復(fù)雜性科學(xué)中的突變理論

導(dǎo)語

“突變理論”最初由法國數(shù)學(xué)家雷內(nèi)·托姆提出，用以研究非線性系統(tǒng)在連續(xù)變化中為何會出現(xiàn)突然的斷裂或躍遷。盡管其英文原名“Catastrophe Theory”常被譯作“災(zāi)變理論”，帶有爭議性的語義色彩，但在復(fù)雜性科學(xué)中，它更強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)性質(zhì)的“突變”與“形態(tài)發(fā)生”。這一理論揭示了自然與社會中普遍存在的臨界行為，從冰川崩塌到金融市場崩盤，從細(xì)胞分化到神經(jīng)頓悟，都可視為不同形式的突變。本文介紹突變理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用領(lǐng)域，展示其在理解復(fù)雜系統(tǒng)動力學(xué)與預(yù)測臨界轉(zhuǎn)變中的獨特價值。

關(guān)鍵詞：突變理論、分岔與奇點、復(fù)雜系統(tǒng)、非線性動力學(xué)、臨界點、相變

陳關(guān)榮丨作者

趙思怡丨編輯

從中文語義上來說，“突變”表示突然變化，比如“涌現(xiàn)”，是個沒有爭議的描述性詞語。但是，“突變理論”這個專有名詞是從英文術(shù)語“Catastrophe Theory”翻譯過來的，從英文語義上來說是“災(zāi)變理論”，有“災(zāi)害性”的含義，并不為一些學(xué)者接受。基于對其數(shù)學(xué)理論的不同理解、詮釋和評價，這一理論自從上世紀(jì)八十年代提出來之后，在學(xué)術(shù)界引起過一場異常激烈的討論和爭辯。

本文把主題術(shù)語翻譯并理解為突變而不是災(zāi)變，旨在介紹和解釋它的復(fù)雜性科學(xué)內(nèi)涵，并不打算介入那場至今依然存在的學(xué)術(shù)爭論之中。

一、突變現(xiàn)象

在復(fù)雜性科學(xué)研究中，混沌理論關(guān)注并刻畫一個動力系統(tǒng)的狀態(tài)在演化過程中的起點和終點，即對初始條件的極端敏感性和長時間系統(tǒng)狀態(tài)的不可預(yù)測性，而突變理論則關(guān)注并刻畫一個動力系統(tǒng)的狀態(tài)在演化過程之中的性質(zhì)突變和奇異性，如系統(tǒng)穩(wěn)定性的突然變化和新動力行為的突然出現(xiàn)或消失。

復(fù)雜的自然界和人類社會活動中經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的“突變”現(xiàn)象，例如平靜的水在零度時突然結(jié)冰，寂靜的冰川突然轟隆崩塌，正常運作的股票市場突然崩盤，燈火通明的大廈因故障斷電突然漆黑一團(tuán)，一個安靜的人受到某種刺激突然情緒失控。這些在物理學(xué)中被稱為“相變”的現(xiàn)象有一個共同點，就是本來一個漸變的、連續(xù)的狀態(tài)演化過程，在瞬間產(chǎn)生一個跳變的、不連續(xù)的結(jié)果。對于這類突變現(xiàn)象，經(jīng)典微積分中描述變化率的求導(dǎo)數(shù)運算不能直接應(yīng)用，因為它只能用于描述連續(xù)平滑的狀態(tài)或運動變化。

突變理論是太陽系起源的假說之一。該理論認(rèn)為太陽系的形成源于突發(fā)性天文災(zāi)難事件，通常稱為災(zāi)變。十八世紀(jì)法國博物學(xué)家、作家喬治-路易·德·布豐（Georges-Louis Leclerc de Buffon，1707年-1788年）在1745年提出恒星相互碰撞假說，認(rèn)為一顆大彗星掠碰太陽使它自轉(zhuǎn)起來并帶動了一批行星和衛(wèi)星。1900年，美國地質(zhì)學(xué)家湯姆斯·張伯倫（Thomas C. Chamberlin, 1843年-1928年）提出太陽系形成的突發(fā)“星子說”。后來，他同美國天文學(xué)家福里斯特·莫爾頓（Forest Ray Moulton，1872年-1952年）合作，提出另一種假說：一顆恒星靠近太陽時，在太陽的正反兩面掀起巨大的沙石浪潮，其引力剝離太陽表面的物質(zhì)并讓它們聚合成一批新的行星和衛(wèi)星。

地球也曾經(jīng)發(fā)生許多短暫的巨大災(zāi)難，其中有些是全球性的，像《圣經(jīng)》中描述的大洪水。19世紀(jì)初，法國動物學(xué)家、地質(zhì)學(xué)家喬治·居維葉（Georges Cuvier，1769年-1832年）建立了滅絕物種的概念，認(rèn)為地球上的絕大多數(shù)物種滅絕是突然、迅速和災(zāi)難性的。他是比較解剖學(xué)和古生物學(xué)奠基人，他的學(xué)說為生物突變進(jìn)化論提供了一種有代表性的科學(xué)觀點和理論根據(jù)。20世紀(jì)70年代，災(zāi)變理論一度復(fù)興，成為科學(xué)研究和討論的熱點。那時，災(zāi)變理論被試圖用來解釋和描述地球上曾經(jīng)發(fā)生的一些生物集群如恐龍滅絕甚至月球的形成等一系列重大地質(zhì)和天文事件。當(dāng)然，科學(xué)家們說話有理有據(jù)：1980年，由美國實驗物理學(xué)家、諾貝爾獎得主路易斯·阿爾瓦雷茲（Luis Alvarez）和他的地質(zhì)學(xué)家兒子沃爾特（Walter Alvarez）領(lǐng)導(dǎo)的團(tuán)隊，在約6600萬年前的白堊紀(jì)-古近紀(jì)地層界限的黏土層中發(fā)現(xiàn)了全球性的銥元素異常。銥在地殼中極其稀有，但在小行星和彗星中卻含量豐富。據(jù)此，他們提出了“小行星撞擊說”：一顆直徑約10公里的小行星撞擊地球，引發(fā)了全球性的巨大海嘯和森林火災(zāi)，并將大量塵埃拋入大氣層，遮蔽陽光長達(dá)數(shù)年之久，導(dǎo)致植被光合作用停止、全球變冷、食物鏈崩潰，最終造成了包括恐龍在內(nèi)的全球四分之三以上的物種大滅絕。1990年代，在墨西哥的尤卡坦半島（Yucatán Peninsula）上，人們發(fā)現(xiàn)了一個由小行星撞擊生成的奇克蘇魯布隕石坑（Chicxulub Crater），其年齡與上述滅絕事件完全吻合，從而為災(zāi)變理論提供了決定性的證據(jù)。地球災(zāi)變論還認(rèn)為，在太陽系形成初期，一個大約火星大小的天體忒伊亞（Theia）以傾斜的角度撞擊了原始地球。那次災(zāi)難性的碰撞將地球的一部分地幔物質(zhì)拋入太空，而這些碎片在地球軌道上逐漸互相吸積融合，最終形成了月球。

突變理論研究的重要性是不言而喻的。了解突變發(fā)生的原因和機(jī)理，可以幫助對自然災(zāi)害和社會事件的發(fā)生做出預(yù)報、預(yù)警和預(yù)防，也可以幫助加強(qiáng)設(shè)施結(jié)構(gòu)和社會組織的韌性。

二、突變數(shù)學(xué)理論

研究突變理論，科學(xué)家們依賴并借助于物理學(xué)和數(shù)學(xué)。

“突變理論”或者稱為“災(zāi)變理論”這個名詞是英國幾何拓?fù)鋵W(xué)家克里斯托弗·齊曼爵士（Sir Erik Christopher Zeeman，1925年-2016年）在推廣法國拓?fù)鋵W(xué)家雷內(nèi)·托姆（Rene Thom，1923年-2002年）建立的相關(guān)數(shù)學(xué)理論時建議的。他于1976年在《科學(xué)美國人》雜志上以“災(zāi)變理論”（“Catastrophe Theory”）為題寫了一篇內(nèi)容豐富詳盡的科普作品。其中，他用一條狗的情緒突變的條件和過程作為例子來通俗地解釋災(zāi)變理論，還介紹了自己設(shè)計的一個“災(zāi)變機(jī)器”，即一個簡單的機(jī)械結(jié)構(gòu)會在平靜運動過程中突然發(fā)生劇烈振動。托姆是著名拓?fù)鋵W(xué)家，1958年因微分拓樸學(xué)開創(chuàng)性工作獲菲爾茲獎。1972年，托姆發(fā)表了一本極具影響的著作《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學(xué)》（Structural Stability and Morphogenesis）。這是一本不帶嚴(yán)格數(shù)學(xué)公式和詳細(xì)證明的科普書，概述了他關(guān)于突變理論的主要思想和分析方法，充滿哲理思辨。

突變理論是關(guān)于非線性系統(tǒng)動力學(xué)的分岔理論（bifurcation theory）和奇點理論（singularity theory）的數(shù)學(xué)分支，研究復(fù)雜非線性系統(tǒng)在微小參數(shù)變化下如何突然產(chǎn)生運動學(xué)和動力學(xué)行為中的劇烈變化。托姆的核心觀點是：系統(tǒng)的突變并不是無跡可尋的，它在本質(zhì)上遵循某些數(shù)學(xué)規(guī)律，而突變理論的研究，就是去弄清楚復(fù)雜系統(tǒng)在其關(guān)鍵參數(shù)不斷變化時如何突然發(fā)生巨大行為變化的規(guī)律。

下面簡單介紹突變的數(shù)學(xué)理論。為此，從動力系統(tǒng)的分岔理論談起。

圖1三種基本分岔

先來看看最簡單也是最基本的分岔動力學(xué)。

（1）跨臨界分岔（transcritical bifurcation）

考慮一維二次方程，其中μ是參數(shù)。這個系統(tǒng)有兩個平衡點：x*=0和x*=μ。隨著參數(shù)μ在零點附近變化，平衡點的穩(wěn)定性會突然發(fā)生變化，如圖1(a)所示：從穩(wěn)定（實線）變成不穩(wěn)定（虛線），或者反過來，從不穩(wěn)定變成穩(wěn)定。

（2）鞍點分岔（saddle-node bifurcation）

考慮一維二次方程，其中μ是參數(shù)。這個系統(tǒng)有一個平衡點（x*,μ）=（0,0）和一條平衡曲線(x*)2=μ。隨著參數(shù)μ在零點附近變化，平衡線的穩(wěn)定性會突然發(fā)生變化，如圖1(b)所示：一個分支是穩(wěn)定的（實線）而另一個分支是不穩(wěn)定的（虛線）。

（3）叉型分岔（pitchfork bifurcation）

考慮一維三次方程，其中μ是參數(shù)。這個系統(tǒng)有兩條平衡曲線： x*=0，μ任意，和(x*)2=μ。隨著參數(shù)μ在零點附近變化，第一條平衡線的穩(wěn)定性會突然發(fā)生變化，如圖1(c)所示：從穩(wěn)定（實線）變成不穩(wěn)定（虛線），或者反過來，從不穩(wěn)定變成穩(wěn)定。

（4）霍普夫分岔（Hopf bifurcation）

考慮一個二維系統(tǒng)：其中μ是參數(shù)，f和g是可微函數(shù)。假定這個系統(tǒng)有平衡點(x*,y*)=(0,0)。如果隨著參數(shù)μ在某個特定數(shù)值附近作微小變化時，系統(tǒng)在平衡點上的雅可比矩陣有一對共軛復(fù)特征根并且其實部會作相應(yīng)移動、垂直地橫跨過復(fù)平面的虛軸，那么在特征根跨越的瞬間，系統(tǒng)會突然從無到有地產(chǎn)生一個環(huán)繞平衡點的周期軌道（稱為極限環(huán)）。

上面介紹的是幾個經(jīng)典的、描述系統(tǒng)典型動力學(xué)特性（主要是穩(wěn)定性）突然變化的基本數(shù)學(xué)理論。但是，這些突然變化都是連續(xù)性的，并不出現(xiàn)斷裂和跳躍。

托姆把分岔理論和奇點理論結(jié)合起來，考慮更為復(fù)雜、更為隱蔽也更為深刻的不連續(xù)突變現(xiàn)象。

作為例子，我們考慮一個具有勢能函數(shù)H=x4+ax2+b的動力系統(tǒng)，其中a和b是參數(shù)。當(dāng)a<0時，勢能H有兩個極值，一個穩(wěn)定，一個不穩(wěn)定。如果參數(shù)a緩慢地增大，系統(tǒng)狀態(tài)軌線可以趨向于穩(wěn)定的最小極值點。但在a=0時，穩(wěn)定極值點和不穩(wěn)定極值點相遇并同時湮滅，這是一個不連續(xù)的分岔點。當(dāng)0\n"},"displayMode":"inline","viewType":"inline"}}">a>0時，系統(tǒng)的穩(wěn)定解消失，這也是一個不連續(xù)的分岔。因此，如果一個物理系統(tǒng)經(jīng)歷這樣一次雙重分岔，那么當(dāng) a 到達(dá) 0 時，a<0的解的穩(wěn)定性會突然消失，系統(tǒng)會突然產(chǎn)生一種全新的、截然不同的動力學(xué)現(xiàn)象。這是一種不連續(xù)的突變，和上面介紹的經(jīng)典的分岔現(xiàn)象有著本質(zhì)上的區(qū)別。這個例子可以通過圖2來理解。在參數(shù)投影平面，除了分岔尖點（cusp）軌跡之外，對應(yīng)于每個點(a,b），變量x只有一個極值。但在尖點軌跡上的點(a,b），變量x有兩個不同的極值，如圖2的上圖所示。

圖2尖點型分岔

通過控制參數(shù)，托姆以及齊曼等人把系統(tǒng)分為四種類型，并在此基礎(chǔ)上建立了一條重要的“突變分類定理”。該定理指出：一個系統(tǒng)中所有穩(wěn)定性的不連續(xù)變化現(xiàn)象，都可以歸類為七種“基本突變類型”之一：折疊型（fold）突變、尖點型（cusp）突變、燕尾型（swallowtail）突變、蝴蝶型（butterfly）突變、橢圓型（elliptic）突變、雙曲線型（hyperbolic）突變和拋物線型（parabolic）突變。該定理為那些由于控制參數(shù)的連續(xù)變化而表現(xiàn)出突然、斷裂和跳躍行為變化的動力系統(tǒng)提供了一種數(shù)學(xué)模型分類。

作為例子，眾所周知的沙堆崩塌便是一種折疊型突變：把沙粒一顆一顆地加到一堆小沙丘上。開始時，沙堆是穩(wěn)定的。但堆得越高，崩塌的風(fēng)險就越大。當(dāng)?shù)竭_(dá)了某個臨界狀態(tài)之后，再加上一顆沙粒，整個沙堆便會突然塌陷。加上最后一顆沙粒的時刻和位置也稱為（時空）“引爆點”（tipping point）。這個引爆點的概念是突變可能性的核心和關(guān)鍵。

三、突變論的應(yīng)用

突變理論大有用武之地，首先是數(shù)學(xué)。突變理論企圖解決的一個重要數(shù)學(xué)問題，是在哪里截斷系統(tǒng)勢能函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式是安全的？所謂安全，是指截斷后的有限項的級數(shù)能夠在級數(shù)展開處的鄰域內(nèi)保存原級數(shù)的主要拓樸性質(zhì)，即使原級數(shù)是發(fā)散的。這一問題的解答在大規(guī)模動力系統(tǒng)降維建模中非常關(guān)鍵。

最早正面評價突變理論的物理學(xué)家包括英國理論物理學(xué)家邁克爾·貝里（Michael Berry，1941-）和物理及冰川學(xué)家約翰·奈（John Nye，1923-2019）。他們介紹了突變現(xiàn)象在光學(xué)理論及實驗方面的研究工作，首創(chuàng)了“災(zāi)變光學(xué)”這一稱謂。

俄羅斯裔比利時籍的美國化學(xué)家伊利亞·普里戈津（Ilya R. Prigogine，1917-2003）是1977年諾貝爾化學(xué)獎獲得者。他的耗散結(jié)構(gòu)理論為突變理論提供了支持：當(dāng)一個系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡態(tài)時，通過“負(fù)熵流”機(jī)制，可讓新的形態(tài)發(fā)生成為可能。例如，實驗室中的“活性液滴”現(xiàn)象演繹了大量分子從個體無序到宏觀有序的涌現(xiàn)。

此外，突變理論在氣候?qū)W和生態(tài)學(xué)中找到很好的應(yīng)用。例如，它被用來預(yù)測亞馬遜雨林退化、珊瑚礁白化、北極冰蓋消融、大西洋徑向翻轉(zhuǎn)環(huán)流（AMOC）崩潰，等等。

在系統(tǒng)生物學(xué)、醫(yī)學(xué)和神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域里，突變理論被用于研究新陳代謝如何發(fā)生和轉(zhuǎn)化、一個干細(xì)胞如何突然分化成特定類型的細(xì)胞如神經(jīng)元或肌肉細(xì)胞、正常細(xì)胞如何突然轉(zhuǎn)化為癌細(xì)胞以及如何確定癌細(xì)胞的惡性轉(zhuǎn)移路徑、復(fù)雜疾病如心梗和腦梗突發(fā)如何發(fā)生，還有心理學(xué)中的精神崩潰和頓悟以及人在認(rèn)知及決策過程中為何會突然做出一個重大決定，等等。

在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中，突變理論被用于研究級聯(lián)失效，如金融網(wǎng)絡(luò)癱瘓、電網(wǎng)崩潰、互聯(lián)網(wǎng)斷網(wǎng)事故，等等。甚至在數(shù)據(jù)科學(xué)與機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，拓樸數(shù)據(jù)分析里的計算幾何學(xué)以及深度學(xué)習(xí)中損失函數(shù)的“尖點”幾何結(jié)構(gòu)等等，也都紛紛開始和突變理論聯(lián)手。

四、結(jié)語

本文介紹的內(nèi)容屬于“初等”突變理論，側(cè)重于對不連續(xù)現(xiàn)象進(jìn)行識別和分類，而現(xiàn)代科學(xué)研究更關(guān)注預(yù)警信號的探測以及高維系統(tǒng)和非平衡系統(tǒng)的各種動力學(xué)相變。更廣義、更復(fù)雜的突變理論仍在發(fā)展進(jìn)程中。盡管前面提及的突變理論的應(yīng)用前景頗為令人鼓舞，目前真正的應(yīng)用尚處于開發(fā)階段，至今沒有幾個特別成功的實證例子。因此，前面提到的關(guān)于對突變理論的歷史爭論確實不是無風(fēng)起浪。本文寫了許多正面的內(nèi)容和評價，但反面意見也相當(dāng)強(qiáng)烈。作為對中間立場意見的介紹，我愿意引用老朋友馬丁·戈盧比茨基（Martin Golubitsky，1945-）1978年在SIAM Review雜志上發(fā)表的一篇綜述里的一句評論：

“關(guān)于突變理論的評論五花八門，從‘第一個解釋參數(shù)連續(xù)變化如何導(dǎo)致不連續(xù)現(xiàn)象的理論’或‘研究生物學(xué)和社會科學(xué)中定性問題所必需的數(shù)學(xué)類型’，到‘一些不錯的觀察結(jié)果被完全沒有根據(jù)的推測所覆蓋’。不過，如通常那樣，真相介乎于這兩者之間。”

本文轉(zhuǎn)載自《集智俱樂部》微信公眾號

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