數學學習建議和總結（初二上學期篇）

昨天，分享了一些本學期初一數學的學習建議和對不同學生需要關注的地方的總結。

經過了初一這一整年，初二的同學相對已經很少存在說不適應初中節奏的問題了。一些真的有比較大學習障礙，自控能力偏弱，學習態度不佳的同學已經能看出明顯的掉隊，這部分就不討論了，說說剩余的情況。

同樣地，普娃和有拔尖需求的娃，在數學學習上的側重點理應不同。

前者需要解決每個學期的所有基礎問題，做熟做扎實，然后循序漸進去挑戰一些更加綜合，難度更大的題目。后者則是在保證基礎穩如狗的前提下，不要逃避壓軸題，多花時間在難題的思考與總結上，去形成一套解決常規難題的套路，以及面對沒見過的新題型的方向。

具體到學習內容上，初二和初一又有很大的不同。

初一篇的時候講過，初一主要打的是代數基礎，除了上學期幾個代數章節，下學期也有不等式、二元一次方程組、實數這幾個純代數章節，以及數軸的延伸與函數的前置知識——平面直角坐標系，依然是代數。

同樣是難題，初一上學期數軸動點的確定性會更強，題目再怎么變也就是那幾類，無非就是初始位置變、速度變、方向變，變化幾乎可控，則大多數題目套路可控。

然而，初二的數學則更側重幾何，因此情況有所不同。

初二上學期的前半個學期都在三角形里遨游，三角形、全等三角形和軸對稱（本質上是等腰和等邊三角形）。這個學期的壓軸題必然也是三角形的綜合問題，三角形相關學習和難題將貫穿整個學期，并且其知識儲備和對幾何題的學習和解題感覺會一直延續到初二下學期的勾股與平行四邊形，乃至初三幾何。

對學生的要求上，代數題目多半是可以做到熟能生巧的，也是可以勤能補拙的。也就是說本身數感不強，思維敏捷度不高的學生，也可以憑借多做多練把熟練度和正確率提上來。

但幾何卻是另一個要求。幾何除了要求同學們記熟判定與性質之外，其題目變化多端，聯系緊密，邏輯要求高。

給你一道計算題，你可能算錯，你可能粗心，但你肯定知道題目要你干啥。但給你一道幾何題，你可能就不知道怎么證，是通知所學的哪些知識去做這道題——一道題可以涉及多個知識。

舉個不恰當的例子去類比，語文文言文考試讓你翻譯，考的是課內文言文，你不會是怨不得人的，這就是該記該背的沒做好。但如果考的是課外文言文，那就沒法背，做不出來就是對文言文知識的運用和遷移能力不足，而這個要求顯然要高不少。

此外，一些題目因為條件較多，有些同學轉不過來就是轉不過來。

舉個例子，幾何證明中，等量代換這個極其常用的數學方法，每個同學都用過，也都知道叫做等量代換。最常見的比如：因為∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3；或者：因為∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3。

以上水平不太差的的同學必然是能理解的。但在具體題目中，涉及到的角往往不止有∠1、∠2和∠3，還有4、5、6、7、8……并且題目也不會告訴你哪個角是要用的。此外，要用到的往往不止3個角，可能涉及好幾組的等量代換，最后才糾纏到一起，出現能夠證明的邏輯，比如：

∠1=∠2，∠1+∠3=90°；

∠3=∠4，∠4+∠5=90°；

上述，你能反應過來一些什么結論嗎？轉速慢點的同學，可能就不行。

再說，題目很多時候不會直接給你角相等和角互余/互補的條件，又要你通過諸如全等、三線合一、平行等方式證明。

一直做幾何題，其實是挺累的，再加上數學難題本來完成率就不高，天然打擊學生的積極性。要知道，現在的手機游戲任務都是以智障引導為主，刷個短視頻都是把你愛看的內容喂給你，很多學生已經沒有了這種沉下心來思考，挑戰困難的耐心和成就感了。

數學要學得好，這種不怕困難，甚至樂于挑戰困難的心態，必不可少。

到了下半個學期，也就是目前初二正在學習的整式乘除與乘方、因式分解以及分式部分，又回到代數。

剛開始學的時候我問我的學生這部分難還是幾何難，多數學生說這部分難，因為做題總是錯，符號總搞錯。我說那知識因為你們剛開始，學校天天上課和作業，一兩周過后你們就能哐哐做題，不帶思考的那種。

當時半信半疑，現在基本實現。

初中數學考試，代數考得并不難，或者說不是主要會出難題的部分，上課認真，勤做，哪怕基礎一般的同學應付代數考試也應該綽綽有余。如果不行的話，其實同學們應該反思自己有沒有把該做的做足，就像我在初一篇貼出來的我那個學生計算的例子和我的評語，一個地方在理解之后如果總出錯，那只能是自己的問題。

當然，代數水平應付初中考試基本足夠，但要應對初三開始的二次函數難題，一些含參的二次多項式或者方程題目，以及高中數學和物理對計算能力的更高要求，依然是需要在此時此刻開始好好優化計算流程，以提高速度和正確率，并且要培養一定的數感。

本學期因式分解部分，一個很顯著的鍛煉是：十字相乘。大家可以看看自己十字相乘的的能力如何，保底的應該要能夠順利做出二次項系數為1的十字相乘題目，更高階的要求是二次項系數不為1的，以及含參數的十字相乘練習，這可以充分幫助大家鍛煉數感。

大概就這樣吧，不知不覺又寫了2000字，這種內容對大家來說一般會比較枯燥，但希望有所幫助。

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