布爾戈斯大教堂辛波里奧的八角形幾何圖案

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文對布爾戈斯大教堂中以科爾多瓦比例為特色的元素進行了幾何分析。它以非凡的比例為基礎，通過玫瑰花形和超立方體，激發了數學和裝飾方面的創造力。

簡介

布爾戈斯是西班牙卡斯蒂利亞和萊昂地區的一座城市（圖 2）。其大教堂造型獨特的尖塔和莊嚴的塔樓是西班牙哥特式藝術最精美的成就之一（圖 1）。布爾戈斯大教堂被聯合國教科文組織宣布為世界文化遺產[Rico Santamaria 1985]。

圖1：布爾戈斯大教堂

圖2：西班牙卡斯蒂利亞·萊昂（灰色）

阿方索六世建造了這座名為圣瑪麗亞（Santa María）的11世紀羅馬式大教堂（始于 1075 年，竣工于1096年），西班牙著名貴族和軍事領袖羅德里戈·迪亞斯·德·維瓦爾（Rodrigo Díaz de Vivar，人稱 Cid Campeador）就是在這座教堂流亡的。西班牙史詩《Cantar del Mío Cid》講述了這一歷史事件和這位卡斯蒂利亞騎士的英雄事跡，將中世紀西班牙基督教王國與阿拉伯人之間的戰爭歷史與傳說融為一體。

現在的大教堂是國王、主教、建筑師、雕刻師、工匠、大理石工人、鐵匠等集體努力和干預的結果。13世紀初，許多因素推動了新大教堂的建設：歷史的活力、城市的支持、布爾戈斯鎮在卡米諾·德·圣地亞哥的戰略地位，以及主要是主教毛里西奧的任命，他是一位深受國王費迪南德三世信任的德高望重的人。在游歷了法國和德國之后，這位主教敦促斐迪南國王建造一座巨大而莊嚴的新大教堂。1221年7月20日，新大教堂奠基。

布爾戈斯大教堂的建筑方案受到了法國哥特式設計的影響，15世紀后，還受到了德國藝術靈感的影響。它的建筑經歷了許多階段和風格：從古典哥特式（從1221年到14世紀上半葉）到晚期哥特式（從14世紀下半葉到16世紀上半葉）。文藝復興和巴洛克風格的一些元素也存在，但它們不那么突出。

幾何圖案

大教堂的一些重要元素都是在第二階段建造的：八角形尖塔、八角形康德斯特伯格禮拜堂（中世紀時，康德斯特伯格是軍事職業中的最高級別），以及當時最重要的建筑——哥特裝飾華麗風格的八角形塔樓，又稱辛博里奧（cimborio）。這座塔樓是大教堂中最高的塔樓，與中廳的燈籠相對應，呈八角棱形，內含一個正方形棱柱，棱柱的頂點上有四個塔樓。在八角棱柱的頂點上還聳立著八個較小的塔樓。八角形塔樓位于中殿的十字路口處，那里是Cid Campeador的墳墓所在。

從通向大教堂中廳的薩門塔爾立面的大門進入，可以更清楚地看到辛博里奧的幾何形狀。然后，就可以從內部看到塔樓的全貌。它是一個八角棱柱，由四個大圓柱支撐（圖3）。中間有一個設計精巧的花環（圖4）。

圖3：拱頂

圖4：逆光圖案（左）；玫瑰花形的幾何圖案（右）

建造第一座塔樓的倡議來自路易斯·德·阿庫尼亞主教，他在1460年提出了為中隔建造燈籠的想法。建筑大師是胡安·德·科隆尼亞（Juan de Colonia），他將當時德國的建筑趨勢和方法融入其中。

1481年，胡安去世，他的兒子西蒙·德·科洛尼亞（Simon de Colonia）繼續這項工程，并于1489年完成了塔樓的建造。不過，現在的辛博里奧塔與原來的塔并不一樣。卡斯蒂利亞高原上的平原冬季氣候惡劣，尤其是降雪和大風。積雪增加了塔的重量，從而使其重心失衡。這些情況導致它在1539年倒塌。

建筑師胡安·德·巴列霍（Juan de Vallejo）于1544年接管了修復工作，但他可能得到了西蒙（Simon）之子弗朗西斯科-德-科洛尼亞（Francisco de Colonia）的幫助，后者于 1542 年去世。德·巴列霍修復了塔樓，給柱子涂了一層涂料，并加大了底座的面積。這樣他就降低了塔的細長度，即高度與地面支撐面之間的比例。塔樓于1573年完工，但在1642年，一場狂暴的颶風摧毀了辛博里奧的八個外塔，并嚴重損壞了周圍的穹頂。1644年的一場大火也中斷了修復工作。

最后，在1981年，另一場肆虐的暴風雨摧毀了穹頂的一些尖頂和裝飾物。20世紀80年代修復大教堂的建筑師馬科斯-里科-桑塔瑪麗亞還減輕了覆蓋層的重量，從而稍微降低了重心，保證了穹頂的穩定性。這位建筑師認為，“辛博里奧大教堂是另一座大教堂之上的一座大教堂”[Rico Santamaria 1985]。

塔的拱頂由越來越小的凸八邊形組成，最后形成一個八角星形多邊形。它將用“8/3”來表示，以指出它是由連接八邊形八個規則間隔頂點中每三個點的直線構成的圖形。另一顆星8/3的點出現在多邊形的凹頂點上。最后一顆星的八個凹頂點可以用線段連接起來，形成一個八臂十字（見圖 4）。

在拱頂上的兩顆主星之外，還有各種三角形、梯形和相連的正方形，形成一個覆蓋拱頂的格柵。小圓圈上雕刻著三葉形和希臘十字（見圖 5）。

圖5：拱頂的細節。

數學解釋

正八邊形的一個顯著比例是用正八邊形的第二條對角線除以正八邊形的邊長（圖 6），得到 1+√2 或"白銀"比例或數字，這里用θ表示（見 [Kappraff 1996] 和 [Spinadel 1998]）。第二種比例是用八邊形的半徑除以邊長（圖 7），得出 (√(2-√2))^-1，用c表示（見 [Redondo Buitrago 和 Reyes 2008a、2008b、2009]）。該比例被稱為"科爾多瓦比例"，因為它是由西班牙建筑師拉斐爾·德拉·霍茲·阿德里烏斯（見 [Hoz 1976]）提出的，他對西班牙城市科爾多瓦的建筑進行了研究。θ和c的關系為c=√((1+θ )/2)或θ=√2c^2。

圖6：白銀矩形

圖7：科爾多瓦三角形

注意，第二個(大的)玫瑰花結與第一個(小的)相似，因為它是由相似比c√2=θ/c的中央膨脹產生的(圖8)。

圖8：利用反射和膨脹構造拱頂

如果一個邊長為θ/1的“銀色”矩形繞其中心旋轉45度，將得到一個內接于八邊形的8/3星形多邊形以及一個內八邊形（圖9）。

圖9：旋轉銀色矩形

AB/CD之比就是白銀比例θ。科爾多瓦三角形的兩條相等邊的旋轉產生了同樣的星形8/3（圖10）。

圖10：旋轉科爾多瓦三角形

8/2 星形是用直線連接八邊形八個間隔規則的頂點的每第二個點而形成的圖形。在圖 11 中，這個 8/2 星用紅色繪制，刻在一個綠色八邊形上。綠色八邊形位于兩個藍色八邊形之間，兩個藍色八邊形的邊構成了一個幾何序列，其比例為 θ/c。

圖11：欽博里奧和嵌套八邊形中的8/2號星。

屋頂上還有兩個嵌套的正方形，嵌在由一個科爾多瓦三角形和一個等腰直角三角形拼成的四邊形中。這說明了一個幾何性質：

給定由一個科爾多瓦三角形 PQR 和一個等腰直角三角形 QRS 結合而成的四邊形 PQSR，公共邊 QR 將正方形 ABCD 分成一個 √2 矩形和 一個1+θ=2c^2 矩形。兩塊的面積之比等于 θ（圖 12）。

圖12：四邊形細節的比例。

當放置一個正方形，使其三個且只有三個頂點與科爾多瓦三角形ABC相交時，會得到另一個有趣的形狀：繞其外心O旋轉七次45°會產生一個類似星形網格的圖案(圖13)。它分裂成一個玫瑰花結和一系列四個嵌套的8/2星(圖14)。

圖13：星形網格的生成器

圖14：星星的網格及其細分

將橙色和藍色的星星放在花環的頂部，彩色玻璃裝飾元素的最小方格被鎖定在它們之間（圖 15）。外圍的兩顆綠色和橙色星星構成了比例為√2/2的幾何收縮，而內部的兩顆藍色和紫色星星則不屬于這個序列（圖 16）。

圖15：拱頂的裝飾元素

圖16：收縮星星

藍星的頂點H將線段BJ分成三個線段BH、HI和IJ，使得BH=IJ和BJ/HI=θ，因為BJ和HI分別是橙色八邊形的第二條對角線和邊，其長度與θ之比(圖17)。當我們考慮半徑AD和點B和c時，紫色的星起著類似的作用。這是泰勒斯的“截距”定理的直接結果，因為AF/FG=θ(圖18)。

圖17：藍星和θ

圖18：紫星和θ

通過添加更多的方格（見圖 19 和 20），可以擴展科爾多瓦三角形的剖面，從而在一個超立方體中嵌入一個玫瑰花環，在玫瑰花環中嵌入一個超立方體，以此類推。圖21顯示了圖案的分形特征。

圖19：花環上的梯形和三角形

圖20：科爾多瓦三角形的分形剖面圖

圖21：嵌套花環和超正方體

參考文獻

HOZ, Rafael de la. 1976. La proporción Cordobesa. Actas de quinta asamblea de instituciones de

Cultura de las Diputacioness. Córdoba: Ed. Diputación de Córdoba. 、

KAPPRAFF K , Jay. 1996. Musical Proportions at the Basis of Systems of Architectural Proportions

both Ancient and Modern. Pp. 115-133 in Nexus: Architecture and Mathematics, Kim

Williams, ed. Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba. http://www.nexusjournal.com/conferences/N1996-Kappraff.html.

REDONDO BUITRAGO, Antonia and Encarnation REYES. 2008a. The Cordovan Proportion: Geometry, Art and Paper folding. Hyperseeing May-June 2008: 107:114. http://www.isama.org/hyperseeing/08/08-c.pdf.

———. 2008b. The Geometry of the Cordovan Polygons. Visual Mathematics 10, 4.

http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/redondo2009/cordovan.pdf

———. 2009. Cordovan Geometrical Patterns and Designs. Journal of ISIS-Symmetry: Art and

Science 1, 4: 68-71.

RICO SANTAMARíA, Marcos. 1985. La Catedral de Burgos. Patrimonio del mundo

o. Burgos: Fournier.

SPINADEL, Vera. W. de. 1998. The Metallic Means and Design. Pp. 141-157 in Nexus II: Architecture and Mathematics, Kim Williams, ed. Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba.

http://www.nexusjournal.com/conferences/N1998-Spinadel.html.

青山不改，綠水長流，在下告退。

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