特魯謝瓷磚：從組合數學的圖形處理到密鋪的法則

女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

1704 年，法國神父塞巴斯蒂安·特魯謝發表了一篇題為 “關于組合的備忘錄”（Mémoire sur les Combinaisons）的短文，研究了一組正方形瓷磚的可行圖案，每塊瓷磚都被對角分割成兩個彩色三角形（特魯謝，1704 年；萊曼，2009 年）（圖 1）。他研究了 “組合數學的圖形處理”，這在當時的數學界基本上是革命性的（Smith 和 Boucher，1987 年）。1987 年，C.S. Smith 發表了《塞巴斯蒂安·特魯謝的密鋪模式和結構層次拓撲學》一文，分析了特魯謝的密鋪模式，并提出了現在公認的特魯謝原始密鋪模式的變體（Smith 和 Boucher，1987 年）。在這一變體中，史密斯在對角線上使用了弧線，取代了特魯謝原始拼塊中的兩個三角形。每個四分之一圓弧的中點都將正方形拼塊的邊緣一分為二，這樣當拼塊相鄰排列時，圓弧就會相遇，形成一組相連的圓弧（圖 2）。拼塊的旋轉特性允許多種拼塊排列方式。本研究利用史密斯對特魯謝拼塊的變體（以下稱為“特魯謝拼塊”）作為特魯謝拼塊法則的基礎。

圖1：塞巴斯蒂安·特魯謝的原始拼塊：a特魯謝的雙色拼塊，b兩塊拼塊的可能組合，c 拼塊圖案示例。拼塊重繪自（Smith 和 Boucher，1987 年）

圖2：C.S. Smith 的 “特魯謝拼塊”：（a）特魯謝拼塊，（b）兩塊拼塊的可能組合，（c）拼塊圖案示例。拼塊重繪自（Smith 和 Boucher，1987 年）

組合數學的圖形處理和形狀法則

特魯謝之所以希望探索組合問題的視覺方面，是因為他觀察了一堆有對角線分割的瓷磚，并想象如何用一塊瓷磚實現各種視覺上悅目的圖案。史密斯指出，雖然特魯謝在他的論文中計算的所有關系都可以用簡單的組合數學來表示，但視覺展示對許多人來說更有意義，它捕捉到了藝術家使用的一些規則，“無論他們是否意識到這些規則”（史密斯和鮑徹，1987 年）。特魯謝的興趣在于使用可視化表示來計算可能的瓷磚排列，然后將這些空間關系作為生成瓷磚圖案系列的基礎，這與形狀法則論述的雄心壯志不謀而合。本研究利用這種共同的興趣，研究形狀法則如何使我們對特魯切瓷磚及其在設計中的可能應用的理解正規化并加以擴展。在史密斯對特魯謝拼塊的拓撲學研究（史密斯和鮑徹，1987年）的基礎上，本研究使用形狀規則來設計特魯謝拼塊的其他變體。

形狀規則是形狀法則的基本組成部分，而形狀法則是對設計進行生成描述的最強大的形式主義之一（Stiny 和 Gips 1972; Stiny 1980a, 2006; Knight 1994）。形狀規則的一般書寫形式為 A→B，其中形狀A（有時包含在規則應用的設計環境中）用形狀B代替。形狀法則是一組連續應用的形狀規則，用于生成設計，形狀規則中描述的視覺計算直接對點、線、平面和體積進行操作。斯坦尼（1977: 89-98）的冰射線法則展示了如何將形狀法則應用于研究裝飾格子設計的參數結構，以及具有可觀察到的周期性或規則性結構的更簡單圖案，這與特魯謝論文中的研究不謀而合。斯坦尼的簡單格子圖案和特魯謝的組合拼貼系統的關鍵設計操作都是單個圖案和單個拼塊的方向，這為將特魯謝的邏輯轉化為基于規則的規范提供了一個起點。本研究采用形狀法則生成特魯謝拼塊的變體，以描述二維和三維生成式拼塊系統，從而完成了這項工作。請注意，在這種法則中，形狀并不融合，而是被定義為“集合法則”，例如 Stiny 為幼兒園積木物理游戲定義的法則（Stiny 1980b）。

特魯謝拼塊法則

特魯謝拼塊法則由三套規則組成：（1）二維拼塊規則；（2）二維圖案規則；（3）三維拼塊規則。根據設計意圖，這些規則集可以單獨使用，也可以按順序連續使用。

二維拼塊規則

第一套形狀規則用于生成根植于特魯謝拼塊邏輯的二維拼塊。雖然史密斯最初的“特魯謝拼貼法”完全基于正方形，但其中的通用規則擴展了“特魯謝拼貼法”的拼貼邏輯，納入了其他可以拼貼平面的正多邊形和不規則多邊形，并引入了更多拼貼變化。法則以初始形狀規則開始，該規則用于在笛卡爾平面上的多邊形上放置標簽。然后，由和運算和一般變換組成的形狀規則被遞歸應用。生成的每塊瓷磚都是一個封閉的形狀，對角線上有弧線；弧線的程度由參數變量控制（中心點：（x0，y0）；半徑：r0）。色域被用作權重（Knight，1989 年；Stiny，1992 年），以區分拼塊的特定區域，在此階段使用這一慣例來生成一對具有互補色域的反向拼塊。這些權重隨后將用于為法則中的三維拼塊規則參數提供信息。圖3展示了使用規則生成二維正方形特魯謝拼塊的推導示例。

圖3：使用二維拼塊規則產生正方形拼塊的樣本推導

二維圖案規則

二維圖案規則用于創建基本的貼磚配置，然后在基本圖案中放置特定的瓷磚圖案。根據特魯謝拼塊的性質，形狀規則在生成二維拼塊配置時利用了旋轉和折射。這些規則同樣利用權重和標簽來指定方向，并區分使用前一組規則生成的兩對拼塊。二維圖案規則可以由 x → x + t(x) 和 x → x + t (x‘) 兩種模式定義，在這兩種模式中，一個拼塊的平移版本或一個拼塊的平移和倒置版本會被復制到該拼塊的鄰近位置。圖4顯示了六種二維圖案，它們是使用相同的二維密鋪配置（如左圖所示）生成的，其中不同的正方形特魯謝拼塊是使用上一組規則中的二維拼塊規則生成的。

圖4：采用不同二維特魯謝拼塊的二維拼塊配置示例

三維拼塊規則

三維拼塊規則以各種方式將二維拼塊轉換為三維拼塊。參數形狀規則用于控制單個拼塊不同區域的深度，這些區域之前已指定了顏色權重。生成的三維拼塊可以以不同的圖案和深度組合在一起，生成三維圖案。圖5顯示了基于圖4所示二維拼塊配置的六種三維圖案。圖中的拼塊是利用規則生成的，這些規則通過擠壓將二維拼塊轉化為三維拼塊。

圖5：使用不同三維特魯謝拼塊的三維圖案樣本

結論

本文介紹的特魯謝拼塊法則是一個用于設計二維和三維拼塊和圖案的生成系統。在他的“組合學圖形處理”中，特魯謝定義了組合二維拼塊生成各種抽象圖案的視覺關系（史密斯和鮑徹，1987 年）。本文概述的特魯謝拼塊法則以特魯謝的視覺符號為基礎，同時定義了二維圖案規則，并將其擴展到拼塊幾何、形狀和三維方面的更多變化。圖6舉例說明了一些二維和三維拼塊，以及使用該法則可以生成的圖案。請注意，推導并不局限于這些示例。該法則為生成二維和三維拼塊和圖案提供了一個開放式框架。

圖6：設計變化：a 二維拼塊樣本，b 二維圖案樣本，c 三維拼塊樣本

特魯謝拼塊法則適用于各種設計場景。該法則可用于設計和制造地板磚和墻板，例如Worre Foged和Scafdi（2022：101-110）設計的隔音板，只需一小部分獨特的組件就能生成視覺上有趣且可定制的圖案。另一方面，特魯謝拼塊法則的使用并不局限于設計建筑拼塊和面板。正如萊昂內爾·馬奇（Lionel March，2015：553-578）在《1960 年以來的數學與建筑》一書中所論述的，這類形式主義也可用于城市規劃和空間設計。例如，最近由 Matsys 設計的概念瓷磚屋項目就在生成平面布局時使用了特魯謝拼塊邏輯。

會議期間，我們將介紹特魯謝拼塊邏輯的背景，詳細介紹特魯謝拼塊法則，以及我們如何將特魯謝的“組合”視覺符號轉化為形狀規則，舉例說明潛在的使用案例，并討論其局限性。

參考文獻

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Natalie Walter, Heather Ligler, Benay Gürsoy, From Graphical Treatment of Combinatorics to Tiling Grammars

青山不改，綠水長流，在下告退。

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