讀懂楊振寧先生的學術貢獻，是物理學工作者的修行

楊振寧先生的辭世，物理學界深感悲痛。作為深受楊先生學術思想熏陶的物理學者，本文作者吳從軍教授介紹了他在西湖大學開設《楊振寧先生代表作導讀》課程的經歷與心得；并結合自身學習與研究經歷，著重回顧了楊先生廣闊研究領域中關于對稱性原理和四元數理論方面對其的深刻影響，以此向這位科學巨匠緬懷致敬。
撰文 | 吳從軍（西湖大學物理系講席教授）

驚聞楊振寧先生辭世，心中深感沉重與哀傷。對我們這一代物理學研究者而言，楊先生的影響深遠而持久。許多人選擇將物理學作為畢生志業，正是受到他那一系列里程碑式成就的感召。

楊振寧先生與李政道先生共同做出的“弱相互作用中宇稱不守恒”的工作，從根本上改變了人類對自然基本對稱性的理解；他所建立的楊—米爾斯（Yang-Mills）規范場論，為描述基本粒子相互作用奠定了堅實的數學基礎；楊—巴克斯特（Yang-Baxter）方程在數學與物理的多個領域持續綻放光彩；而他在磁單極規范理論方面的開創性工作，更為今日拓撲物態的研究照亮了前行的方向。

遺憾的是，我個人與楊先生的直接交流很少。所幸我的博士導師張首晟教授深受楊先生學術思想的熏陶，這份影響薪火相傳，也塑造了我的學術視野與研究品味。在此，我愿結合自己的學習與研究經歷，回顧一些與楊先生學術思想相關的片段。

一
《楊振寧先生代表作導讀》

楊振寧先生的研究領域極為廣闊，涵蓋高能物理、數學物理、統計物理、凝聚態物理等多個方向。凡是認真研讀過他代表作的人，無不為其深厚的學術功力所折服。楊先生的文章往往寫得極為精煉，正如他本人評價狄拉克文章風格時所說的那樣——“秋水文章不染塵”。然而，欣賞物理學之美的門檻并不低。他的論文不僅對學生而言難度很高，即便是經驗豐富的研究者，要把握其精髓也絕非易事。

與許多業余愛好者的想象不同，職業物理學家的日常更多是艱辛與耐心。雖然偶爾也會有“坐而論道”的超然，但那并非常態。研讀經典文獻的第一步，是克服技術層面的障礙——即能復現文中的推導與計算。否則，再深刻的物理思想也只能是鏡花水月。計算的細節在原文中通常被高度壓縮，而補全這些細節，恰恰是培養扎實學風、打好研究基礎的關鍵。

我加入西湖大學后，參與物理系的創建。在科研與教學過程中，深切感受到提高學生理論基礎的迫切性。除了關注當下的研究熱點，我更希望他們能花時間咀嚼經典文獻。楊先生的代表性工作兼具深度與廣度，且已歷經時間的檢驗。因此，我認為帶領他們系統地研讀這些著作，是非常值得投入心力的。

自2023年底至2024年8月，我在西湖大學以每隔兩到三周一次的頻率，利用晚上兩到三個小時的時間，圍繞一個主題展開講解。部分難度較高的內容，則分兩次講授。楊先生代表作的精煉程度之高，有時近乎“壓縮餅干”。而我的講解，則試圖為大家添上一壺“清茶”，幫助咀嚼吸收，并體味其深意。

對于數學和物理教學而言，還是寫黑板的傳統方式往往更能讓人專注于思考本身。在世界知名大學和研究所中，一個共同的特點是黑板隨處可見，老師和學生們拿著粉筆在一起討論切磋。只有當用沾滿粉筆灰的手，把論證和運算過程一筆一筆地寫清楚時，才能算是真正理解。

圖1. 《楊振寧先生代表作導讀》兩講的提綱：η配對和磁單極。參考文獻和筆記在本人網頁中
https://wucj.lab.westlake.edu.cn/teach/CNYang/CNYang.html

對我個人而言，這不啻為一種挑戰，也是一次修行。盡管在讀書和研究的過程中，我已經研讀過楊先生部分代表作，但主要是和本人研究方向密切相關的那些。我尚未達到通讀其大部分代表作的程度。局外人或許會誤以為“導讀課”是一種高級科普，但內行人都清楚，要理解楊先生的文章，不僅需要具備扎實的研究經驗，更需投入大量心血進行系統梳理與闡釋——其工作量遠超準備一門常規課程。當時我的本職工作已經非常繁忙，準備《楊振寧先生代表作導讀》需要擠出時間來完成，甚至占用了大量的休息時間，而且這些是不計入我的教學研究任務量的。

在課程進行中間，也有很多讓我感到寬慰的時刻，尤其是在得到朋友們鼓勵的時候，讓我覺得心血沒有白費。例如上海交通大學的蔡子教授，他幾乎聽了我所有的講解。他曾是我在加州大學圣迭戈分校任教時的博士后。他說這是我能為中國物理界做的最好的貢獻之一，比發頂刊更為重要。他回憶他的學生時代，很多同學也想鉆研類似于楊先生代表作這樣的經典，往往努力了很長的時間也不得要領。我的講解對有志于物理研究的年輕人來說，是很及時的。

《楊振寧先生代表作導讀》一共進行了12次講授（編注：在“返樸”視頻號里搜索合集《楊振寧代表工作導讀》可查看這12講視頻），其中一次關于量子力學創立的內容與楊先生工作無關，屬于“編外”，其余11講覆蓋了楊先生學術成果中的8個主題：

1. η配對；

2. 硬核玻色氣；

3. 非對角長程序；

4. 李—楊相變定理；

5. 弱作用中的宇稱不守恒；

6. 磁單極和磁單極球諧函數（兩講）；

7.楊—米爾斯規范場（兩講）；

8.楊—巴克斯特方程（兩講）。

其中第1個主題包括一部分楊先生和張首晟老師的合作；第2個主題是他和李政道、黃克孫兩位前輩的合作；第4個和第5個主題是他和李政道先生的合作；第6個主題是他和吳大峻先生的合作；第7個主題是他和米爾斯的合作。

這一系列選題涵蓋了凝聚態物理、統計物理、數學物理與高能物理等領域，基本反映了楊先生研究的廣度與深度。限于個人學識，準備這些內容已讓我感到頗為吃力。我對粒子物理了解有限，所以除宇稱不守恒外，并未選取楊先生在該領域的其他工作。

此外，楊先生還有一些經典成果，如伊辛模型自發磁化臨界指數1/8的計算、自對偶規范場、熱力學Bethe Ansatz等。對于這些主題，我尚未掌握，因此也未將其納入課程。我計劃在未來繼續深入學習楊先生的這些工作，并希望能夠在后續的講授中補充進來。

二
對稱性

在楊振寧先生的諸多貢獻中，對稱性原理始終是貫穿其間的一條主線，這也成為他獨特的風格。在我讀博士學位期間，導師張首晟教授引導我學會欣賞對稱性原理所蘊含的深邃美感。如今，對稱性原理及其在凝聚態物理與冷原子物理中的應用，已成為我主要的研究方向。

楊先生的“η配對”的工作，是體現對稱性的優美和力量的很好的例子，對我的研究有直接的啟發和影響。在楊先生的成果中，這個工作不算突出，但它對凝聚態物理的影響是很大的。它是楊先生和張首晟老師在高溫超導機理研究的大背景下開展的，很直觀也易于理解。因此，我將其選作《楊振寧先生代表作導讀》第1講。

這項工作創造性地指出：凝聚態物理中的兩種常見物態——電荷密度波態與超導態，可以通過對稱性將它們統一起來。超導序參量取復數值，相當于2個分量，加上電荷密度波的1個分量，在這3個分量之間轉換的對稱性，稱為SO(3)，可以由η配對的算符生成。電荷密度波態是絕緣性的，和超導態在表觀上截然不同，很難想象它們可以通過對稱性來彼此對應。然而，楊先生與張首晟老師敏銳地抓住了二者之間的內在聯系。

運用對稱性來統一表觀上不同的物理現象，是物理學的核心主題之一。在高能粒子物理中，這一思維方式取得了豐碩的成果，電弱統一理論正是其中的典范。楊先生與張首晟教授的這項工作，正是將這一思想引入凝聚態物理的一次重要嘗試。

圖2. 我為楊先生百歲壽辰所寫的文章的摘要。該文收集在A Festschrift in Honor of the C N Yang Centenary, Scientific Papers一書中。

張首晟老師將η配對的思想，繼續在銅氧化物高溫超導領域進行發展。他試圖把反鐵磁（自旋密度波）態和超導態統一起來，因為它們是相圖中最穩定的兩種物態。反鐵磁序有3個分量，加上超導復數序參量的2個分量，一共是5個分量，所以該理論被稱為高溫超導的SO(5)理論。銅氧化物高溫超導體的中子散射實驗中，經常出現非彈性散射的共振峰。這些共振峰可以很自然地被解釋成從超導態出發轉換成反鐵磁態而產生的自旋共振態，行話叫贗古德斯通模（pseudo-Goldstone mode）。高溫超導的SO(5)理論取得了一定的成功，雖然這個對稱性并不嚴格，仍不失為一個好的唯象理論。

近年來，胡江平師兄提出在鐵基高溫超導體中由于其獨特的對稱性，η配對可以很自然地被實現，目前已經有不少鐵基超導的實驗發現了支持η配對的證據。這為楊先生η配對的思想劃上了精彩的一筆。

在我讀博士期間，超冷原子領域發展迅速，對光晶格中費米原子物態的研究方興未艾。費米原子的自旋F（更準確地應該稱之為超精細自旋），是電子自旋、電子軌道角動量、核自旋等的總和，因此費米原子的自旋可以很大。一般認為，在凝聚態體系中，自旋越大，其量子漲落會越發被壓制。

我從2003年起開始研究大自旋費米原子系統的獨特性質，這是我博士階段的主要工作之一。我們發現該系統中的量子漲落恰恰是非常強烈的。在楊先生和張老師的工作的啟發下，我們認為對該系統的研究，應該采用高對稱性而不是大自旋的觀點，包括SU(N)、Sp(N)，以及SO(N)等。

這些高對稱性通常是在高能物理的范圍內研究的。有趣的是，盡管在能標上面存在著巨大的不同，我們的研究展現了超冷費米原子和高能物理在對稱性層面上可能存在聯系。該方向在2010年以后得到了廣泛的關注，尤其是實驗上的發展很快，已經成為超冷原子領域的重點研究方向之一。

特別地，我們把楊先生關于η配對的SO(3)對稱性做了很大的擴充。我們在超導序的2分量和反鐵磁自旋四極矩序的5個分量之間，設計了SO(7)群將其統一起來。此外，SO(7)的伴隨表示是21維的，還可以用來統一自旋五重態超導、電荷密度波、反鐵磁，以及反鐵磁自旋八級矩等眾多的序參量。值得一提的是，這樣的高對稱性可以在自旋3/2的非相對論費米子模型系統中，被嚴格地構造出來。

在楊先生百歲壽辰時，應朱邦芬老師的邀請，我寫了篇在凝聚態物理中對稱性原理的綜述，其中一部分就是從高對稱性來研究超冷原子物理。這篇文章被收錄在A Festschrift in Honor of the C N Yang Centenary, Scientific Papers一書中。我在《楊振寧先生代表作導讀》中也提到了η配對的SO(7)推廣，以此向楊先生致敬。

三
四元數

楊振寧先生除了眾多經典工作以外，也有一些并不成功的嘗試。例如，他和李政道先生曾經嘗試去建立一套超越通常理論的四元數理論，而不是僅僅把已有的物理理論用四元數進行重新表述。

在Selected Papers (1945-1980) with Commentary一書中，楊先生回顧道：“1954至1955年間，我們未能成功，……在后續歲月中又多次嘗試，我也未能實現這一目標。然而，我相信這個基本方向是正確的……。我們一再認識到，自然在基本層面上從不隨意行事。……四元數代數本身是一種優美的數學結構。……她怎會拒絕使用這唯一另存的完美代數體系，來構建宇宙間所有復雜對稱性的根基呢？”（根據英文原文翻譯。）

楊先生對四元數的熱情，對我的研究產生了深刻的影響。

我來介紹一下背景。量子霍爾效應是拓撲物理的研究焦點之一，其中電子在磁場下的運動由朗道能級來描寫。相應的波函數簡單優美，具有復解析性，對構造分數量子霍爾效應的研究起到了關鍵作用。胡江平師兄和張首晟老師在2001年把朗道能級推廣到4維緊致球面上，這個工作開啟了拓撲絕緣體研究的先河。他們所依據的數學基礎正是楊先生和吳大峻先生的SU(2)規范場磁單極的工作。
我在加州大學圣迭戈分校任教的時候，發現可以通過簡單的簡諧振子，再加上自旋軌道耦合，就可以把朗道能級推廣到三維甚至更高維的平直空間。在和吳詠時老師的一次討論中，他建議我們思考一下四元數和這個工作可能的關系。由此，我找到了楊先生前面的那些話。在和孔良老師的一次討論中，孔老師介紹了一篇重要的四元數文獻。

我和學生重新審視了我們構造的三維朗道能級波函數，并和二維的情況做了類比。復解析性，用物理的語言來說，就是手征性。手征性由磁場來進行選擇，因為電子在磁場中只能繞著一個方向打轉。朗道能級的非平庸拓撲由此而生，但是復解析性僅適用于二維。手征性在高維的對應是螺旋性，而螺旋性由自旋軌道耦合選擇。我們領悟到，三維朗道能級的波函數，可以被映射到陀螺的位形空間上的非平庸結構。陀螺的位形空間是SU(2)群空間，正好等價于四元數空間。由此，我們證明了三維（或者四維）的朗道能級具有四元數函數的解析性，其閔可夫斯基形式對應于表面態的螺旋狄拉克方程，或者外爾方程。這樣就非常簡潔地建立了體態和表面態之間的對應。

在文章發表之后，我發送給了楊先生，在電子郵件中說明四元數函數的解析性對于高維拓撲態研究的潛力。楊先生的回信飽含鼓勵。我和楊先生之間的直接交流僅限于此。

因為四元數的代數結構不對易，我在后續研究中遇到了很多困難。盡管如此，楊先生的鼓勵始終是我在該方向上繼續探索的動力。希望以后能有好的結果向楊先生致敬。

四
結語

楊振寧先生曾說，他一生最重要的貢獻，或許是讓中國人收獲了這樣一種心理上的自信——我們同樣能夠做出世界一流的科研。這句話在我心中，激起的共鳴尤為深切。

依照傳統，楊振寧先生的籍貫算是安徽合肥。根據劉秉鈞《楊振寧家世述略》（載《合肥文史資料第1輯》）中的考證，楊家先祖原籍安徽鳳陽府城，在清末戰亂中，遷徙到合肥。我來自鳳陽縣淮河岸邊的小鎮。當地經濟文化并不發達。歷史上，淮河流域文化燦爛，誕生了以莊子、管仲為代表的杰出人物，但是近代以來，經濟文化發展尚不如人意。他的成就對我們這些淮河流域的后輩而言，更顯得親切。他也是淮河兒女的杰出代表，也仿佛一束光，鼓舞我們做出更好的成績。

“云山蒼蒼，江水泱泱，先生之風，山高水長！”

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