一次又一次執著于證明的意義——《量子雜志》每周數學隨筆

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每周量子雜志都會解釋推動現代研究的最重要思想之一。本周，數學特約撰稿人約瑟夫·豪利特（Joseph Howlett）探討了為什么值得尋找同一真理的多個不同途徑。

圖源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-10-6

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-10-8

數學家的目標是擴展我們所知道的。因此，他們大部分時間都在思考如何證明新命題。因此，一旦他們將猜想變成定理，你就會期望他們繼續討論一個新問題。畢竟，他們的工作是不斷向清單添加新的真理。

但證明的價值不僅僅在于將新命題移動到“已知”列。數學家希望盡可能深入地理解“為什么”。可以讓讀者相信證明中的每個步驟都遵循前一步的邏輯，即使讀者并不完全理解其中的深層數學聯系。審閱這樣的證明時，你會錯過那種難以言喻的頓悟洪流——正是這種頓悟，日復一日地驅使著數學家們站到黑板前。當他們談論“漂亮”的證明時，他們指的是滿足他們對真正理解特別渴望的證明。

因此，即使在某件事被證明之后，數學家也經常會尋找通往相同真理的替代途徑，特別是當他們發現現有路徑不令人滿意或不優雅時。通常，重新證明會以數學家以前錯過的方式闡明其結論。有時，在構建第二個、第三個或第四個證明的過程中，數學家會發明新的技巧，從而產生不相關的令人驚訝的發現。數學的歷史充滿了例子，這些例子中，已被證明的命題的新證明可以歸功于最終將某些東西移入“理解”列。

使一個證明比另一個證明更好的美德是非常主觀的和人文化的。正是由于這些審美價值觀，該領域經常被比作藝術和科學。對數學家來說，證明是一首交響樂，是一件藝術品，不僅關乎最后的音符，還關乎一個人到達那里必須經歷的啟示之旅。

新增的和值得注意的內容

不出所料，數學中被重新證明最多的定理往往是最著名、最古老的。很少有某種數學癡迷之物比素數更古老或更著名。素數特別集中在數軸的低端——0 到 50 之間有 15 個素數，但在 10000 到 10050 之間只有 4 個。素數定理是描述這種分布的方程。兩位數學家于1896年獨立證明了這一點。但一個多世紀后，新的證明不斷出現 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-will-never-stop-proving-the-prime-number-theorem-20200722/ 。造成這種情況的原因有很多：這是一個基本定理；許多其他定理都依賴于它；這是磨練數論家證明能力的好方法。

數學家對證明感到不適的一個常見來源是計算機的參與。現代機器可以以超出任何數學家能力的規模執行繁瑣的計算任務，但它們產生的證明往往缺乏人類同行所珍視的任何不可言喻的性質。

托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）1998年對開普勒猜想（一個關于一個盒子里可以塞多少個球體的問題）的基于計算機的證明 https://www.quantamagazine.org/in-computers-we-trust-20130222/ 非常有爭議，以至于他不得不花六年時間對每一步進行編碼，并將其輸入到一個形式化的驗證程序中，以說服所有人它是有效的。

數學家們繼續熱切地等待著 https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/ 四色定理的紙筆證明（關于是否有可能用四種或更少的顏色為地圖上的國家著色，使得沒有相鄰國家具有相同的顏色）——盡管沃爾夫岡·哈肯在半個世紀前就借助 1000 小時的計算機時間證明了這一點。

量子雜志撰稿人Lyndie Chiou和我最近合寫了一個故事，關于一個著名的重新證明 https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/ ——請參閱。“十杯馬提尼”問題是問當生活在原子網格上的電子被放置在磁場中時會發生什么。數學家馬克·卡克 （Marc Kac） 曾經向任何能夠證明電子能量值形成分形圖案的人提供10杯馬提尼酒。數學家最終找到了一個證明，但它從未與它的作者之一斯維特蘭娜·吉托米爾斯卡婭 （Svetlana Jitomirskaya） 相符。證明涉及使用不同的技術解決不同的情況，給人一種拼湊的被子，零碎地建造的感覺。數學真理感覺足夠深刻，以至于吉托米爾斯卡婭懷疑應該有一個更優雅的證明來同時處理所有不同的情況。

一些數學家對漂亮的證明如此著迷，以至于他們相信并尋求每個數學論證的柏拉圖式理想。保羅·埃爾多斯（Paul Erd?s）曾談到過著名的所謂《“圣經”》（The Book），這是一本只有上帝知道的巨著，其中包含了所有這些完美的證明。就在他去世幾年后，兩位數學家出版了他們的版本《“圣經”中的證明 》。2018年，他們與量子雜志撰稿人 Erica Klarreich 討論了該綱要的前五個版本 https://www.quantamagazine.org/gunter-ziegler-and-martin-aigner-seek-gods-perfect-math-proofs-20180319/ ，以及為什么某些證明屬于“圣經”。

網絡上的報道

證明也像語言。他們讓數學家將只存在于他們腦海中的概念傳達給他們的同事——有時并不完美。比爾（威廉）·瑟斯頓 （Bill Thurston） 的一篇著名的 MathOverflow 帖子（陶哲軒等人的回復）愉快地沉思了這項棘手的努力 https://mathoverflow.net/questions/38639/thinking-and-explaining 。

如果證明美學的主觀性與你對數學應該如何運作的想法不符，那么你并不孤單。大衛·希爾伯特（David Hilbert）于1900年提出的著名的 23 個問題，以指導下個世紀的數學，其數量接近 24 個。 希爾伯特決定不包括這個問題 https://www.aemea.org/math/Hilbert_Problem_24.pdf 要求一個客觀的指標，用于根據簡單性對給定命題的證明進行排名。呂迪格·蒂勒 （Rüdiger Thiele） 從他的筆記中重新發現了它，他在2003年《美國數學月刊》 的一篇文章中寫到了這一點。

你如何區分一個命題的不同證明？正如數學家蒂姆·高爾斯 （Tim Gowers） 在他的博客上討論的那樣，判斷兩個證明實際上是相同的 https://gowers.wordpress.com/2007/10/04/when-are-two-proofs-essentially-the-same/ 并不總是那么容易。我想知道他會如何看待最近的預印本，該預印本聲稱勾股定理有無限多證明 https://arxiv.org/abs/2301.06812 。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-black-holes-keep-pulling-physicists-in-4867639

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-will-never-stop-proving-the-prime-number-theorem-20200722/

https://www.quantamagazine.org/in-computers-we-trust-20130222/

https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/

https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/

https://www.quantamagazine.org/gunter-ziegler-and-martin-aigner-seek-gods-perfect-math-proofs-20180319/

https://mathoverflow.net/questions/38639/thinking-and-explaining

https://www.aemea.org/math/Hilbert_Problem_24.pdf

https://gowers.wordpress.com/2007/10/04/when-are-two-proofs-essentially-the-same/

https://arxiv.org/abs/2301.06812

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