矩陣力學與波力學的等價性問題（上）

|作 者：曹則賢

(中國科學院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第10期

每一個逆境都隱藏著一粒等價優勢的種子1).

摘要1925年9月，玻恩和約當構造了矩陣力學，量子力學有了一種分立的形式；當年底蘭佐施構造了積分方程形式的量子力學，提出了量子力學形式的等價性問題。1926年薛定諤構造了微分方程形式的量子力學——波力學，在分四部分的論文發表一半時專門發文討論了矩陣力學與波力學的等價問題。其后，泡利(文稿1973年才被發現)、艾卡特、狄拉克以及狄拉克的導師福勒等人都有關于兩種量子力學等價性的論述?；趪乐敂祵W的等價性探討見于馮·諾伊曼自1927年起的系列論文，最終體現于《量子力學的數學基礎》一書中的系統闡述。矩陣力學與波力學都是本征值問題，最后歸為抽象希爾伯特空間內在結構的不同實現。矩陣形式、積分方程形式和微分方程形式都是量子力學發展過程中的必然形態，(狀態)函數、矩陣、算符都是一個統一的量子力學的要素。

關鍵詞矩陣力學，波力學，等價性，積分方程形式，微分方程形式，本征值問題，量子條件，正則對易關系，外爾關系，抽象希爾伯特空間，同構

0 引 子

在發表了分四部分的“量子化作為本征值問題”一文的第一、第二部分后(收稿日期分別為1926年1月27日和1926年2月23日)，薛定諤急忙提交了題為“論海森堡—玻恩—約當的量子力學與我的量子力學之間的關系”的論文(收稿日期為1926年3月18日)，以下簡稱“論關系”，由此量子力學兩種表示的等價性證明成了量子力學研究的熱點問題。

薛定諤的微分方程形式與此前玻恩—約當的矩陣形式截然不同，甚至表現出分立性與連續性的對立，自然會生發出這兩種理論是否等價的疑問。實際上在薛定諤的波力學之前，蘭佐施(Cornelius/Kornel Lanczos，1893—1974)給出過積分方程形式的量子力學，并提出了基于分立性和連續性表示的不同量子力學之間的等價性問題，可惜蘭佐施的量子力學在一般量子力學文獻中被忽視了，原因不明。其實，所謂的微分方程形式量子力學與矩陣形式的量子力學的等價性證明，到底還是馮·諾伊曼用積分核理論收官的，由此可見積分方程版的量子力學的價值。

系統地研究兩種量子力學等價性的原始論文有助于理解量子力學的思想基礎和數學基礎。此外，仔細研讀這個量子力學初創階段的原始論文，大約還可以看清玻恩、約當創造的矩陣力學是怎么被安到海森堡頭上的過程。量子力學是玻恩1924年創立的。量子力學及其矩陣形式(Born—Jordan)、積分方程形式(Lanczos)與微分方程形式(Schr?dinger)，至少就概念、構建過程與內容來看，有所不同至少是各有側重才是合理的。今天我們學習的量子力學可以看作是馮·諾伊曼公理化以后具有堅實數學基礎的統一的量子力學(unified quantum mechanics)，這或許才是1923/1924年玻恩期待的超越原子力學(Atommechanik)的那個新力學，矩陣力學、波力學以及積分方程形式的量子力學，還有后來的路徑積分版的量子力學，都是量子力學的不同形態或不同方面。

1蘭佐施的量子力學與等價性問題

蘭佐施是匈牙利人，數學家、物理學家，被譽為火星人。1921年，蘭佐施以相對論研究在匈牙利獲得博士學位，他把學位論文作為致敬愛因斯坦之作，愛因斯坦欣然接受，稱贊其含有充分的、原創的腦力勞動。蘭佐施1921—1924年間在德國弗萊堡大學任教，1924—1931年間在德國法蘭克福大學任教，1928—1929年間在柏林大學做過愛因斯坦的助手。后來，蘭佐施移居美國，1931—1946年間在普渡大學任教。蘭佐施是一個對經典力學格外通透的人，故而對相對論和量子力學都有卓越的貢獻，前者是指他第一個給出了柱對稱下的愛因斯坦場方程的解，后者是指他第一個構造了積分方程形式的量子力學。

在玻恩—約當發表了矩陣力學之后僅僅三個月，蘭佐施就在1925年底構造了積分方程版的量子力學[Kornel Lanczos，über eine feldm??ige Darstellung der neuen Quantenmechanik(新量子力學的場表達),

Zeitschrift für Physik

35, 812—830(1926)]。這篇文章的收稿日期為1925年12月22日，在薛定諤的波力學論文之前。這篇文章構造了新量子力學的連續形式，證明了矩陣版與連續形式的量子力學的等價性?？上У氖?，蘭佐施用的是線性積分方程的形式，這當然不是缺乏數學物理功底的普通物理教授能接受的，故而蘭佐施的量子力學鮮為人知。所幸，當時還有狄拉克這樣的博士生(1926年狄拉克才拿到博士學位)能讀懂蘭佐施的論文，Wikipedia “The principle of quantum mechanics”詞條云：“狄拉克從一篇蘭佐施的用線性積分方程理論表示量子力學的論文中得到了啟發[He (Dirac) was also inspired by a paper published by Cornelius Lanczos presenting quantum mechanics in terms of the theory of linear integral equations]”。蘭佐施上世紀30年代在普渡大學教授矩陣力學和張量分析，算是世界上不多的教授矩陣力學的實踐。

[內容摘錄]

海森堡—玻恩—約當的新量子力學理論與積分方程有密切的關系。運動方程和量子條件可以用積分方程的形式寫下來?？梢缘贸鲆粋€與非連續表述等效的連續表述，因為兩者之間存在唯一的對應。就理論的原理性詮釋而言(für die principielle Deutung der Theorie)積分表述更優，其與物理學的場表示形式直接相契合。

§1 導言

海森堡的影響深遠的思考過程對量子研究具有劃時代的意義。在接下來的對新思想的拓展中，玻恩和約當成功地將海森堡的理念在更廣泛的意義上賦予了恰當的數學表達，并為新理論提供了一般性的形式基礎{這才是科學研究的高境界}。由此得到了一個邏輯地構造的非連續理論，對此經典概念只有與之相對應的以及作為啟發式路標的意義。新理論從一開始就是走自己的路，其與舊符號在嶄新的意義上相聯系(mit den alten Symbolen einen vollst?ndig neuen Sinn verknüpft){知道這一點對我們學習量子力學很重要}。量子論的原理性基礎由此得到了難以想象的深化。

在海森堡—玻恩—約當理論和積分方程理論之間可以建立起格外簡單、漂亮的聯系。我們會看到，所有的新理論的結果可以用積分方程的形式表示，而對于習慣于用分析工具工作的物理學家來說后者比矩陣表述更顯親近。同時我們還會建立起一個連續的表述，那是描述事實所關切的，其與非連續表述之間有唯一的對應。但是，就對事實的詮釋而言，這是量子的實質所關切的，不排除積分表述超越矩陣表述。前者具有同場表述直接相契合——干脆就是建立于其上——的優點，而場的概念明顯與非連續表述有些距離。

設想有一個任意大小、任意維度的有限閉合區域，我們將此區域中的任何一點的所有坐標簡短地用一個字母，比如“

s

”表示。在這個區域中，存在一個完備正交本征函數集

i (

)，其屬于一個非簡并的對稱的(積分)核

K(s

K

s

)。

f

s

)是一個依賴于兩個點

s

的至少 是分段連續的函數，具有所謂核函數的特征。我們考察這個函數對

s

的依賴關系，為此保持

不變，可以根據本征函數

i(

)展開，所得的展開系數仍依賴于

，展開式為

a

i (

)也按照本征函數展開：

這樣就得到了如下的函數表示：

其中的每一個

a

ik 都可由在這個區域上的二重積分得到：

可以把

a

ik 寫成無窮矩陣的形式。矩陣a可以看作是函數

f

s

) 的完全表示，因為給定了矩陣

a

ik，函數

f

s

) 可以在公式(A3)的意義上構建出來。另一方面，函數

f

s

)也可以看作是矩陣a的表示，因為通過在公式(A4)意義上的積分可以直接計算出矩陣元

a

ik 。

§2 對應場積分的矩陣操作

在矩陣的非連續圖像與至少一般來說是連續的函數

f

s

) 之間存在一個唯一確定的對應。進一步地，可以為對理論有意義的全部矩陣操作安排相應的針對函數的操作。

(a)矩陣的對角元之和。構造如下的積分：

可見全域上的場積分

對應對角元之和{即矩陣的跡}。

(b)矩陣積。由函數

f

s

) 和

g

s

) 通過積分構造如下函數：

此為兩個函數的場積(Feldprodukt)，可簡記為

也就是

為矩陣乘法。

(c)符號微分。任意多個因子的場積簡記為

構造積分：

這個式子是循環的，可以記為

現在構造積分(A11)的變分，改變其中的一個函數，比如

r

另一方面，我們想將變化

r

所引起的積分的變分寫成如下形式：

與(A14)式比較，得：

若多個因子相等，則(做變分時)我們要對每一個單獨的因子構造對應的積，并求和。

比較這里的微商構造與玻恩—約當論文{M. Born, P. Jordan, Zur Quantenmechanik(走向量子力學)，

Zeitschrift für Physik

, 34, 858—888(1925)}中相應的矩陣的規則，可以直接看到兩者完全吻合。

(d)對時間的導數。表征動力學的矩陣p,q在玻恩—約當那里是當作時間函數處理的，每一個矩陣元都包含一個因子e2πi

ik

t

{絕大部分量子力學書籍都不知道這一點，因為玻恩—約當那里為了簡記把這項省略了。各位讀者如果不信，可以拿出手邊的量子力學書比對一下。補充一句，因為這個因子來自傅里葉分析，矩陣元的指標須從(00)開始！}。對于接下來的非連續理論，引入一個連續變換的參數以及連續依賴于這個參數的函數顯然不是有意的。實際上在后來的理論構造中沒用到這個時間依賴，引入這個時間依賴只有一個目的，即為了能將哈密頓運動方程的左側詮釋為時間導數。實在來說，這個運動方程根本不是關于字面意義 上的任何運動的(In Wirklichkeit handelt es sich aber bei diesen “ Bewegungsgleichungen ” gar nicht um irgend eine “ Bewegung ” in dem Sinne des Wortes …)——即將某個量確定為時間的函數——它更多地是表達兩個其元素僅僅是數的矩陣的支配方程(Bestimmungsgleichung)。從一開始用“時間”一詞，以及看起來很合邏輯地根據定義安排“時間導數”，可不是故意的。取代“時間導數”的說法，我們寧愿說“點導數”，因為我們將用上面加點來表示。當我們給矩陣元

a

ik乘上

ik

ik是量子論的頻率，就得到了“加點的矩陣” 。在玻恩—約當那里還有一個2πi因子，因此會有讓人不舒服的、多余的虛的量，看不出有什么內在必要性(innere Notwendigkeit){這個觀點可錯到家啦}。為了丟掉這個因子，我們定義“加點”為對2πi

t

而非對

t

的導數。

現在，

ik 表示兩項之差：

“加點的矩陣”可分解成兩個矩陣之差：第一個的每一行乘上，第二個的每一列乘上。這個操作在泛函表示那里對應什么？

由函數

f

s

) 和屬于本征函數 的對稱核函數

K

s

) 構造如下的積：

將順序顛倒，如下的結果成立：

可見函數“加點”簡單地意味著如下操作：

“加點”又回歸同對稱核函數

K

s

) 之間的乘積。由此直接得到本征值

i同能級

W

i之間的關系：

即能級

W

i 除以

h

脫殼而出(sich entpuppen)對稱核函數

K

s

)的本征值之倒數。

在為所有的基本矩陣操作找到了對應的積分表示的操作——每次都是執行一個場積分——以后，我們可以著手建立動力學基本方程了。

§3 積分方程作為動力學基本方程

因為矩陣形式的運動方程是從變分原理推導出來，這對于確定相應的函數

p

s

)和

q

s

)也成立。設想有一哈密頓函數：

寫出如下的函數：

或者在方程(A2)的意義下寫成：

構造如下的場積分：

期望此積分隨函數

p

s

)和

q

s

) 的自由變分會達到極值，即對于每一個

δp

δq

有：

先對

p

變分，

再看對

q

的變分，為此要在前兩項進行循環交換，得：

δI

對于任意的

δp

δq

為0，則積分符號里的因子應恒為0，可得到確定函數

p

s

)和

q

s

)的方程為如下的積分方程：

§4 量子條件

新理論的實質性構成部分，除了動力學基本方程外，還有量子條件，根據玻恩—約當此條件為
。為了表示成積分形式，只需要為單位矩陣1找到對應的函數

E

s

此被稱為單位核。

玻恩—約當量子化條件對應如下的積分方程：

因子2πi因為此前我們關于“加點”函數的定義去掉了。

單位核有如下值得關注的行為。對于

s

，其為0；而在點

s

上為無窮大{這個函數后來被稱為狄拉克

-函數，是理解量子力學的關鍵}，且有:

{似應為
}。

對于函數(

pq-qp

)有：

我們看到函數

p

q

不能在整個區域內到處都是有限的，否則積

pq

qp

就到處是有限的。如果函數

p

s

q

s

)到處都是有限的，則玻恩—約當量子條件就不能完全精準地而只能是任意近似地成立(nicht mit voller Sch?rfe, sondern nur mit beliebiger Ann?herung gültig sein)。

方程(A31)的論斷可以實際上等價地用如下論斷替代?？疾旌瘮?

pq-qp

s

)對點

的依賴關系，而將點

s

固定。這個函數應該在除了繞點

的一個小球之外皆為0。在這個小球內可以取常數值

h

是小球的體積。這個表述中，玻恩—約當的量子條件近似地得到滿足，但函數

p

q

無需增長至無窮大。

此外，“精準的”玻恩—約當量子條件也可以這樣表達，繞過單位核的奇異行為。為此要引入同核

K

s

)的乘積，得到積分形式的量子條件：

§5 場表示與矩陣表示的比較

因為矩陣與我們的表示所用的核函數之間的清晰關系，把基本方程寫成積分方程的形式還是對應的矩陣方程形式，這對問題的形式處理來說是等效的。針對具體的數學問題的種類，某個表示形式可能更優?？墒牵瑢τ诹孔永碚摰脑硇岳斫鈦碚f，我們注意到了兩種表示方式的區別。在矩陣表示那里，當哈密頓量給定時，問題是完全確定的。這足以計算

p

q

的矩陣，此外還有

W

i 的值。借助量子條件這些也能確定下來。在場表示那里，我們同樣可以從哈密頓原理出發。在此原理中，除了哈密頓函數以外，作為實質上的組成部分還有一個對稱核函數

K

s

) 。這個核函數可以從外部代入問題中，哈密頓原理和由其而來的動力學方程只能用于確定函數

p

q

，它們在執行變分時被當作未知函數，而核函數

K

s

) 必須事先給定。除了哈密頓函數以外還要給定

K

s

) ，問題才是確定的。在矩陣表述中只出現這個核的本征值，相關聯的正交本征函數集可以是不定的。這是由于所得積分方程的如下特性，即若使用另一個具有不同本征函數但本征值不變的核，積分方程是不變的。將正交函數集

i(

s

)當作核的某種坐標，則可以說我們的方程對于任意正交坐標變換是不變的。從矩陣方程就無法關于構造函數

i(

s

)說點兒什么。

由此就兩種表示方式的原則性評價產生了如下景象。如果所有的物理事實原則上只能提供矩陣元，則矩陣表示為佳(至少從實證主義觀點看來)，它不為事實的描述帶入原則上不可到達的元素(prinzipiel unerreichbares Element)。但是，當核(函數)具有物理意義時，場表示是更合適的，而矩陣表述因為只能給出核的本征值而本征函數集卻懸而未決，故能提供的會少一些。

如果使用第二個方案，核函數必須比如通過一個微分方程事先給定，不光是指本征函數，還有本征值。動力學方程用于決定函數

p

q

, 問題就算解決了。將解塞入量子條件不過是得到一個恒等式。在這種表示中，量子條件不是作為對動力學方程的補充，而是作為核的一個內在性質出現的。這說的是本征值的一個性質，即此關系可以用來計算本征值，盡管這關系是從一個別的也許事先未知的方面定義的。

從以下可知這個表示不是沒理由的。運動方程構成了一個用以確定

p

q

矩陣的二階無窮流形，對應矩陣的∞ 2 矩陣元，其中出現的矩陣值

i

(或與其緊密聯系的量

W

i

)構成一個一階無窮的數列。某種意義上得到的是作為

i函數的

p

ik,

q

ik。利用量子條件來敲定量

i。實際上量子條件只意味著是 一個一階無窮的方程序列，因為根據運動方程矩陣pq

qp是對角的，它只決定對角元的值。

在新力學的場表示中出現了一個標量場積分(skalares Feldintegral)作為最高作用原理(oberstes Wirkungsprinzip)，在此關系中完全對應我們在場論中習慣的那些內容。核函數

K

s

)的出現也不應看作原則上新的、不能找到天然詮釋的現象。設想由作用原理出發決定電磁場中的電荷分布及電流分布，電磁四矢量也進入其中。這個勢必須借助一個由電荷分布作為源的對稱核來表示。核可通過場方程構造，其將矢量勢與電荷分布相聯系{有意者參閱該作者的Zum Wirkungsprinzip der allgemeinen Relativit?tstheorie (廣義相對論的作用原理)，

Zeitschrift für Physik

32, 163—172(1925)一文}。

然而，這里關切的不是一個標量的而是一個張量的核，其以張量的形式依賴于區域內的兩個點

s, σ

。在電磁學問題中，類似地關切的是一個矢量核。此處表示的理論的一般邊界可以延伸，直接地移植到矢量核或者任意張量核的情形，只是所求的

p, q

函數須是同樣性質的核。

以矢量核為例，用

K

α (

s

) β 表示，指標

α, β

分屬點

s, σ

，以說明對點的依賴是矢量的。對稱性條件為

關于這樣的核有一個無限的本征矢量集，任何一個“矢量核函數(vectorielle Kernfunktion)”

f

α(

s

)β 可用本征矢量展開，

在矩陣與核函數之間存在明確的對應。所謂的對角和對應如下的場積分：

其中

g

μν 是度規基本張量，對指標

μ, ν

要進行求和。兩個函數的場積可如此構造：

{此公式里的兩個

g

是不同的東西}動力學基本方程和量子條件也用積分方程的形式給出，不過現在歸于“矢量的”一類，或者一般地屬于“張量的積分方程”{可參見該作者的über tensorielle Integralgleichungen(論張量積分方程)，

Mathematische Annalen

95,143—153(1925)}。一般性理論都可以毫無困難地拓展到矢量或張量場。

新理論里的由作用原理所確定的函數不是普通意義上的函數，而是依賴于區域內兩個點的核函數。如何物理地理解這個，事先沒啥好說的，而是問題的進展為我們提供關于形式理論與物理現象之間的對應的靠譜結論。從讓整個理論與我們的場表示完全一致的可能性，我們相信應該得出結論，我們為了完全理解量子問題而對經典觀點的修正必須走一條完全不同的路線，而非好象它是由連續性與非連續性之間的矛盾所表征的且量子奧秘的解答應該與幾何或者微積分的量子轉義沒啥關系似的(Soviel glauben wir aber doch aus der M?glichkeit, die ganze Theorie mit unseren feldm??igen Vorstellungen in volle übereinstimmung zu bringen, folgern zu dürfen, da? die Modifikationen, die wir an unseren klassischen Anschauungen vorzunehmen haben, um zum Verst?ndnis der Quantenprobleme zu gelangen, auf einer ganz anderen Linie liegen müssen, als da? sie etwa durch den Gegensatz zwischen Kontinuum und Diskontinuum zu charakterisieren w?ren und da? die L?sung des Quantengeheimnisses kaum irgend etwas mit einer quantenm??igen Umdeutung der Geometrie oder der Infinitesimalrechnung zu tun haben dürfte)。{閱讀這些德語的量子論/量子力學原文獻，真的是一種享受與折磨的疊加態。以上述這么長長的一句為例，不要指望別的什么工具能幫上忙。}

補充部分

I.矩陣與核函數的一般關系。矩陣a和核函數

f

s, σ

)之間關系已通過正交函數集在公式(A3)的意義上建立起來。該理論可以實質性地推廣，使其看起來適合深度窺視支配關系，此外還有可消除對稱核特殊地位的優點。對稱核的特別性質 可以移植到一般的核(函數)上面。

除了函數集

i (

s

)以外，再引入第二個函數集

i(

s

)(后面會看到為什么這里是下標)。將矩陣元記為

a

ik，定義從屬于矩陣的函數

f

s, σ

)為

函數

i (

s

)和

i(

s

)此時無需是正交的。為了使矩陣操作對應同樣的場積分,兩個函數集必須這樣耦合：

若兩個函數集是同一個，則這個方程就是

i (

s

)的正交關系和歸一化。

推廣是從對稱核的本征函數理論到對應的一般非對稱核的理論。設有一個核

K

s, σ

)，不滿足對稱條件

K

s, σ

K

σ, s

)，則除了通過方程

定義的本征函數集

i (

s

)以外，還可以構造一個屬于轉置的核

K

s

K

σ, s

)的第二個函數集：

本征值

i 在這兩種情形中是相同的。容易看到，對應兩個不同本征值

i，

k的函數

i，

k由相聯系。尚未確定的歸一化按方程進行，不過兩個歸一化因子中的一個還是可自由選擇的。其實，函數集

i(

s

i(

s

)就是屬于一般性核

K

s, σ

)的兩個本征函數序列。

前面我們已經指出，不管是基于對稱核

K

s, σ

)的哪個本征函數集構造的，因為只有本征值

i

對于表示是有意義的，故理論的矩陣表述都是等效的。關于一般性的核也可以這么說。可以從函數集

i(

s

)到一個新的函數集變換，

與此同時，同樣地變換：

為了使得正交關系和歸一化條件(A40)在新的函數集下成立，如下關于量

α, β

的條件方程必須成立：

由此可見表達式
是變換不變量，

這個結果可以表達如下：當我們從(非對稱核的)一個本征函數集通過線性變換變到另一個本征函數集時，其一個系列如無窮多維空間上矢量的協變分量那樣變換，另一個系列如逆變分量那樣變換。

現在看來有理由把函數集

i (

s

i(

s

)分別用上標和下標表示，且把

i當作逆變的而把

i當作協變的。相應地，矩陣

a

ik的矩陣元可看作是一個無窮多維空間中的二階張量的混合分量{原文如此。似應是“二階混合張量的分量”}。

通過過渡到非對稱核我們不再單單地綁定一個正交變換(這里區別協變和逆變沒有意義)，而是有更多的一般線性變換可用，我們可用一個“主軸變換(Hauptschsentransformation)”將非對稱核弄成正交形式。核的本征函數對此會起作用。作為對對稱核那里成立的雙線性公式(Bilinearformel)的推廣有如下關系：

將某個函數

f

s

)根據一個非對稱核的逆變函數展開——前提是這個展開確實可能——如下公式成立：

根據協變函數展開的公式與此類似。

在量子力學中出現的函數

p

s, σ

q

s, σ

)具有若將

s, σ

調換會變為相應的復共軛的性質。對于這些核，協變函數簡單地就是為取復共軛值的逆變函數。這樣的核的本征值始終是實的。

II.走向量子條件。積分方程理論的方法從一開始就指明了特征的獨特之處(charakteristische Eigentümlichkeit)，將無窮維矩陣看作有限維矩陣的極限，可以借此逐次逼近。如果核

K

s, σ

)的雙線性展開中從某一高

n

項算起可忽略，對我們的理論也可采用這樣的有限近似。若雙線性級數一致收斂，這總是可以的。這就要求

n

從某個足夠 大的

n

開始一致地趨近無窮大。因為

i的倒數(不考慮共有的因子)就是量子態的能級，這意思也就是說對于足夠大的量子數，項

W

i 必須趨于0。在譜線系那里，

W

n是 量級的，事實上是滿足的。在海森堡以及玻恩—約當處理過的諧振子例子當中，出現的則是另一種行為。這里能級隨量子數趨于無窮。在這種情形下無法構造可用其全體(in seiner Gesamtheit)表征體系的核

K

s, σ

)。這里挑明的數學困難不可歸于方法的不恰當，其也指向從物理觀點看來也是有道理的不可理解(gerechtfertigte Unzug?nglichkeit)。無窮大的能級總是物理無意義的(Unendlich gro?e Energieniveaus sind jedenfalls auch physikalisch sinnlos)。這里，任意趨于無窮大的能級也必須排除。在何處為系統設置一個邊界，無法先驗地預知，實踐上也無意義。這是新量子力學的特點，單個的量子態不能獨立于其他的狀態被確定，而是作為整體建立起動力學的系統(das dynamische System als Ganzes festzulegt)。量子態某種意義上是互相耦合的(Die Quantenzust?nde sind gewisserma?en “gekoppelt” untereinander)。不過可以假設，最終量子數離得越遠，耦合就越弱。高量子數的量子態對低量子數的狀態不再有實質性的影響(die Quantenzust?nde mit hohen Quantenzahlen die Zust?nde niedriger Ordnung nicht mehr wesentlich beeinflussen)。當我們將非常高的量子態的特征量忽略，可以得到系統的一個漸近表示。

運動方程不以矩陣有限還是無限為前提。但是，如果論及量子條件的表述，就會遭遇一個困難。前已指明，“精準的”玻恩—約當條件與各處有限的

p

q

-函數不相容。用有限維pn ，qn矩陣寫下如下形式的量子條件：

馬上就產生矛盾，因為通過主軸變換可以將矩陣qn對角化，則等式左邊的對角線上為0，而右側卻要求是1。

實際上這個矛盾無從避免。文章接下來討論如何避免這個矛盾，但結論是暫時沒有好的方案(略)。

2薛定諤的等價性證明

薛定諤的“論關系”一文我倒是寧愿解讀為對波力學算子代數的使用說明。在正經大學的正經物理系正經地學習過量子力學的人大部分都知道

p

x =-i

??

x，但是能在方程=0中把它用對了也不是那么容易。薛定諤“論關系”一文中的大部分內容是一般的量子力學教科書不提的；至于玻恩—約當，玻恩—海森堡—約當，狄拉克，泡利的四篇矩陣力學經典論文的內容(參見本系列的“矩陣力學”一篇)，一般量子力學教科書更是懶得提及。教學的要求低到泥地，卻指望受教育者未來是科學領域開疆拓土的巨擘，確實有點兒強人所難。

薛定諤的“論關系”一文是他的波理論的重要組成部分。

[內容摘錄]

§1引言與摘要

就海森堡{薛定諤此處有腳注，此為對玻恩—海森堡—約當的簡記}的量子力學與波力學或曰物理力學(undulatorische oder physikalische Mechanik)在出發點與表述范圍的巨大差別來看，它們至今已知的結果就同老量子論的偏離而言是一致的，這確屬罕見。一個特別的例子是(得出)振子和轉子問題里的半整數量子數。容易注意到兩種力學在出發點、表示(方式)、方法以及全部的數學工具都那么不同，它們同經典力學的偏離也是南轅北轍。在海森堡那里，經典力學變量被分立的數字體系(矩陣)所取代，該矩陣用整數指標標記，由代數方程確定。該理論的作者們說那是真正的非連續理論(wahre Diskontinuumstheorie)。波力學則從經典力學往連續理論方向又邁出去一步。用有限多獨立變量通過有限多全微分方程可描述的事件被一個在構型空間上的連續的、類場的事件(kontinuierliches feldm??iges Geschehen)所取代，其可由一個由作用量原理導出的偏微分方程所支配。這個作用量原理和偏微分方程替代老經典量子論(?ltere klassische Quantentheorie)里的運動方程和量子條件。{在這里，薛定諤加了一個惹出故事的注:“我的理論受德布羅意的學位論文和愛因斯坦的簡短但有無限深意的論文(

Berl. Ber.

1925, S. 9ff.)的啟發(引文似乎有誤)。同海森堡理論的出身上的聯系我根本無感。我當然懂他的理論，但它的在我看來很困難的超越代數方法以及缺乏直觀性(Mangel an Anschaulichkeit)讓我感到喪氣，如果不是排斥”。 海森堡估計讀到了這句話。他在6月8日給泡利的明信片上寫道：薛定諤所說的Anschaulichkeit就是屎。}

接下來是對海森堡量子力學和波力學之間的非常親密的內在聯系(der sehr intime innere Zusammenhang)的發現之旅。從形式數學的觀點來看，可以說這個關系可視作等同(als Identit?t zu bezeichnen)。

海森堡的理論將量子問題的解系于求解一個無窮代數方程組，其變量，即無窮維矩陣，會被賦予力學系統的經典坐標、動量及它們的函數，遵從獨有的運算法則(eigenartige Rechengesetze befolgen)。先看看如何賦予(Zuordnen,分派)每一個坐標、動量的函數一個矩陣，使其總是遵從玻恩—海森堡的形式運算法則(包括量子條件和交換規則)。這個為函數賦予矩陣的操作是一般性的，與具體的力學系統無關。這個分派又是高度不確定的，其借助于任意的、定義在整個構型空間上的完備正交函數集。

求解表征特定問題的特定代數方程組——其將位置和動量的矩陣同哈密頓函數的矩陣相聯系，作者們稱為運動方程——只需將中介的角色賦予指定的正交系，也即構成我的波力學之基礎的偏微分方程的本征函數，即可完全做到。這個微分方程的自然邊界問題的解與海森堡的代數問題的解完全等價。所有海森堡的矩陣元，據信其可以確立躍遷概率或譜線強度，只要邊界問題可解，確實可以通過微分和二次型算出來。這些矩陣元，在波力學里有一個完全直觀的意義，即原子的電偶極矩的分振動振幅。發射光的強度與偏振可在麥克斯韋—洛倫茲理論的基礎上加以理解。

§2 給良序函數符號分派算符與矩陣，建立乘法規則

構造矩陣的出發點為，關于兩組

n

個量

q

1 ,

q

2, …

q

n

p

1,

p

2, …

p

n

的函數的海森堡運算規則，根據常規的數學分析，適用于在單一一組變量

q

1,

q

2, …

q

n

上的線性微分算符。在函數中將每一個

p

l用算符?/?

q

l替代。對于任何

m

l

，?/?

q

l替與

q

m是對易的。對于任何

m

l

，對易式

作用到

q

k 的任意函數上重現該函數，也即該算符為恒等算符。

現在開始系統的構造。因為前述的“非總是可對易性(Nichtimmervertauschbarkeit)”，一個給定的算符不是唯一地對應通常意義上的一個

q

k ,

p

k的函數，而是以明確的方式寫下的函數符號(Funktionssymbol)。此外，因為對算符?/?

q

k我們只有加法和乘法，因此

q

k,

p

k的函數至少可寫成

p

k

的規則冪級數，這樣才可以用算符?/?

q

k替代

p

k。只需考慮冪級數中的一項，即對如下構造的函數：

我們將之當作良序的函數符號(Wohlgeordnete Funktionssymbole)，并分派如下的算符：

這意思是用算符

K

?/?

q

r 替代

p

r,

K

應是個普適常數。將自良序函數

F

而來的算符簡記為[

F

, *]，[

F

u

]是將該算符作用到通常意義上的函數

u

q

1, …

q

n

)上所得的通常意義上的函數。若

G

是另一個良序函數，則[

GF

u

]是算符

GF

作用到函數

u

上。一般來說，函數[

GF

u

]與函數[

FG

u

]不同。

現在為一個良序函數

F

，通過其相應的算符(B3)以及任意一個定義在整個

q

-空間上的完備正交集，分派一個矩陣。將坐標

q

1, …

q

n

簡記為

。函數

是一個完備的、歸一的正交集，即有：

進一步會假設，這些函數在

q

-空間的自然邊界上充分快地趨于0，這樣可以使得后面出現的分步積分過程中作為副產品出現的邊界積分為0。

函數

F

通過算符(B3)可被分派矩陣：

不難證明，良序函數及其對應的算符的加與乘會造成所屬矩陣的矩陣和與矩陣積。記

G

為任一其他的良序函數：

在求積矩陣(

FG

) km 之前，先要對

F

kl定義里的[

F

, *]對函數

u

l(

)的作用通過一系列的分步積分加以轉圜(w?lzen)，變成對

u

k(

)的作用。此過程中作為副產品出現的邊界積分都為0。轉圜后的算符記為，以(B3)式為例，

其中

是微分的次數。這樣有：

最后一個等式用到的是正交集的完備性關系{原文(B8)式寫成了

略有不妥}?，F在對(B8)中的算符[Fˉ,*]通過分步積分從ρ(x)uk(x)轉圜到[G,um(x)]上，得：

§3 海森堡量子條件與偏微分規則

因為(B1)式中的操作是恒等，故對應良序函數：

根據分派規律，所得算符還應乘上普適常數

K

。對應(B10)的矩陣為

這就是海森堡量子關系{式(B12)的右側，薛定諤早在1922年就寫下了。注意，-1的意思是同時等于±i。參閱拙著《云端腳下》}。

當然，如果給

q

l ，

p

l函數分派的矩陣為

也能得到關系(B11)。

現在轉向“偏微分規則”。一個良序函數對

q

l 的微分，是指不改變

q

l 出現的位置上的因子(Faktor)的順序對

q

l微分并求和。容易證明如下方程

成立。證明思路如下。代替實際對

q

l 微分，可以簡單地將

p

l 前置，其過渡到算符時反正要用代替。再者，當將總算符{應該是指

p

l

F

Fp

l}作用到函數

u

上時，算符不僅會作用到

F

q

l 的地方(這是應該的)，而且也錯誤地作用到被總算符影響了的函數

u

上。這個錯誤我馬上糾正，把操作[

Fp

l, *]減去。

現在考察關于

p

l 的偏微分。設想將每一個

p

l 的 冪分解為單個因子，比如寫成

p

l

p

l

p

l 而非

p

l3 的形式，因此可以說對

p

l的 偏微分乃是將函數

F

中出現的每一個

p

l 抹掉一回，所得結果相加。那么 算符(B3)如何作用呢？每一個抹掉一次，結果相加。

我斷言如下算符方程成立：

在符號[

Fq

l , *]中將

q

l平推過

F

以得到[

q

l

F

, *]，每當

q

l 遭遇到 時，在算符內要用

{原文如此。應是
}。

這個由“1”提供的交換副產品構造了期待的“偏微商”(partiellen Differentialquotienten)。平推以后留下的[

q

l

F

, *]是多余的，在(B15)式中顯式地被減去了。這樣(B15)式就得到了證明。被當作算符證明了的等式(B14)(B15)，也對分別對應左側和右側的矩陣成立，因為根據(B6)有且只有一個矩陣對應一個線性算符(我們沒有證明，對于任一矩陣總存在一個線性算符)。

§4 海森堡運動方程的解

現在考察一個由確定的哈密頓函數

所表征的特定的力學問題。量子力學的作者們{Die Authoren der Quantenmechanik，指玻恩、約當、海森堡}從普通力學中移植了這個函數，當然不是以“良序的”形式，因為在常規的數學分析中因子的順序無關緊要。他們為了量子力學的目的以確定的方式“規則化(normalisieren)”或者說“對稱化(symmetrisieren)”了因子，比如將普通的力學函數

q

k

p

k2用或者又或者代替，根據(B11)這都是一樣的。此函數可看作是良序的。一句話，良序函數應該使得

H

ki是對角化的，對稱化的函數在其他方面與原來的函數相同。我們接下來會直接滿足這些要求。

玻恩他們要求矩陣
滿足一個稱為運動方程的無窮方程組：

右側的偏微商的意義是解釋過了的。至于左側的，存在一個數列

賦予如下意義，給每個指標為(

ik

)的矩陣元乘上，其滿足上述方程。特別地，

數列(B19)不是事先確定的，而是和
一樣是方程(B18)的未知數。考慮(B20)式，加上(B14)(B15)式里的計算規則，計及(B12)式，方程(B18)變成：

這些方程應該被滿足，而我們也沒有其他可用的辦法，除了選擇合適的構造矩陣的完備正交集。我{薛定諤}斷言：

(1)若如下偏微分方程

的自然邊界問題的本征函數被選作正交集，其中

q

1 ,

q

2, …

q

n的函數，

E

是本征值參數，方程(B18')可得到滿足。密度函數

)自然會出現在同式(B21)相乘使得其具有自伴隨性質的

q

1,

q

2, …

q

n的函數中。量

i 就是本征值

E

i 除以

h

H

ik是對角矩陣，

H

kk=

E

k。

(2)若函數

H

的對稱化已以恰當的方式實現了——我的觀點是，對稱化過程當前未被唯一地定義——則(B21)式與作為波力學之基礎的波方程同。

如果暫且不理會如下的問題，即方程(B21)是否導致一個理性的

q

-空間上的邊界值問題，是否 總能通過同一個合適的函數的乘積弄成自伴隨的形式，等等，論斷1幾乎是顯然的。這些問題很大程度上在論斷2中解決了。根據方程(B21)以及本征值、本征函數的定義：

根據(B6)：

舉例來說，

這樣方程(B18')的第一個的右側的值為

第二個結果類似。這樣論斷1得到證明。

現在考察論斷2，即(恰當對稱化了的)哈密頓函數的加負號的算符與波力學中的波算符是一致的。借助一個簡單的例子說明，為什么對稱化過程在我看來不是唯一的。設有單自由度的哈密頓函數：

這個函數可以直接當作良序的納入量子力學，也可以應用良序函數：

其中

f

q

)是邊界在遠處的任意函數，在此情形可以當作密度函數

)。(B26)式顯然是(B27)式的特例。那么問題來了，是否有可能以及如何將特例同一般的情形，即針對復雜哈密頓函數，區分開來。將問題限制在

q

k 的冪函數的情形，就在最重要的應用情形中也不方便。此外，我相信，這不會導致正確的對稱化。

為了便于讀者理解，我以對于當前目的合適的形式重復一遍波方程的簡短推導。為此只考慮經典力學的情形(無相對論效應，無磁場)。設想，

其中

T

p

k 的二次型，波方程可通過變分問題得到：

輔助條件為
，其中是

T

二次型的矩陣值(diskriminante)的平方根的倒數。這個因子不應該忽略，因為否則的話整個過程針對

q

k 的點變換不是不變的。

T

pk 表示

T

p

k

的微分，

歐拉的變分方程為

容易看出這個方程有形態(B21)，為此要記起算符排序規則以及對齊次方程的歐拉方程，將其應用到二次型

T

上，且

將(B31)式左側的
用

p

k 代替，則從(B32)就得到了負哈密頓函數(B28)。由此變分過程就自動得到算符的唯一確定的對稱化，其將算符(直到一個因子)弄成自伴隨的，針對點變換是不變的。

這樣，整個的海森堡—玻恩—約當的矩陣方程就歸結為一個線性偏微分方程的邊界值問題。求解了這個邊界值問題，就可以根據(B6)式通過微分與二次型構造(Quadraturen)計算每一個感興趣的矩陣元。

為了解釋什么是自然邊界問題(構型空間的自然邊界)，我以計算過的例子來說明。自然的無窮遠邊界常常構成微分方程的奇點，且唯一允許的是“保持有界的”的邊界條件。如果位置坐標是人為地限制了的，比如處于一個“箱子”里的分子，此限制可以通過引入一個合適的勢能項來處理。本征函數在邊界上為0一般來說也是滿足的，即便在某些積分(B6)之間存在需要關注的關系(說的是開普勒問題中出現的矩陣元，根據海森堡其對應從雙曲軌道到雙曲軌道的躍遷)。

我僅限于討論無磁場的經典力學情形。關于涉及相對論—磁性的推廣時兩種新量子論也會表現出完全的平行，這一點毋庸置疑。

就2—4節中用到的形式工具，再泛泛地略評幾句。在所有公式中，作為基礎的正交集都是當作完全分立的函數集看待的。在重要的應用場景中可不是這樣的。不只是對于氫原子，而是對于高原子序數的原子波方程(B31)除了有線譜(Linienspektrum)以外還有連續本征值譜，后者會表現出挨著線系極限的連續光譜。本文的目的是說清楚兩種理論的關系，連續譜的出現不會帶來本質上的改變。一個重要提醒：(我們的結論)不以根據本征函數的展開的收斂性為前提，但我們始終是這樣認為的。對在有限值上(在系列的極限處)的分立本征值的聚集要特別注意，其與連續譜的出現緊密聯系。

§5 兩種理論的比較。對輻射之強度與偏振的經典理解的預期

如果處于當前形式的兩種理論是立得住的，意思是已證明是在復雜系統上的正確推廣，那么談論一者對另一者的優越就只有表觀目標(Scheinobjekt)。從純數學的角度看它們是完全等價的，只能談論計算方便性這種次要問題。

今天有不少的物理學家，如基爾霍夫和馬赫那樣，認為物理理論的任務只是用盡可能簡約的數學描述可觀測量之間的經驗關系，這樣的描述盡可能不借助不可觀測的元素而再現關系。對于這樣的觀點，數學等價與物理等價幾乎是一回事兒。在前述情形中，最多可看到對矩陣表述的某種偏愛在于其因為完全的非直觀性而不會導致形成原子現象的空間—時間圖像，而這原則上可能是不可控的。在這個關系中，接下來的對等價性證明的補充無論如何是有益的：若確實存在等價，則其也存在于相反的方向(Die ?quivalenz besteht wirklich, sie besteht auch in umgehehrter Richtung)。不只是由本征函數構造矩陣，而是反過來由數值給定的矩陣也能構造本征函數。后者不是要為那個光禿禿的矩陣骨架構建一個任意的、特別的、對直觀性需求友好的肉身(fleischliche Umkleidung des kahlen Matrizenskeletts)，事實上是為后者的認識論上的被偏愛找理由。設想方程：

左側的數值已給定，要找出函數

u

i (

)(此處略去

)，假設

u

i(

)已構成正交函數集)。通過矩陣乘積，為此要做分步積分，計算如下的積分：

其中

P

)是

q

l 的任意一個冪函數。固定

i

k

構造這個積分的全體，稱為函數

u

i(

u

k(

)的矩(Momente)的全體。在一般性前提下，一個函數可由它的矩唯一地確定{但不具備可行性。這一點被批評者所詬病}。全部的積

u

i(

u

k(

)被唯一地確定，由此二次型

u

i(

)2以及

u

i(

)自身可唯一地被確定。唯一的任意性在于反過來密度函數

)的分離。這里不用擔心任何認識論上的禁忌(keinen erkenntnistheoretischen faut pas)。

數學等價與物理等價具有相同的意義，此論斷絕對是在一定條件下才成立。比如，考慮帶電導體系統的靜電能的兩種表達，作為空間積分
的以及關于導體上的求和的