小樂數學科普：為什么數學永遠不會完備——《量子雜志》每周數學隨筆

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每周量子雜志

Quanta Magazine

圖源：Quanta Magazine量子雜志

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-7-21

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-7-28

20世紀之交，數學似乎走在了一條完美的道路上。在對不精確的定義和令人不安的悖論進行了幾十年的清算（現在被稱為數學基礎危機的時期）之后，數學家們終于開始為該領域建立堅實的基礎。他們的目標是制定一個所有數學都可以依賴的基礎真理或公理的最小列表。

如果他們成功了，即使是最深奧的結果也有可能從這些簡單、自然的假設中得出。一開始，數學家可以使用公理來證明簡單的命題；隨后他們就可以使用這些命題來證明更復雜的定理等等。未來的數學家們可以繼續為這座大廈添磚加瓦。只要有足夠的時間和創造力，任何真理都不會遙不可及。

每個人大概都是這么想的。

大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）

事實證明，數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）最突出倡導的“完備”（complete）數學夢想代表了啟蒙運動時代對這個問題的樂觀看法。

1931年，庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）用他的兩個“不完備性定理”（incompleteness theorems，有時也稱不完全性定理）的證明 https://www.quantamagazine.org/how-godels-proof-works-20200714/ 粉碎了希爾伯特的夢想。

第一個定理的證明表明，對于任何足夠強大的公理集（包括現代數學基礎的公理），總存在一些無法被證明是真或假的數學真理。它們被證明是無法被證明（或證否）的。

哥德爾第二個定理的證明建立在這個想法之上，證明這樣一組公理永遠不能用來證明它自己的一致性（consistency，有時也稱相容性）。這些公理可能會導致相互矛盾的命題，如果數學家僅限于使用這些公理，他們就不會變得更聰明了。

你可能會認為這樣的結果會扼殺一門如此致力于追求絕對真理的學科的進步。但大多數數學家仍然能夠證明他們想要證明的命題。與此同時，哥德爾的不完備性定理在數學領域開辟了一個全新的研究領域。數學家現在不僅可以專注于發現什么是正確的，還可以專注于發現什么是可知的。解決這個想法仍然是當今數學的核心實踐。

新增的和值得注意的內容

多虧了哥德爾的工作，數學家們知道，如果他們從現代數學基礎的常用公理出發，就會有一些他們無法證明真假的命題。為了證明這些命題，他們需要在這些基礎上引入新的公理。這些新公理通常涉及一個違反直覺且令人著迷的數學概念：無窮大（infinity）。

無窮大有許多不同的大小。自然數集（0、1、2、3、4 ...）的大小等于所有偶數的集合和所有分數的集合的大小。但是所有實數的集合（數軸上的所有數字）比這些集合都要大得多，即使它們都是無限的（無窮的）。

數學家們提出了公理來定義更大、更奇特的無窮大類型。最近， 量子雜志報道了三位數學家聲稱發現了兩種新的無窮大的工作 https://www.quantamagazine.org/is-mathematics-mostly-chaos-or-mostly-order-20250620/ ，它們的行為與數學家預期的不符。這一發現可能意味著數學世界比預期的要混沌得多。

一般來說，定義新公理的最佳方法——即對數學世界有更完備（盡管從未徹底完備）理解的最佳方式引起了激烈爭論https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/ 。（參閱小樂數學科普：）

在哥德爾發表他的不完備性定理幾年后，艾倫·圖靈（Alan Turing）等人以他的想法為基礎，證明存在“不可判定”（undecidable）的數學命題。它們無法通過任何計算機算法解決。

正如希爾伯特的夢想不能免受不完備性這一概念的影響一樣，它也不能免受不可判定性這一概念的影響。1970年，數學家們證明希爾伯特綱領的另一個主要支柱——他的“第10問題”，即他提出的幫助強化數學發展的23個問題之一——是無法判定的。

該問題給數學家們帶來的挑戰是，要求他們找到一種算法來判定任何“丟番圖”方程（一類簡單多項式，例如 y = x2 – 1）是否具有整數解。今年，我報道了顯著擴展這一結果范圍的工作 https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/ ——這表明數學世界的另一部分是不可知的。

《量子雜志》報道中我最喜歡的（可能）無法回答的問題：復制某一組形狀之后可以無重疊地覆蓋所有空隙嗎？尋找這種稱為“密鋪”（tilings，有時也稱鋪砌、平面鑲嵌）的排列，是數學中的一個重要主題。事實證明，一些密鋪問題是無法判定的：給定一些形狀集，無法判定它們是否會密鋪空間。

但是，當你只考慮一種形狀呢？關于單個鋪砌塊（單瓦片monotile）的命題是不可判定的嗎？2022年，雷切爾·格林菲爾德 （Rachel Greenfeld）和陶哲軒（Terence Tao） 發現了一種可以以非重復即非周期性模式密鋪所有空間的單一形狀，震驚了數學界密鋪領域 https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/ 。

但是，僅僅因為非周期性單瓦片存在并不意味著不可判定的瓦片存在。這兩位數學家希望他們開發的技術也能幫助他們最終找到一個無法判定的瓦片。

與最初看起來的“喪鐘”相去甚遠，不完備性已成為數學的福音。事實證明，唯一比純粹的、無可爭議的真理更有趣的是，這種真理性往往是無法實現的。未來的數學家將不再像希爾伯特所設想的那樣，只是在知識大廈上做不斷疊加層次的工作。他們的任務將更加困難：為我們判定哪些事情可以判定，哪些事情不能判定。

網絡上的報道

我第一次涉足數學基礎危機是《羅素的故事》

Logicomix

Logicomix小說簡介

這部非凡的圖畫小說講述了哲學家伯特蘭·羅素的精神冒險之旅。在對絕對真理的痛苦追求中，羅素遇到了戈特洛布·弗雷格、大衛·希爾伯特和庫爾特·哥德爾等傳奇思想家，并在偉大的路德維希·維特根斯坦那兒找到了一位充滿激情的學生。但他最雄心勃勃的目標——建立不可動搖的數學邏輯基礎——仍然擺在他面前。通過愛與恨、和平與戰爭，羅素堅持著艱苦的使命，這威脅著他的職業生涯和個人幸福，最終將他推向了精神錯亂的邊緣。

這本故事既是一部歷史小說，也是對數學和現代哲學的一些偉大思想的通俗易懂的解釋。憑借豐富的人物塑造和富有表現力、大氣的藝術加工，這本書將對這些想法的追求變成了一個非常令人滿意的傳奇故事。

這本書探討深入，層次巧妙，揭示了羅素內心的掙扎，同時將它們置于他畢生試圖回答的永恒問題的背景下。從本質上講，Logicomix是一個關于理想理性與不變而有缺陷的現實之間沖突的故事。

Marcus du Sautoy在YouTube視頻的Numberphile頻道 https://www.youtube.com/watch?v=O4ndIDcDSGc 中解釋了不完備性的基礎知識。

對數學上的勇士而言，更深入地研究哥德爾的證明、希爾伯特的第十問題和數學公理可以在已故數學家馬丁·戴維斯（Martin Davis）撰寫的2006年美國數學會通告 https://www.ams.org/notices/200604/fea-davis.pdf 中找到。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/how-math-helps-tame-natures-chaos-4867089

https://www.quantamagazine.org/how-godels-proof-works-20200714/

https://www.quantamagazine.org/is-mathematics-mostly-chaos-or-mostly-order-20250620/

https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/

https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/

https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/

https://www.bloomsbury.com/us/logicomix-9781596914520/

https://www.youtube.com/watch?v=O4ndIDcDSGc

https://www.ams.org/notices/200604/fea-davis.pdf

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