追尋完美（完全數(shù)）——譯自HLF海德堡桂冠論壇博客

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追尋完美數(shù)（完全數(shù)）的歷程及未知。

作者：索菲?麥克林（Sophie Maclean）HLF海德堡桂冠論壇博客 2026-4-1

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2026-4-

數(shù)學究竟是人類創(chuàng)造的，還是發(fā)現(xiàn)的？這是哲學界長期爭論的話題。

支持 “數(shù)學是發(fā)現(xiàn)” 的人認為，數(shù)學內(nèi)在的美感絕非偶然 —— 同一個數(shù)字、同一種思想反復出現(xiàn)（比如圓周率 π），這遠非巧合可以解釋。

而站在 “數(shù)學是創(chuàng)造” 陣營的人則反駁道：如今的數(shù)學 —— 傅里葉分析、代數(shù)幾何，甚至統(tǒng)計學 —— 都如此復雜抽象，不可能是宇宙本身固有的。他們指出，有些數(shù)學對象在自然界中并不存在，因此只能是人類思維的創(chuàng)造。

但 “發(fā)現(xiàn)派” 握有一張王牌。有一類數(shù)字仿佛是世界的固有屬性，與其他重要數(shù)列緊密相連，甚至帶有近乎神圣的意義。這類數(shù)字的真約數(shù)（即除自身外所有正約數(shù)；約數(shù)即因數(shù)、因子）之和恰好等于它本身。它們有一個恰如其分的名字：完全數(shù)（Perfect Numbers，也稱完美數(shù)）。

完全數(shù)

用更正式、更實用的方式定義完全數(shù)，需要借助約數(shù)和函數(shù) σ(n)，它會把 n 的所有正約數(shù)（包括 n 自身）加總求和。

我們把滿足σ(n) = 2n（等價于 σ(n)/n = 2）的數(shù)定義為完全數(shù)（完美數(shù)）。

不難想到，數(shù)學家也給其他情況起了名字：

• σ(n) > 2n：盈數(shù)（abundant number）

• σ(n) < 2n：虧數(shù)（deficient number）

事實上，根據(jù) σ(n) 的性質(zhì)，數(shù)字還有一整套分類名稱，不過那是另一篇博客的內(nèi)容了。

最小的幾個完全數(shù)是：6、28、496、8128。它們被人類知曉的年代太過久遠，我們已無從考證最初是誰算出了它們。關于完全數(shù)最早的文字記載，出現(xiàn)在約公元前 300 年歐幾里得（Euclid）的名著《幾何原本》Elements中。

不出所料，我們后來找到了更大的完全數(shù)。但令人意外的是，截至本文寫作時，人類只發(fā)現(xiàn)了 52 個完全數(shù)。

眼尖的讀者可能已經(jīng)注意到，我列出的所有完全數(shù)都是偶數(shù)。事實上，迄今為止人類發(fā)現(xiàn)的所有完全數(shù)全是偶數(shù)。是否存在奇完全數(shù)，至今仍是未解之謎 —— 畢竟，沒找到不等于不存在。

觀察力超群、對數(shù)學紀錄了如指掌的人還會發(fā)現(xiàn)：已知完全數(shù)的數(shù)量（52 個），與已知梅森素數(shù)的數(shù)量完全一致。這絕非巧合，我們可以證明其中的原理。

偶完全數(shù) ? 梅森素數(shù)

梅森數(shù)是形如q = 2? ? 1的數(shù)，其中 p 是素數(shù)。如果一個梅森數(shù)本身也是素數(shù)，它就被稱為梅森素數(shù)。

偶完全數(shù)與梅森素數(shù)之間存在一一對應關系。更進一步，我們可以寫出明確的公式：

q = 2? ? 1 是梅森素數(shù)，當且僅當 n = 2??1(2? ? 1) 是完全數(shù)。

這個定理的證明歸功于兩位名字容易混淆的數(shù)學巨匠：

歐幾里得（Euclid）與歐拉（Euler）。

• 約公元前 300 年，歐幾里得證明了定理的一個方向：

• 若 q = 2? ? 1 是梅森素數(shù)，則 n = 2??1(2? ? 1)是完全數(shù)。

• 2000 多年后，18 世紀的歐拉證明了另一個方向：

• 若 n = 2??1(2? ? 1) 是完全數(shù)，則 q = 2? ? 1 是梅森素數(shù)。

這兩個證明都依賴一個關鍵性質(zhì)：σ(n) 是積性函數(shù)。

也就是說，當 a 和 b 互素（沒有公共素因子）時，σ(ab) = σ(a)σ(b)。

歐幾里得的證明

歐幾里得（Euclid）雕塑

歐幾里得的證明從設 “2??1 是素數(shù)” 出發(fā)，目標是證明 n = 2??1(2??1) 是完全數(shù)。

利用積性：σ(n) = σ(2??1(2??1)) = σ(2??1)?σ(2??1)

我們分開計算兩部分：

1. （1）因為設 2??1 是素數(shù)，則它的正因子只有 1 和它本身，

2. 所以 σ(2??1) = (2??1) + 1 = 2?

4. （2）而2??1 的因子是 1、2、4、8……2??1，

5. 這是等比數(shù)列，求和得 σ(2??1) = 2? ? 1

把（1）、（2）兩個結(jié)果合在一起：

σ(n) = 2??(2??1) = 2?[2??1(2??1)] = 2n

因此，n 是完全數(shù)！

歐拉的證明

歐拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）

從兩千年的時間差不難猜到，歐拉的證明更復雜一些，但依然只用了基礎方法，且對 σ 的積性挖掘得更深。

歐拉從一個偶完全數(shù)n開始，把它寫成：n = 2? · x

其中 x 是奇數(shù)，k 是正整數(shù)。

因為 n 是完全數(shù)，所以 2n = σ(n)，即：2??1x = σ(2?x)。由積性得：

2??1x = σ(2?)?σ(x)

我們已知 σ(2?) = 2??1 ? 1（等比數(shù)列求和），且與 2??1 互素（因為兩數(shù)相鄰），因此我們有

2??1 [x /(2??1 ? 1)] = σ(x) 【1】

且有2??1 ? 1 必須整除 x（因為2??1 ? 1與 2??1 互素），

則整數(shù)x/(2??1?1) 也必須整除 x，而x本身也是自己的因子，因此：

σ(x) = x + x/(2??1?1) + “其他因子”，

即 σ(x) = x[2??1 / (2??1?1)] + “其他因子”【2】

而 σ(x) = x[2??1 / (2??1?1)] （由【1】）

但這就意味著x 沒有其他因子（結(jié)合【1】、【2】）。

所以 x 只有兩個因子：x（它自己）和 x/(2??1?1)，因此 x必為素數(shù)。

更進一步，1 是所有數(shù)的因子，所以必須有：

x/(2??1?1) = 1 ? x = 2??1 ? 1

我們知道，形如 2^q?1 的素數(shù)，其中指數(shù)q本身必須是素數(shù)。

因此 x 確實是梅森素數(shù)，而非普通素數(shù)。

至此證明完成 ——梅森素數(shù)與偶完全數(shù)一一對應。

舉例驗證

你一定想知道前四個完全數(shù)對應哪些素數(shù)：

1. 6 = 2×3 → k=1，x=3 → 梅森素數(shù)：3

2. 28 = 4×7 → k=2，x=7 → 梅森素數(shù)：7

3. 496 = 16×31 → 梅森素數(shù)：31

4. 8128 = 64×127 → 梅森素數(shù)：127

不出所料，它們正好是前四個梅森素數(shù)！

人們通過互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索（GIMPS）項目不斷找到更大的梅森素數(shù)，最近一次是在 2024 年，參閱zzllrr小樂文章。完全數(shù)也隨之被計算出來。上一個素數(shù)的發(fā)現(xiàn)間隔了 6 年，所以下一個新完全數(shù)可能還要等很久。

自然的奧秘

我們甚至不知道梅森素數(shù)是否有無窮多個。這意味著：我們既不知道是否存在奇完全數(shù)，也不知道是否還有更多偶完全數(shù)。正是這種神秘感，讓數(shù)學家對完全數(shù)癡迷千年之久。而它與素數(shù)的深層聯(lián)系，也讓不少人相信：數(shù)學是被發(fā)現(xiàn)的。

對畢達哥拉斯（Pythagoras）而言，完全數(shù)不僅暗藏自然的秘密，本身就具有深刻的神性與神圣性。亞歷山大的斐洛（Philo of Alexandria）甚至提出：上帝用 6 天創(chuàng)世，因為 6 是完全數(shù)；朔望月為 28 天，也因為 28 是完全數(shù)。

無論你持何種觀點，我想我們都能認同：完全數(shù)，的確格外特別。

譯者注：原文中歐幾里得、歐拉的證明內(nèi)容說反了（圖片順序也反了），已糾錯，并告知作者。

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/in-the-pursuit-of-perfect/

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