小樂數學科普：掛谷猜想專題系列——怎樣移動針頭的簡單數學——譯自Quanta Magazine量子雜志

圖源：Robert Neubecker|Quanta

三點轉彎（汽車調頭）背后的空間直覺為一個世紀以來的幾何問題提供了一個高速匝道。

作者：Patrick Honner（量子雜志特約專欄作家）2023-9-29

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-1-31

想象一下，你正坐在一輛上街行駛的無人駕駛汽車上，看到前方有點問題。一名亞馬遜送貨司機的貨車駛過一輛并排停放的UPS卡車時，發現自己無法通過。現在他們被困住了。而你也是。

街道太窄，無法調頭（U-ey），因此你的人工智能增強型汽車會啟動三點轉彎。首先，汽車沿著一條彎曲的路徑駛向一個路邊。一旦到達之后，它就會轉向另一個方向并倒回到對面的路邊。然后，它將方向盤朝第一個彎曲路徑的方向轉回來，向前行駛并遠離障礙物。

三點轉彎調頭

圖源：Merrill Sherman|Quanta

這種簡單的中間轉彎幾何算法可以幫助你在緊張的情況下繞過。（如果你曾經平行停車，你就會知道這種來回擺動可以為你帶來什么。）

五點轉彎調頭

圖源：Merrill Sherman|Quanta

這里有一個有趣的數學問題，你需要多少空間來讓你的汽車調頭，100多年來，數學家們一直在研究這個問題的理想化版本。它始于1917年，當時日本數學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了一個看起來有點像我們的交通擁堵的問題。

假設你有一根長度為1的無限細的針。將針旋轉180度并將其返回到原始位置的最小區域的面積是多少？這被稱為掛谷針問題（Kakeya’s needle problem），數學家們仍在研究它的變體。讓我們看一下使掛谷針問題如此有趣和令人驚訝的簡單幾何。

與許多數學問題一樣，這個問題涉及一些簡化的假設，使其不太現實，但更易于駕馭。

例如，當你開車時，汽車的長度和寬度很重要，但我們假設針的長度為1，寬度為0。（這意味著針本身的面積為零，這對于我們解決問題起著重要作用。）此外，我們假設針與汽車不同，可以繞其前端、后端或之間的任何點旋轉。

目標是找到允許針旋轉180度的最小區域。找到滿足一組特定條件的最小的東西可能具有挑戰性，但一個好的開始方法是尋找滿足這些條件的任何東西，并看看在此過程中你可以學到什么。

例如，一個簡單的答案是只需將針繞其終點旋轉180度，然后將其向上滑動即可。這會將針返回到其原始位置，但它現在指向相反的方向，正如掛谷針問題所要求的那樣。

轉彎所需的區域是半徑為1的半圓，其面積為A=?πr2=?π(1)2=?π=π/2 。所以我們找到了一個有效的區域。

利用神奇的數學針繞任意點旋轉的能力，我們可以做得更好。我們不圍繞端點旋轉它，而是圍繞中點旋轉它。

你可以稱之為掛屋指南針：我們的指針一開始指向北方，但旋轉后它在同一位置但指向南方。該區域是一個半徑為?的圓，因此其面積為A=πr2=π(?)2=π?=π/4 。這是我們第一次找到的區域面積的一半，所以我們正在取得進步。

接下來該去向何處呢？我們可以從無人駕駛汽車的困境中獲得靈感，并考慮使用諸如三點轉向之類的指針。這實際上效果很好。

使用這種技術針掃過的區域稱為deltoid（三角旋輪線），它也滿足掛谷問題的要求。

計算其面積需要的不僅僅是我們在這里討論的基本幾何（參數曲線的知識會有所幫助），但事實證明，這個特定三角旋輪線的面積（被長度為1的線段掃過）恰好是π/8 。

現在我們有一個更小的區域可以扭轉掛谷的局面，你可能會認為這是我們能做的最好的。掛谷自己也認為可能是這樣。

但當俄羅斯數學家艾布拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch）發現你可以做得更好時，這個針問題發生了巨大的轉變。他想出了一個程序來削減該區域不必要的部分，直到它像他想要的那樣小。

這個過程技術性強且復雜，但基于貝西科維奇想法的一種策略依賴于兩個簡單的想法。首先，考慮下面的等腰直角三角形，高為1，底為2。

此刻我們忘記完全轉動針，而只關注一個簡單的事實：如果我們將一根長度為1的針放在三角形頂部頂點，則三角形足夠大到讓針旋轉完整的90度，即從三角形的一條（直角）邊到另一條（直角）邊的度數。

由于三角形的面積為A=?bh ，因此該三角形的面積為A=?×2×1=1 。

現在，這有第一個重要的想法：

我們可以在保留90度旋轉的同時減少該區域的面積。策略很簡單：我們將三角形從中間切開，然后將兩半推到一起。

這個新圖形的面積必定小于原圖形，因為現在三角形的一部分重疊了。實際上，很容易計算這個圖形的面積：它只是邊長為1的正方形的四分之三，因此面積是A=? ，小于我們剛開始的三角形面積。

我們仍然可以將針指向與以前相同的方向。只有一個問題：原來的角已被分成兩部分，因此這些方向現在被分為兩個單獨的區域。

如果指針位于新區域的左側，我們可以將其在正南（正下方）和東南（右下方）之間旋轉45度；如果它在右側，我們可以將其在正南（正下方）和西南（左下方）之間旋轉45度。但由于這兩個部分是分開的，我們似乎無法像以前那樣將其旋轉完整的90度。

這就是第二個重要想法的用武之地：

有一種偷偷摸摸的方法可以將針從一側移動到另一側，并且不需要太多的面積。在象棋中，你可能知道馬的走法是L字形。好吧，我們的針將以N字形（順時針旋轉90°的Z字形）移動。

這是如何完成的方法：

首先，指針沿著N的一側向上滑動。然后它旋轉到沿對角線的指向，然后向下滑動。然后它再次旋轉，并通過沿著N的另一側向上滑動來完成其行程。

起初，這種N字形移動看起來可能不多，但是它非常有用。

它允許針頭從一條平行線“跳”到另一條線，這將有助于我們將針從一個區域轉到另一個區域。

更重要的是，它不需要很多面積。實際上，你可以使它需要盡可能小的面積。原因如下：

回想一下我們的針的寬度為零。因此，針頭向前或向后移動的任何線段將具有零面積。這意味著將針頭向上，向下或沿對角線在N字形上移動的區域將由零面積的部分組成。

這樣就只剩下N字形角上的旋轉。

這些移動確實需要面積。你可以在每個角上看到圓形中的一個小扇形。但這里有一個隱秘的機關：你可以通過拉長N字形來縮小這些區域。

圓扇形面積的公式為A=(θ/360)πr2 ，其中θ是扇形角度。無論N字形有多高，扇形的半徑始終為1：因為這是針的長度。

但隨著N字形變高，角度θ會縮小，這會減少扇形的面積。因此，你可以根據需要通過拉伸N字形來使額外面積盡可能小。

請記住，我們可以通過將三角形區域分成兩部分并使各部分重疊來減少面積。問題在于，這將90度角分成了兩個獨立的部分，導致我們無法將針旋轉完整的90度。現在我們可以通過添加適當的N字形來解決這個問題，以確保針有從一條邊到達另一條邊的路徑。

在這個更新過的區域中，針頭仍然可以像以前一樣旋轉整個90度，只不過現在分兩個階段進行。首先，針頭旋轉45度，并與左側的垂直邊緣對齊。接下來，它沿著N字形（下圖綠色虛線）移動到另一條邊。一旦到達（右側邊緣頂點）之后，它就可以自由轉動另一個45度。

這樣移動會讓針頭旋轉90度（45度+45度），并且為讓它保持轉動，你只需添加該區域的旋轉副本（見下圖綠色）即可。

通過添加適當的N字形，針可以從一個三角形半島跳到另一個三角形，然后一點一點地轉動，直到它轉完一周，就像一輛執行三點轉彎調頭的汽車一樣。

細節中還有更復雜的數學知識，但這兩個想法 —— 我們可以通過切割和移動來不斷減少原始區域的面積，同時確保我們可以使用任意小的N字形從一個部分到達另一個部分 —— 幫助我們在不斷縮小的區域中移動針頭，最終可以達到所想要的小區域。

建立這類區域的一種更標準的方法始于等邊三角形，并使用“Perron樹”，這是將三角形切成薄片伸展并將薄片放回原處的巧妙方法。結果非常令人驚嘆。

最近，數學家在這個老問題的新變體上取得了進展 https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/ ，這些變體設置在更高的維度和不同的大小概念（測度measure）上。

我們可能永遠不會看到人工智能驅動的汽車走出掛谷針尖般的轉彎軌跡，但我們仍然可以欣賞它近乎虛無的美麗和簡單。

練習（繼續下滑查看答案）

1. 用作掛谷針集的最小等邊三角形的面積是多少？

2. 通過使用“魯洛Reuleaux三角形”，你可以比練習1中的等邊三角形做得更好一點，“魯洛三角形”是由三個重疊的圓扇形形成的區域。有效的最小魯洛三角形的面積是多少？

答案

練習1答案：

一個高為1的等邊三角形的空間足以容納在頂點上的針頭，可以從一條邊擺動到另一條邊。一旦在邊上，它可以滑到另一個頂點，旋轉并繼續其旅程，直到返回其起始位置并指向相反方向。

邊長s的等邊三角形的面積為A=√3s2/4，你可以使用三角學或勾股定理來確定高為1的等邊三角形的邊長為2/√3 。

因此，所求面積A=√3/4×(2/√3)2 = √3/4×4/3 = √3/3。

或者使用三角形面積公式

A=?bh=1/2 × 2/√3 × 1 = 1/√3 = √3/3

練習2答案：

取三個扇形，每個扇形的半徑為1，角度為60度，然后排列它們，使它們均重疊一個邊長為1的等邊三角形。

該區域允許長度為1的針完全旋轉。將三個扇形的面積相加就使得重疊三角形面積被算了3次，因此總面積是三個扇形面積之和減去兩倍重疊三角形的面積：3(?π12)–2(√3/4×12)=π/2–√3/2≈0.705 。

提示：其中在計算三個扇形面積之和時，也可以直接將三個（60度）扇形面積之和看成半圓面積?π12=π/2 。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/

https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

小樂數學科普：掛谷猜想專題系列——針尖上的猜想之塔——譯自Quanta Magazine量子雜志

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https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

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