企業(yè)和政府的大力支持。但我們不難想象，這種支持也可能逐漸減少。如今，學(xué)生早已能借助人工智能完成我們數(shù)十年來布置的各類作業(yè)，而我們?yōu)榱硕糁七@種行為設(shè)置的課堂考試，實(shí)則是人為剝奪了他們使用職業(yè)發(fā)展中必會(huì)接觸到的工具的機(jī)會(huì)。如果我們不教工程師利用人工智能解決問題，那就是沒有盡到培養(yǎng)工程師的職責(zé)，而工程學(xué)院也將不再需要我們開設(shè)的課程。我們或許不會(huì)看到相關(guān)需求一夜之間消失，但學(xué)術(shù)環(huán)境的變化日新月異，一旦根基坍塌，便難以恢復(fù)。

4 建議與展望

我們不應(yīng)被上文中的悲觀預(yù)警擊垮，而應(yīng)相信數(shù)學(xué)的力量。正如我在《數(shù)學(xué)是否已過時(shí)？》一文中所言，在人工智能時(shí)代，利用精準(zhǔn)的語言和抽象思維幫助我們理解周遭世界、高效推理并交流思想，依然具有至關(guān)重要的意義。技術(shù)的進(jìn)步為我們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究目標(biāo)提供了新的途徑，而人工智能終究只是一種技術(shù)，如何運(yùn)用它，決定權(quán)掌握在我們手中。

在《數(shù)學(xué)是否已過時(shí)？》的結(jié)尾，我描繪了兩種未來圖景：一種是反烏托邦的，人類放棄數(shù)學(xué)，將思考決策的主導(dǎo)權(quán)讓渡給人工智能；另一種則是樂觀的，數(shù)學(xué)始終在思考決策過程中占據(jù)核心位置。而前文所描述的現(xiàn)狀，大致就是反烏托邦圖景的寫照。那么，對(duì)數(shù)學(xué)家而言，樂觀的發(fā)展圖景又將如何實(shí)現(xiàn)？答案其實(shí)很簡(jiǎn)單：借助人工智能，更好地開展我們所熟知并熱愛的數(shù)學(xué)研究。如果人工智能能助力我們實(shí)現(xiàn)朗蘭茲綱領(lǐng)、證明哥德巴赫猜想、解決P≠NP問題，這難道是一件壞事嗎？我們理應(yīng)期待人工智能為純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究帶來的裨益。如果科學(xué)家、工程師和分析師能夠借助數(shù)學(xué)提供的定性和定量工具，高效運(yùn)用人工智能設(shè)計(jì)出更優(yōu)化的系統(tǒng)、取得更可靠的研究成果，那么數(shù)學(xué)的價(jià)值便已完全得以體現(xiàn)。

我們需要牢記自身的優(yōu)勢(shì)：數(shù)學(xué)家是頂尖的問題解決者和理論構(gòu)建者。面對(duì)人工智能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，我們不應(yīng)抗拒，而應(yīng)主動(dòng)掌握其主動(dòng)權(quán)。僅僅緊跟技術(shù)發(fā)展、為人工智能研究者設(shè)計(jì)基準(zhǔn)測(cè)試題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們需要積極參與到技術(shù)的落地應(yīng)用中，讓其貼合數(shù)學(xué)研究的需求。同時(shí)，我們還要學(xué)會(huì)培養(yǎng)學(xué)生，讓他們擁有合理運(yùn)用這些新技術(shù)的智慧，且務(wù)必確保核心的數(shù)學(xué)直覺與理解能力能夠有效傳遞給學(xué)生。

找到有效運(yùn)用人工智能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究目標(biāo)的方法并非易事，但數(shù)學(xué)家向來樂于迎接挑戰(zhàn)——事實(shí)上，挑戰(zhàn)越大，我們的動(dòng)力便越強(qiáng)。只要我們直面人工智能的到來，堅(jiān)守?cái)?shù)學(xué)研究的核心價(jià)值，數(shù)學(xué)學(xué)科必將迎來蓬勃發(fā)展。我們所需做的，只是躬身入局，潛心鉆研。

參考資料

https://arxiv.org/abs/2603.03684

https://github.com/avigad

https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/talks.html

https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Talks/lms-bcs.pdf

https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Talks/rademacher1-intro.pdf

https://arxiv.org/abs/2502.14874

https://www.math.inc/sphere-packing

https://arxiv.org/abs/2602.05192

http://icarm.zulipchat.com

https://arxiv.org/abs/2602.21201

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