白色情人節，予你π 的千年情歌

今天是國際數學日，也是白色情人節。這樣的巧合下，筆者不免想通過幾首情歌，與大家分享π在千年中對人的愛意。

“還要多遠才能進入你的心，

還要多久才能和你接近”

（郭頂《水星記》）

在科學剛剛萌芽，π還沒被稱為π時，人們就開始想通過計算離π的真實值近一點、再近一點了。

故事要從阿基米德說起。當時人們已經意識到圓的周長與直徑的比是個定值，但是如何得到圓的周長呢？直接拿尺子量肯定是不夠準確的。相比較而言，正多邊形的周長就容易得到些。于是阿基米德想到一個辦法：在圓內部畫一個正多邊形，在圓外部也畫一個相同邊數的正多邊形（準確地來說就是畫出內接多邊形和外切多邊形），不就可以得到圓周長的范圍，進而得到圓周率的取值范圍了嗎？

按照這個思路，阿基米德在只有手算的年代用正96邊形計算出了圓周率的范圍在223/7到22/7之間，并取它們的平均值3.14作為圓周率的值。

無獨有偶，我國魏晉時期數學家劉徽也采用求內接多邊形周長的方法來獲得圓的近似周長。由于避開了外切多邊形周長的求解，計算量大大降低；更令人拍案叫絕的是劉徽將正192邊形的幾個浮動近似值，通過簡單的加權平均就獲得了3.1416這樣含有小數點后四位有效數字的圓周率。理論上來說，如果不是通過加權平均的方法，需要切割到正3072邊形才能得到這樣精確的結果。

劉徽（圖源百度百科）

此后，祖沖之在劉徽的基礎上將圓周率界定在3.1415926-3.1415927之間，成為世界上第一位將圓周率精確到小數點后七位的數學家。然而由于祖沖之所著《綴術》失傳，具體的計算過程仍有待考察。

祖沖之（圖源百度百科）

“漸漸地忘記，

忘記了時間，

我只要沿著記憶的路線，

到最深處，縱然那只是瞬間。”

（胡歌《忘記時間》）

時間與π故事要追溯到16世紀。18歲的伽利略在比薩的教堂中發現吊燈從輕微晃動到逐漸平息的過程中，每完成一次擺動所用的時間是相同的，也就是“擺的等時性”。然而由于時代的局限性，伽利略沒能進一步的研究和應用“等時性”。直到70多年后，荷蘭科學家惠更斯推導出了“等時性”的公式，也就是我們現在所知道的單擺周期公式（大一的讀者朋友現在可以拿出草稿紙來復習一遍推導過程了）。

這個公式表明，單擺的周期只與擺的長度L以及當地的重力加速度g有關，而與掛在擺線上的重物質量m無關。利用這個原理，惠更斯發明出了擺鐘，經過不斷改進后至今仍有應用。

擺鐘（圖源維基百科）

那2π又是為什么會出現在這個公式里呢？在中學數學里我們學過2π對應著360°，也就是圓的一周。然后我們再來看看，長度L的量綱為[M]（米），重力加速度g的量綱為[MS-2]（米每平方秒），它們相除后開方就變成了1/[S-1]，這個形式是不是很眼熟？沒錯，它可以簡單地類比成距離（圓的一周2π）除以速度（），然后就得到時間（周期T）啦！

接下來π走向了更為復雜的領域，因此接下來兩部分分為簡單易懂版和稍微難懂版，讀者朋友們可以自行選擇版本閱讀。

“而你在這里，

就是生命的奇跡”

（林憶蓮《至少還有你》）

簡單易懂版：

時間來到18世紀。這時π在偉大的數學家歐拉的幫助下，通過簡單的加法和等式與我們熟悉的0、1以及我們可能沒那么熟悉的自然常數e以及虛數i聯系了起來，這個等式也被譽為“數學上最偉大的公式之一”。如何理解這個公式的偉大呢？我們可以想象在數學的藏寶閣里有五顆珍貴的寶石，大家知道它們的珍貴，卻從沒想過它們可以和諧地組合起來。歐拉所做的就是將這五顆寶石用最簡單的方式組合起來，從而造出了一頂數學藏寶閣中的桂冠！

稍微難懂版：

時間來到18世紀。偉大的數學家歐拉提出了偉大的歐拉公式：

這個公式又有自然常數e，又有虛數單位i，又有三角函數sin x和cos x，看上去怪讓人害怕的。

這個公式與π的關系是什么呢？我們且將π帶入x進行計算，便可以得到

誰能想到這樣簡單的代入計算竟然將e、i、π、1、0這幾個數學上最為特別的量給結合起來了呢？正因如此，歐拉恒等式被稱為“最偉大的數學公式之一”。這個公式當然不只是簡潔優美，它還包含著旋轉和頻率這兩個物理學中重要的過程和量。不過具體是如何包含的較為深奧，在此暫且不贅述了。

歐拉（圖源維基百科）

“知道嗎？

這里的雨季只有一兩天，

白晝很長也很短，

夜晚有三年”

（陳綺貞《我喜歡上你時的內心活動》）

簡單易懂版：

20世紀是量子力學出現的世紀，而在這個世紀π也沒有缺席。在海森堡的幫助下，π與不確定性原理產生了聯系。等會，不確定性原理指什么呢？簡單來說，這指對于很小很小的小球（小到眼睛無法直接看到）來說，它準確的位置、質量和速度是沒有辦法同時獲得的。想象一下假如我們能看到這個小球，就會發現在我們能看到小球在哪時，卻沒有辦法知道它有多重以及它跑得多快；反過來我們知道小球的重量和跑的速度時，又沒辦法看清小球究竟在哪里了。當然這種微觀的東西和我們實際生活體驗還是很不一樣的，一時難以理解和接受是非常正常的。

稍微難懂版：

20世紀，也就是量子力學萌芽和發展的世紀，π依然擁有一席之地。其中大家最熟悉的或許就是海森堡不確定性原理的公式了

在這個公式中，x表示位置，p表示動量（動量就是質量與速度的乘積），h是普朗克常數（普朗克常數用來描述量子大小，深究下去非常有意思，感興趣的讀者可以查閱相關資料）。這個公式的含義是位置移動測量上的不確定量（）與動量測量上的不確定量（）相乘一定會大于（這個常數通過實驗和理論都可以得到），意味著位置和動量的確定性都是有限的，不可能同時得到粒子準確的位置和動量。

海森堡（圖源維基百科）

就這樣，π從被發現開始，一直伴隨著人類科學的進步?；蛟S在未來，也依然有新的包含π的偉大公式出現，帶領人們走向包含更多可能性的未來。

美編：韓雅彤

校對：萬鵬