新型 “二維碼” 解開數(shù)學(xué)中最棘手的紐結(jié)——譯自量子雜志Quanta Magazine

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借助一種新發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)工具，研究人員希望能以前所未有的視角洞察復(fù)雜紐結(jié)的結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)家最近發(fā)明了一種區(qū)分紐結(jié)的新方法：為每個(gè)紐結(jié)生成一個(gè)彩色的 “二維碼”。

圖源：Dror Bar-Natan, Roland van der Veen; Quanta Magazine

作者：埃麗卡?克拉賴希（Erica Klarreich，量子雜志特約記者）2026-4-22

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-4-23

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引言

從電腦線的纏繞，到貓咪把你的編織籃弄得一團(tuán)糟，紐結(jié)在日常生活中無處不在。它們也遍布科學(xué)領(lǐng)域，出現(xiàn)在 DNA 環(huán)、相互纏繞的聚合物鏈以及旋轉(zhuǎn)的水流中。而在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，紐結(jié)是拓?fù)鋵W(xué)中許多核心問題的關(guān)鍵。

然而，紐結(jié)理論家們?nèi)栽跒橐粋€(gè)最基本的問題苦苦掙扎：如何區(qū)分兩個(gè)紐結(jié)。

僅僅通過觀察，很難判斷兩個(gè)復(fù)雜的紐結(jié)是否具有相同的結(jié)構(gòu)。即便它們看起來截然不同，你也有可能通過挪動一些繩結(jié)，將一個(gè)變成另一個(gè)。（在數(shù)學(xué)家看來，紐結(jié)的兩端始終是閉合的，因此這類挪動不會將其解開。）

在過去一個(gè)世紀(jì)里，紐結(jié)理論家們開發(fā)出了一套清晰但并不完美的工具，用于區(qū)分紐結(jié)。這些工具被稱為紐結(jié)不變量，它們各自衡量紐結(jié)的某個(gè)特征 —— 或許是其交織繩結(jié)形成的圖案，或許是其周圍空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。如果你用一個(gè)不變量測量兩個(gè)紐結(jié)，得到不同的結(jié)果，就證明這兩個(gè)紐結(jié)是不同的。但反過來并不一定成立：如果不變量給出相同的結(jié)果，這兩個(gè)紐結(jié)可能相同，也可能不同。

有些不變量區(qū)分紐結(jié)的能力更強(qiáng)，但存在一個(gè)權(quán)衡：這些更強(qiáng)的不變量往往難以計(jì)算?！按蠖鄶?shù)不變量要么能力極強(qiáng)但無法計(jì)算，要么容易計(jì)算但能力極弱。” 悉尼大學(xué)的丹尼爾?圖本豪爾（Daniel Tubbenhauer）說。

當(dāng)紐結(jié)的繩結(jié)交叉數(shù)達(dá)到 15 次或 20 次時(shí)，許多不變量就開始失效 —— 要么無法區(qū)分大量紐結(jié)，要么計(jì)算難度變得過高。多倫多大學(xué)的德羅爾?巴爾 - 納坦（Dror Bar-Natan）表示，對于大多數(shù)紐結(jié)不變量而言，“如果你說‘300 次交叉’，然后再說‘計(jì)算’這個(gè)詞，那簡直是科幻小說里的事?！?/p>

十交叉點(diǎn)的紐結(jié)復(fù)雜度

彼得?格思里?泰特（Peter Guthrie Tait）1885 年一篇論文中的一頁，他在這篇論文中區(qū)分了 10 個(gè)交叉點(diǎn)的不同紐結(jié)。

圖源：彼得?格思里?泰特（Peter Guthrie Tait）

但如今，巴爾 - 納坦（Bar-Natan）與荷蘭格羅寧根大學(xué)的羅蘭?范德維恩（Roland van der Veen）共同提出了一種紐結(jié)不變量 https://arxiv.org/abs/2509.18456 ，它讓數(shù)學(xué)家不必在兩種弊端之間做選擇：它既強(qiáng)大又易于計(jì)算?！八坪跽幱谀苷Q生驚人成果的最佳平衡點(diǎn)?！?未參與這項(xiàng)研究的圖本豪爾（Tubbenhauer）說。

這種強(qiáng)大與快速的結(jié)合，意味著數(shù)學(xué)家可以探索此前遙不可及的紐結(jié)。對于交叉數(shù)多達(dá) 300 次的紐結(jié)，計(jì)算這個(gè)新不變量輕而易舉，巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）甚至已經(jīng)計(jì)算出了交叉數(shù)超過 600 次的紐結(jié)的部分不變量信息。

“從某種意義上說，我們是憑直覺摸索出來的。” ——格羅寧根大學(xué)的羅蘭?范德維恩（Roland van der Veen）

“這一突破堪比一種新型望遠(yuǎn)鏡：它不僅在熟悉的范圍內(nèi)提供更清晰的分辨率，還將我們的探索范圍擴(kuò)大了 10 倍。” 耶路撒冷希伯來大學(xué)的吉爾?卡萊（Gil Kalai）說。

對于每個(gè)紐結(jié)，這個(gè)不變量會輸出一個(gè)彩色的六邊形 “二維碼”，其對稱性與精致細(xì)節(jié)堪比雪花。“輸出結(jié)果美得驚人，變化多到難以置信?！?不列顛哥倫比亞大學(xué)的利亞姆?沃森（Liam Watson）說，“它仿佛來自另一個(gè)世界?！?/p>

數(shù)學(xué)家希望這些復(fù)雜的圖案能指引他們發(fā)現(xiàn)單個(gè)紐結(jié)更深層的拓?fù)涮卣??！澳懔⒖叹蜁闷妫?沃森（Watson）說，“究竟是這個(gè)特定紐結(jié)的什么特征，產(chǎn)生了這樣獨(dú)特的圖案？”

紐結(jié)的分類筐

想象一個(gè)游戲：你畫出一個(gè)紐結(jié)，嘗試用紅色、黃色或藍(lán)色為每根繩線染色。規(guī)則是必須至少使用每種顏色一次，且在每個(gè)交叉點(diǎn)處，要么三種顏色都出現(xiàn)，要么只出現(xiàn)一種。有些紐結(jié)可以這樣染色，有些則不能 —— 例如，三葉結(jié)可以染色，而八字結(jié)不行。

繩線與交叉點(diǎn)

可三色染色 | 不可三色染色

圖源：Mark Belan/量子雜志

無論你如何進(jìn)一步纏繞某個(gè)給定的紐結(jié)，如果它一開始是 “可三色染色” 的，那么它始終保持這一屬性。同理，不可三色染色的紐結(jié)也始終如此。這使得三色染色法成為一種紐結(jié)不變量。

計(jì)算一個(gè)紐結(jié)是否可三色染色并不難，但這個(gè)不變量區(qū)分紐結(jié)的能力并不強(qiáng)。它僅將紐結(jié)分為兩類：可三色染色的和不可三色染色的。如果你要區(qū)分的紐結(jié)恰好屬于同一類，那就無計(jì)可施了。你可以通過使用更多顏色和規(guī)則，以及統(tǒng)計(jì)紐結(jié)的染色數(shù)量（而非僅判斷能否染色）來改進(jìn)不變量。這些優(yōu)化能創(chuàng)造出更強(qiáng)的不變量，但計(jì)算難度也會隨之增加。

“這一突破堪比一種新型望遠(yuǎn)鏡?！?—— 耶路撒冷希伯來大學(xué)的吉爾?卡萊（Gil Kalai）

在過去一個(gè)世紀(jì)里，紐結(jié)理論家們提出了數(shù)百種不變量。借助這些工具，他們成功整理出了20 個(gè)及以下交叉點(diǎn)的超過 20 億個(gè)紐結(jié)的目錄 https://msp.org/agt/2025/25-1/agt-v25-n1-p12-p.pdf —— 考慮到既易于計(jì)算又能力強(qiáng)大的不變量十分稀缺，這是一項(xiàng)壯舉。說到識別紐結(jié)，“我們百年來紐結(jié)理論擁有的工具并不算特別出色?！?圖本豪爾（Tubbenhauer）說。

部分原因在于，最強(qiáng)大的紐結(jié)不變量往往源于對紐結(jié)內(nèi)部深層拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究。但很少有紐結(jié)理論家既精通這些理論概念，又掌握設(shè)計(jì)易于計(jì)算的不變量所需的計(jì)算知識。

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）是這一規(guī)則的例外 —— 他們既是理論學(xué)家，又是熟練的程序員。他們的新不變量源于深刻的拓?fù)渌枷耄壳八麄冎饕獙Ｗ⒂诖蛟?strong>快速且強(qiáng)大的不變量。沃森（Watson）表示，在紐結(jié)理論中，這種將可計(jì)算性作為優(yōu)先考量的做法 “在學(xué)術(shù)文化上是全新的”。

紐結(jié)高速公路

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）研究新不變量的歷程始于 20 年前，當(dāng)時(shí)他試圖理解帶狀紐結(jié)—— 沿著自身穿過的帶狀邊界延伸的紐結(jié)。這項(xiàng)工作促使他重新研究一種格外強(qiáng)大的不變量 ——孔采維奇積分（Kontsevich integral），它包含了許多其他紐結(jié)不變量。數(shù)學(xué)家推測，這個(gè)不變量強(qiáng)大到可以區(qū)分所有紐結(jié)。

“我開心了大約五分鐘。” 巴爾 - 納坦（Bar-Natan）說。隨后他提醒自己，從實(shí)際應(yīng)用來看，孔采維奇積分根本無法計(jì)算。“它只是一個(gè)抽象存在的東西，但你無法從它推導(dǎo)出任何關(guān)于現(xiàn)實(shí)紐結(jié)的結(jié)論?！?/p>

復(fù)雜度遞增的 “方形編織” 紐結(jié)的二維碼

圖源：德羅爾?巴爾 - 納坦（Dror Bar-Natan）、羅蘭?范德維恩（Roland van der Veen）

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）開始嘗試用更易計(jì)算、同時(shí)保留其核心價(jià)值信息的不變量來近似孔采維奇積分。存在一組自然的不變量序列，能越來越細(xì)致地捕捉孔采維奇積分的細(xì)節(jié)。但除了序列中的第一個(gè)不變量外，沒人知道如何高效地完整計(jì)算這些不變量。

“輸出結(jié)果美得驚人，變化多到難以置信。它仿佛來自另一個(gè)世界。” —— 不列顛哥倫比亞大學(xué)的利亞姆?沃森（Liam Watson）

2015年在奧胡斯大學(xué)的一場講座上，巴爾 - 納坦（Bar-Natan）分發(fā)了一份描述其研究目標(biāo)的講義 https://www.math.toronto.edu/drorbn/Talks/Aarhus-1507/index.html 。講義底部用大號紫紅色斜體字寫著：“急需幫助！” 臺下的范德維恩（van der Veen）響應(yīng)了這一呼吁。兩人攜手合作，試圖找到突破序列中第一個(gè)不變量的方法。

他們首先研究序列中的第一個(gè)不變量：亞歷山大多項(xiàng)式，它于1923年被發(fā)現(xiàn)。在紐結(jié)領(lǐng)域，多項(xiàng)式將紐結(jié)的測量值轉(zhuǎn)化為數(shù)字與變量冪次的組合，例如 3x?+8。（亞歷山大多項(xiàng)式還包含 x 的倒數(shù)的冪次。）在過去一個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家提出了數(shù)十種計(jì)算紐結(jié)亞歷山大多項(xiàng)式的方法。巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）著手推廣其中一種方法，并最終用交通流的語言進(jìn)行了表述。

把紐結(jié)想象成一條單向高速公路，在某處剪開，使其有起點(diǎn)和終點(diǎn)。再想象每兩個(gè)交叉點(diǎn)之間都有一座城市。如果一輛車從高速公路起點(diǎn)出發(fā)，它會依次駛過每座城市一次，然后從終點(diǎn)駛出。

1. 剪開你的紐結(jié)高速公路

2. 在每個(gè)交叉點(diǎn)前后設(shè)置城市

3. 車輛單向行駛，依次經(jīng)過城市

要構(gòu)建亞歷山大多項(xiàng)式，想象在每個(gè)交叉點(diǎn)處，從上層通道到下層通道有一個(gè)可選的下行匝道。當(dāng)車輛到達(dá)上層通道時(shí)，有一定概率（設(shè)為 x）會選擇走下行匝道而非上層通道。（實(shí)際設(shè)置更復(fù)雜，有時(shí)會涉及 x 的倒數(shù)。）

現(xiàn)在，車輛不一定會恰好駛過每座城市一次。假設(shè)你在邁阿密派出 100 輛車，詢問有多少車流會經(jīng)過亞特蘭大。有些車可能會經(jīng)過亞特蘭大一次，有些則可能多次經(jīng)過或完全繞過。通過亞特蘭大的預(yù)期車流量可以寫成一個(gè)關(guān)于 x 的函數(shù)，它能刻畫紐結(jié)繩線相互纏繞的信息。

對于每兩座城市，你都可以構(gòu)建一個(gè)交通流函數(shù)。這些函數(shù)的簡單組合就能生成亞歷山大多項(xiàng)式，也就是孔采維奇積分的一階近似。

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）認(rèn)為，通過創(chuàng)建一個(gè)包含兩種車輛、以不同概率（例如 x 和 y）走下行匝道的交通場景，或許可以為不變量序列的第二步寫出類似公式。但盡管付出諸多努力，他們始終沒能找到可行的交通流設(shè)置。直到有一天，他們從亞原子粒子數(shù)學(xué)中獲得了靈感。

就像粒子可以結(jié)合或分裂成其他粒子一樣，巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）設(shè)想他們的兩種車輛有時(shí)會結(jié)合形成第三種交通工具 —— 仿佛一輛車被另一輛牽引。兩輛車會作為一個(gè)整體駛過高速公路，之后可能再次分離，各自行駛。你依然可以計(jì)算從邁阿密出發(fā)的車流中有多少會經(jīng)過亞特蘭大，但這一次，你還會追蹤不同的車輛類型。

15 個(gè)帶有不同紅藍(lán)圖案的六邊形

300個(gè)及以上交叉點(diǎn)的多個(gè)紐結(jié)的二維碼

圖源：德羅爾?巴爾 - 納坦（Dror Bar-Natan）、羅蘭?范德維恩（Roland van der Veen）

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）確信自己找到了正確的設(shè)置，但他們?nèi)圆恢廊绾谓M合所有交通流函數(shù)，直接生成一個(gè)紐結(jié)不變量。不過，他們的設(shè)置讓他們對這類不變量的整體 “形態(tài)” 有了直觀認(rèn)識。于是他們采用了一個(gè)經(jīng)典技巧：直接寫出一個(gè)符合整體形態(tài)的公式，然后調(diào)整系數(shù)，確保即便紐結(jié)繩線被挪動，公式依然保持不變。

“從某種意義上說，我們是憑直覺摸索出來的?！?范德維恩（van der Veen）說。

最終得到的結(jié)果是一個(gè)包含變量 x 和 y 的復(fù)雜多項(xiàng)式，讓其他研究人員感到困惑。“你用車輛、匝道和概率做了這么復(fù)雜的操作，而無論你采用紐結(jié)的何種形態(tài)，得出的結(jié)果都保持一致 —— 這太神奇了?！?悉尼大學(xué)的祖扎娜?丹喬（Zsuzsanna Dancso）說，“他們到底是怎么想出來的？”

紐結(jié)之夢

盡管這個(gè)多項(xiàng)式看起來復(fù)雜，但計(jì)算機(jī)可以輕松計(jì)算，即便對于數(shù)百個(gè)交叉點(diǎn)的紐結(jié)也是如此。而且它能力極強(qiáng)：例如，圖本豪爾（Tubbenhauer）計(jì)算得出，該不變量能唯一識別超過 97% 的 18 個(gè)交叉點(diǎn)的紐結(jié)。相比之下，最常用于整理紐結(jié)目錄的瓊斯多項(xiàng)式識別率約為 42%，亞歷山大多項(xiàng)式僅約 11%。

“我認(rèn)為沒有任何不變量在可計(jì)算性和相對能力上能與它媲美。” 沃森（Watson）說。

研究人員將多項(xiàng)式的系數(shù)繪制成一種熱圖，創(chuàng)造出了引人注目的視覺效果 —— 每個(gè)紐結(jié)對應(yīng)一個(gè)華麗的六邊形二維碼。二維碼不同的兩個(gè)紐結(jié)，必定是不同的紐結(jié)。

紐結(jié)的編碼

復(fù)雜的紐結(jié)很難區(qū)分。研究人員公布了一種區(qū)分方法：為每個(gè)紐結(jié)生成一個(gè)特殊多項(xiàng)式，可將其可視化為彩色 “二維碼”。

1. 1） 三葉結(jié)的多項(xiàng)式包含 12 項(xiàng)

2. -x2 -x2 -y2 -x2y2 +xy2 +x2y +xy +x2y +x2y -y2 +xy2 -x2y2

3. 
   

2）要生成二維碼，將多項(xiàng)式的每一項(xiàng)表示為一個(gè)點(diǎn)。以變量 x 的指數(shù)作為點(diǎn)的第一個(gè)坐標(biāo)，變量 y 的指數(shù)作為點(diǎn)的第二個(gè)坐標(biāo)。

(-2,0) (2,0) (0,-2) (-2,-2) (-1,-2) … (2,2)

3）系數(shù)為正，則將點(diǎn)標(biāo)為紅色，系數(shù)為負(fù)，則標(biāo)為藍(lán)色。系數(shù)：項(xiàng)所乘的數(shù)字，此處為 -1。

(-2,0)(2,0) (0,-2)(-2,-2) (-1,-2)... (2,2)

注：系數(shù)絕對值越大，顏色越深。本例中所有系數(shù)均為 1 或 - 1，因此顏色強(qiáng)度相同。

4）將所有點(diǎn)繪制在平面上，然后平移所得圖形，生成更對稱的二維碼。

繪制點(diǎn) → 施加剪切變換 → 將點(diǎn)渲染為六邊形

二維碼不同的兩個(gè)紐結(jié)，必定是不同的紐結(jié)。

圖源：Mark Belan/量子雜志

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）預(yù)計(jì)，這個(gè)二維碼除了區(qū)分紐結(jié)外，還有諸多用途。在他們論文題為 “故事、猜想與夢想” 的章節(jié)中，他們提出二維碼可能有助于闡明廣泛的紐結(jié)拓?fù)涮卣?。例如，他們認(rèn)為六邊形的直徑將為衡量紐結(jié)復(fù)雜度的指標(biāo) ——紐結(jié)虧格（這對曲面研究也至關(guān)重要）—— 設(shè)定一個(gè)下限。丹喬（Dancso）表示，如果這一點(diǎn)得到證實(shí)，“這意味著我們將能更精準(zhǔn)地計(jì)算大型紐結(jié)的虧格?！?/p>

巴爾 - 納坦（Bar-Natan）、范德維恩（van der Veen）以及其他研究人員都確信，這個(gè)新不變量等價(jià)于孔采維奇積分的二階近似，數(shù)學(xué)家稱之為雙圈多項(xiàng)式，并已對其研究了數(shù)十年。

https://arxiv.org/abs/math/0003187

https://arxiv.org/abs/math/0005284

https://msp.org/gt/2007/11-3/p04.xhtml

“我愿意用我的房子打賭。” 北卡羅來納大學(xué)教堂山分校的列夫?羅贊斯基（Lev Rozansky）說，他是最早研究雙圈多項(xiàng)式的學(xué)者之一。

傳統(tǒng)形式的雙圈多項(xiàng)式難以計(jì)算，但拓?fù)鋬?nèi)涵豐富。因此，證明這種等價(jià)性將立即證實(shí)巴爾 - 納坦（Bar-Natan）和范德維恩（van der Veen）賦予其新不變量的大部分拓?fù)淠芰Α＜幢闳绱?，作者仍希望最終能用更簡單的方式解釋這個(gè)新不變量?！耙粋€(gè)基礎(chǔ)構(gòu)造理應(yīng)擁有簡潔的解釋。” 他們寫道。

從某種意義上說，他們覺得自己只是偶然闖入了故事的中間部分。“我們對故事的開頭和結(jié)尾都不甚了解?！?他們寫道。

與此同時(shí)，研究人員可以嘗試創(chuàng)建包含更多車輛和變量的交通流設(shè)置，試圖刻畫孔采維奇積分中存儲的越來越多的信息?！斑€有一整類相似的事物正等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)?！?范德維恩（van der Veen）說。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/a-powerful-new-qr-code-untangles-maths-knottiest-knots-20260422/

https://arxiv.org/abs/2509.18456

https://msp.org/agt/2025/25-1/agt-v25-n1-p12-p.pdf

https://www.math.toronto.edu/drorbn/Talks/Aarhus-1507/index.html

https://arxiv.org/abs/math/0003187

https://arxiv.org/abs/math/0005284

https://msp.org/gt/2007/11-3/p04.xhtml

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