人一到無窮∞微積分從娃娃學起

一個父親帶著一個孩子，認真一點就可以讀懂微積分。

把一個復(fù)雜現(xiàn)象分解成無數(shù)的小片段，然后再將這些片段重新累加，你會發(fā)現(xiàn)：原來微積分就是這么“拆”和“合”。

你會在展覽中看到圓面積的“拼接”——從一個個小三角形接近圓的過程，到不規(guī)則形狀如何利用“無限切割”接近求和。

甚至還可以親自動手分割圖形、計算累積量，從小處逐步體會到微積分幫助我們掌控“無窮小”的神奇之處。

這里每個體驗區(qū)都將抽象的微積分概念變得鮮活、生動。無論是曲線的弧度、速度的變化，還是面積的累加，這個展覽將幫助你在短短的觀展時間里讀懂微積分的核心思想。

一、什么是無窮小？

無窮小（infinitesimal）是一個無限接近于零的概念，但并非真正等于零。設(shè)想你有一把“神奇的尺子”，可以將物體的長度測量到極致小的單位。

1.1米：測量人的身高；

2.10^-3米（毫米）：測量螞蟻觸角長度；

3.10^-6米（微米）：測量細菌直徑；

4.10^-15米（飛米）：測量原子核尺寸；

5.10^-35米：普朗克長度，物理理論上的極限尺度。

當我們繼續(xù)縮小到幾乎為零時，進入了一個神秘的領(lǐng)域，這個尺度雖然“無限小”，但它卻包含無窮的信息，并能在微積分中幫助我們解答許多問題。

二、無窮小的奇妙之處

無窮小的思想揭示了許多有趣的數(shù)學現(xiàn)象和悖論：

·飛矢不動悖論：芝諾認為，將時間無限分割，每個瞬間中的箭是靜止的，似乎箭永遠不會動。

·烏龜悖論：假設(shè)兔子和烏龜賽跑，烏龜比兔子先跑出一段距離，兔子每次追上烏龜之前的位置時，烏龜都向前移動一小步，因此兔子似乎“永遠追不上”烏龜。

·日砍其半：如果每天將一根木棍截取一半，棍子將永遠也截不完，這意味著在無限次操作后，還存在棍子的“無窮小”部分。

這些悖論挑戰(zhàn)了直覺，啟發(fā)了數(shù)學家們思考如何用微積分來描述無限分割和累積的過程。

三、窮竭法與早期微積分

古希臘數(shù)學家們通過“窮竭法”探索如何計算圓形的面積，他們通過分割和累積，讓多邊形的面積無限接近圓的面積：

·劉徽的割圓術(shù)：魏晉時期數(shù)學家劉徽提出“割圓術(shù)”，通過將圓分割成多邊形，并不斷增加邊數(shù)，使得多邊形的面積接近于圓。劉徽將π的值精確到3.1416。

·阿基米德的圓周率：阿基米德用內(nèi)接與外接多邊形估算π值在223/71與22/7之間。

窮竭法提供了一種極限思想的早期模型，這一思想也為微積分奠定了基礎(chǔ)。

四、從無窮小看微積分的魔法：以直代曲

在微積分中，一個重要的概念就是把復(fù)雜的曲線分割為無數(shù)小的直線段來求解，這就是“以直代曲”的思想。

示例一：圓的分割

假設(shè)將圓等分后拼成平行四邊形，再繼續(xù)細分，當分割無限小時，這個形狀逐漸趨于一個長方形，其面積可計算為：A=πr^2

示例二：水洼面積

如果將一杯水倒在地板上形成不規(guī)則形狀，我們可以將其邊緣分割成無數(shù)小直線片段，逐段求出面積。通過無窮小的分割和累積，我們可以近似求出水洼的總面積。

這種方法不僅適用于簡單的幾何形狀，也可應(yīng)用于更復(fù)雜的曲線和形狀。通過對形狀的分割和無窮小的累積，我們可以輕松計算復(fù)雜圖形的面積和體積。

到了這一步，基本上已經(jīng)明白微積分的本質(zhì)是什么了。
其實就是用可計算的三角形和四邊形來計算不規(guī)則圖形。
但我們還可以更進一步。

五、微積分的基本思想：切割與累積

微積分的核心概念——微分和積分——都依賴于無窮小和累積。

微分：描述函數(shù)隨變量變化的瞬時變化率。例如，函數(shù)y=f(x)的微分表示為：

積分：表示連續(xù)變量上無窮小變化的累積。例如，求一個曲線下方的面積可以表示為：

六、萊布尼茨的樓梯法：微積分的推導(dǎo)

萊布尼茨在探索微積分的過程中，創(chuàng)造性地使用了“樓梯法”來推導(dǎo)連續(xù)求和的公式，并發(fā)現(xiàn)了微積分的基本思想。

這個方法通過將復(fù)雜的累加問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)差分之和，從而簡化計算。在萊布尼茨的樓梯法中，他展示了如何將離散的變化轉(zhuǎn)化為連續(xù)的累積，理解微積分的原理。

問題引入：一個99層的樓梯

惠更斯出了一道題來考萊布尼茨：“假設(shè)一個人正爬一個99層的樓梯，每層的高度不一樣，如何測量從樓梯底部到頂部的總高度？”

在這種情況下，樓梯的總高度可以表示為一個求和公式，其中每層的高度是一個分數(shù)：

推導(dǎo)過程：連續(xù)差分之和

萊布尼茨通過觀察這一公式的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)每一項都可以寫成一個連續(xù)差之和的形式，這樣的表達在計算中會引發(fā)“抵消效應(yīng)”，大大簡化了計算。

首先，將每一項進行差分轉(zhuǎn)換：

這樣，原來的求和公式可以改寫成：

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)相鄰項會互相抵消，最終只剩下第一個和最后一個分數(shù)
最終答案為0.99。這種通過連續(xù)差分累加得出結(jié)果的方式，使得問題變得非常簡單。

萊布尼茨提出的一個重要問題是：“有沒有一種可能，無論多么復(fù)雜的連續(xù)變化，只要找到它的簡化規(guī)律，就可以得到準確的結(jié)果？”

他意識到，關(guān)鍵在于將低維的復(fù)雜問題提升到一個更高的維度來思考。也就是說，一個在低維度中看起來難以解決的復(fù)雜問題，若能找到高維度的簡化規(guī)律，就會變得非常簡單。

他想到，或許不僅僅是離散求和問題可以通過差分解決，任何復(fù)雜的連續(xù)變化也可以找到相似的簡化規(guī)律。

微積分的基本定理：高維的簡化

萊布尼茨進一步發(fā)展了這一思想，提出了“微積分的基本定理”。這個定理的核心在于將一個連續(xù)變化的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個更高維度的累積函數(shù)。

這個過程的本質(zhì)是通過高維的累積將低維的微小變化復(fù)原為整體值，從而將復(fù)雜的連續(xù)變化問題轉(zhuǎn)化為可解的形式。

在這種意義上，微積分的基本定理不僅是一個計算工具，還是一種簡化方法，它將變化問題提升到更高的維度，借此實現(xiàn)簡化。對于萊布尼茨來說，任何連續(xù)變化的過程都可以通過高維累積來還原，這種“簡化”的方式讓他將復(fù)雜問題化為簡單、直接的表達。

牛頓雖然是從物理學上創(chuàng)立了微積分，但本質(zhì)和核心是相一致的。

七、微積分的定積分公式

微積分的強大之處在于，它將復(fù)雜的連續(xù)變化轉(zhuǎn)化為簡單的公式，使得我們能夠精確描述和計算那些看似難以掌控的現(xiàn)象。

通過定積分，我們可以輕松求解面積、體積、位移等問題。

無論多么復(fù)雜的連續(xù)變化，我們都可以借助這些公式輕松表示并計算出結(jié)果。這不僅使得世界變得更簡單，也展示了微積分在描述自然規(guī)律中的強大力量。

以下是常見的定積分公式，它們展示了如何利用微積分來簡化現(xiàn)實世界中的復(fù)雜變化：

八、總結(jié)：微積分的魅力

微積分是一門關(guān)于簡化和累積的學科，它將復(fù)雜的變化過程分解為無窮小的累積，幫助我們理解自然界中的復(fù)雜現(xiàn)象。無窮小和高維累積的概念讓我們可以更精確地測量和計算，揭示出宏觀和微觀世界的規(guī)律。微積分不僅是一種數(shù)學工具，更是一種觀察和理解世界的方法。