讓你立刻愛上數學的8個算術游戲

文科背景的朋友們經常會問我一個問題：數學到底哪里有趣了，數學之美又在哪 里？此時，我通常會講一些簡單而又深刻的算術游戲，讓每個只會算術的人都能或多 或少地體會到一些數學的美妙。如果你從小就被數學考試折磨，對數學一點好感都沒 有，那么我相信這一節內容會改變你的態度。

01

數字黑洞

任意選一個四位數（數字不能全相同），把所有數字從大到小排列，再把所有數字從小到大排列，用前者減去后者得到一個新的數。重復對新得到的數進行上述操作，7 步以內必然會得到6174。如果某一步計算的結果不足四位，那就在它前面添加0，把它補成四位，再進行操作。例如，選擇四位數8080：

6174這個“黑洞”就叫做卡布列克（Kaprekar）常數。對于三位數，也有一個數字黑洞，即495。

02

特殊乘法的速算

如果兩個兩位數的十位數相同，個位數相加為10，那么你可以立即說出這兩個數的乘積。如果把這兩個數分別寫作AB和AC，那么它們的乘積的前兩位就是A和?1 A 的乘積，后兩位就是B和C的乘積。

比如，47 和 43 的十位數相同，個位數之和為 10，因而它們乘積的前兩位就是4x(4+1)=20，后兩位就是7x3=21。也就是說，47x43=2021。

類似地，61x69=4209，47x43=2021，86x84 =7224， 35x35=1225，等等。

這個速算方法背后的原因是，(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x-1)+y(10-y)對任意x和y都成立。

03

翻倍，再翻倍！

將123 456 789翻倍，你會發現結果仍然是這9個數字的一個排列：

123 456 789x2=246 913 578

我們再次將246913578翻倍，發現：

246 913 578x2=493 827 156

結果依舊使用了每個數字各一次。這僅僅是一個巧合嗎？我們繼續翻倍：

493 827 156x2=987 654 312

神奇啊，一個很有特點的數987 654 312，顯然每個數字又只用了一次。 你或許會想，這下到頭了吧，再翻倍就成10位數了。不過，請看：

987 654 312x2=1975 308 624

又使用了每個數字各一次，只不過這一次加上了數字0。再來？

1975 308 624x2=3950 617 248

恐怖了，又是每個數字各出現一次。 出現了這么多巧合之后我們開始懷疑，這并不是什么巧合，一定有什么簡單的方法可以解釋這種現象的。 但是，下面的事實讓這個問題更加復雜了。

到了第6次后，雖然仍然是10位數，但偏偏就在這時發生了意外：

3 950 617 248x2 = 7 901 234 4

看來，尋找一個合理的解釋，并不是一件輕而易舉的事情。

04

唯一的解

經典數字謎題：用1到9組成一個九位數，使得這個數的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數能被2整除，前三位組成的三位數能被3整除，以此類推，一直到整個九位數能被9整除。

沒錯，真的有這樣猛的數：381 654 729。其中 3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整個數能被9整除。這個數既可以用整除的性質一步步推出來，也可以利用計算機編程找到。

另一個有趣的事實是，在所有由 1到 9所組成的 362 880個不同的九位數中， 381 654 729 是唯一一個滿足要求的數！

05

幻方之幻

一個“三階幻方”是指把數字1到9填入 3x3的方格，使得每一行、每一列以及兩條對角線的3個數之和正好都相同。圖1就是一個三階幻方，每條直線上的3個數之和都等于15。

大家或許都聽說過幻方這東西，但是并不知道幻方中的一些美妙的性質。例如，任意一個三階幻方都滿足，各行所組成的三位數的平方和，等于各行逆序所組成的三位數的平方和。對于上圖中的三階幻方，就有

利用線性代數，我們可以證明這個結論。

06

天然形成的幻方

從 1/19 到18/19 這18個分數的小數循環節長度都是18。像圖 2那樣把這18個循環節排成一個 18x18的數字陣，這將恰好構成一個幻方——每一行、每一列和兩條對角線上的數字之和都是81。

07

一個小魔術

在一張紙上并排畫 11 個小方格，叫你的好朋友背對著你（讓你看不到他在紙上寫什么），在前兩個方格中隨便填兩個1到10之間的數。從第3個方格開始，在每個方格里填入前兩個方格里的數之和。讓你的朋友一直算出第 10個方格里的數。假如你的朋友一開始填入方格的數是7和3，那么前10個方格里的數分別是：

現在，叫你的朋友報出第10個方格里的數，稍作計算你便能猜出第11個方格里的數應該是多少。你的朋友會非常驚奇地發現，把第 11 個方格里的數計算出來，所得的結果與你的預測一模一樣！

其實，僅憑借第10個數來推測第11個數的方法非常簡單，你需要做的僅僅是把第 10 個數乘以 1.618，得到的乘積就是第 11 個數了。在上面的例子中，由于 249x1.618 =402.882，約等于403，因此你可以胸有成竹地斷定，第11個數就是403。而事實上，154與249相加真的就等于403。

其實，不管最初兩個數是什么，按照這種方式加下去，相鄰兩數之比總會越來越趨近于1.618——這個數正是傳說中的“黃金分割”。

08

3個神奇的分數

1/49 化成小數后等于 0.0204081632…，把小數點后的數字兩位兩位斷開，前五個數依次是2、4、8、16、32，每個數正好都是前一個數的兩倍。

100/9899 等于 0.01010203050813213455…，兩位兩位斷開后，得到的正好是著名的斐波那契（Fibonacci）數列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ，數列中的每一個項都是它前面兩個項之和。

而100/9801則等于0.0102030405060708091011121314151617181920212223…。

利用組合數學中的“生成函數”可以完美地解釋這些現象產生的原因。

《思考的樂趣：Matrix67數學筆記》

作者：顧森

中科院院士張景中、湯濤聯袂推薦

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其中既有小學奧數當中的經典題目，又有難題。多數題目都很簡單，基本不需要繁復的計算或者艱深的專業知識，只需動腦或動手就可以想出答案，但想出所有答案也不是那么容易，有利于激發讀者進一步探索數學問題的興趣。