110年前的這天，愛因斯坦的廣義相對論大廈終于竣工

阿爾伯特·愛因斯坦，費迪南德·施穆策攝于1921年。圖源：維基百科

導讀：

愛因斯坦創立廣義相對論的關鍵時期，他的婚姻和家庭破裂了，戰火肆虐歐洲，與最卓越的數學家展開競爭。當最終抵達目的地，他感到無比的快樂。

瞿立建｜撰文

110年前。1915年的11月25日，愛因斯坦在德國柏林普魯士科學院做學術報告，四場系列報告的最后一場。那天，愛因斯坦正式給出了引力場方程。

其意義正如報告的最后一句所言：

因此，廣義相對論這一邏輯大廈終于竣工[1]。

此時距離1907年開工，已經過去了八年。

SAIXIANSHENG

1907年：等效原理

愛因斯坦在他的“奇跡年”1905年之后，1906年[2]和1907年[3]，繼續保持著每年5篇論文的高產出。但沒有收到一家學術機構的任職邀請，仍然要到專利局打卡上班。

愛因斯坦決定主動出擊。1907年6月17日[4]，愛因斯坦向伯爾尼州教育局提交了理論物理無薪講師（Privatdozent）任教資格申請材料。愛因斯坦的申請材料有：申請書、簡歷、已經發表的17篇論文。按慣例，申請者還應該提交一篇教職論文（Habilitationsschrift）。愛因斯坦沒有寫教職論文，寄望于其已發表的成果足以證明其學術能力而豁免這一要求。

9月，《放射性與電子學年刊》（德語刊名：Jahrbuch der Radioaktivit?t und Elektronik）的編輯、物理學家約翰內斯·斯塔克（Johannes Stark）邀請愛因斯坦寫一篇相對論的綜述文章[5]。

10月28日，伯爾尼大學教授委員會對審查愛因斯坦的教資申請材料做出裁定，駁回申請，補充教職論文后，再予受理。[6]

愛因斯坦的教職資格申請被駁回的文件

愛因斯坦對這一官僚做法感到無語，但他暫時沒有時間寫教職論文，他要趕著完成《放射性與電子學年刊》的約稿[6]。

愛因斯坦需要在這篇文章中討論他建立的相對論有兩個嚴重的限制條件：

1. 只適用于勻速運動的物體

2. 沒有把萬有引力包含在內

11月的一天，愛因斯坦坐在辦公室里“摸魚”，大腦在思考他的綜述文章，突然冒出一個想法：

人在自由下落時是感覺不到自己重量的。

這個想法引導愛因斯坦建立了新的引力理論。他后來把這個想法稱為平生最幸福的思想。

愛因斯坦很快將這個想法細化為一個理想實驗——愛因斯坦電梯。

設想星際空間中有一電梯，纜繩拉著電梯正在勻加速上升，加速度的大小恰好等于地球表面處的重力加速度g。電梯中有一個實驗物理學家和各種實驗器材。這個實驗物理學家可以做任意物理實驗，他會發現所有實驗的結果都與地球上一樣。比如做拋體實驗，物體軌跡將是拋物線，與地球上完全一樣。

等效原理示意圖

愛因斯坦洞察到，不可能通過實驗確定一個參考系是靜止在引力場中，還是在無引力場的空間加速運動。也就是說，引力和加速運動帶來的物理效應是完全一樣的。愛因斯坦將此結論稱為“等效原理”。愛因斯坦認為，引力和加速度必定是同一現象的不同表現形式，有可能引入某種場同時解釋加速度和引力。

愛因斯坦的約稿文章于12月4日發表(Jahrbuch der Radioaktivit?t und Elektronik, 1907, 4, 411–462, 1907)，全文超過50頁，其中第五部分闡釋了等效原理，這是建立廣義相對論的起點[5]。

愛因斯坦1907年的相對論綜述文章首頁，提出了等效原理，這是建立廣義相對論的起點。

SAIXIANSHENG

1908年—1911年：攀爬學術階梯

愛因斯坦完成了這篇長文，是不是該處理大學教職的問題了？

這時，愛因斯坦反而對大學教職不感興趣了，他想去中學或中專工作，以便能在更寬松的條件下繼續自己的科學工作。他投了求職申請，以為自己去中等學校手拿把掐，結果經常連面試機會都沒有。[7]

愛因斯坦不得不重新考慮教職問題。他按伯爾尼大學的要求，寫了一篇教職論文。

1908年2月28日，愛因斯坦獲得了教學許可(Venia docendi)，成為無薪講師。[6]

1908年2月28日，愛因斯坦獲得了教學許可(Venia docendi)。

阿爾弗雷德·克萊納（Alfred Kleiner，1849年4月24日—1916年7月3日），蘇黎世大學實驗物理學教授，愛因斯坦的博士導師。

1909年5月7日，愛因斯坦在其博士導師阿爾弗雷德·克萊納運作下，被蘇黎世大學聘為副教授。

愛因斯坦在蘇黎世的生活很愉快，但他還是要走了。一個原因是收入不高。愛因斯坦幽默地說：“在相對論里，我在宇宙空間每個點都設置一個時鐘，而現實生活中，我連在自己房間添置一個時鐘都很難。”另一個原因是，他覺得行政事務和教學任務給他帶來很多麻煩，尤其是教學，讓他頭疼。[8]

1910年3月，奧匈帝國布拉格的德語查理-費迪南德大學（Deutsche Karl-Ferdinands-Universit?t，今布拉格查理大學）邀請愛因斯坦擔任正教授，薪水翻倍，且沒有教學任務。1911年1月，愛因斯坦獲得了正式任命。愛因斯坦終于有了正教授的頭銜和豐盈的收入。

這幾年，愛因斯坦忙著跳槽，但并沒有中斷研究工作，只不過轉向量子理論。

到了布拉格，愛因斯坦將注意力再度轉回引力理論，此時距離他“最幸福的想法”已經過了4年。

SAIXIANSHENG

1911年：光線彎曲

1911年，愛因斯坦洞察到，從等效原理可推導出一個新奇的現象：

引力可使光線彎曲。

這一點很容易用一個思想實驗來說明。

想象一部向上加速運動的密閉電梯。電梯內的實驗物理學家打開手電筒，照向對面墻壁。他將發現，打到對面墻壁的位置要低于出射位置，因為光向前行進的這段時間里電梯也向上移動了一段距離，即光線發生了彎曲。根據等效原理，電梯處于引力場中與電梯向上加速運動，電梯里的物理現象是一樣的。所以，光線在引力場中也會彎曲。

光線在加速參考系和引力場中彎曲。

1911年6月，愛因斯坦將這個研究結果發表于

Annalen der Physik

光線可能會彎曲，這就引出了一些有趣的問題。日常經驗表明，光總是沿直線傳播。木匠現在會用激光水平尺來畫直線，建造房屋。倘若光線通過變化的引力場時會發生彎曲，那么直線應當如何確定呢？

一種解決方案是，把通過變化引力場的光線的路徑類比于球面或曲面上的線。對于球面或曲面來說，兩點之間最短的線是彎曲的，比如作為地球測地線的大弧或大圓。也許光線彎曲意味著，引力使光線通過的空間結構發生了彎曲。被引力彎曲的空間區域中的最短路徑或許迥異于歐幾里得幾何學中的直線。這意味著，描述引力場及其帶來的效應需要一種新的幾何學。而這是愛因斯坦的知識盲區。

愛因斯坦在布拉格雖然有很高的地位和收入，但不適應這里的人際關系和文化。1912年7月，愛因斯坦在沒走完離職手續的情況離開了布拉格，又回到了自己熟悉的蘇黎世，到他的母校蘇黎世聯邦理工學院任教授。

愛因斯坦回到蘇黎世后，立即拜訪大學時的同學、現在的同事格羅斯曼。格羅斯曼是數學教授。

格羅斯曼·馬塞爾（Grossmann Marcell，1878年4月9日—1936年9月7日），匈牙利裔瑞士數學家。

格羅斯曼是愛因斯坦人生的貴人，曾借給愛因斯坦筆記以通過大學期末考試，還動用自家關系幫助愛因斯坦找到專利局的工作。現在，愛因斯坦又要求格羅斯曼提供數學方面的幫助。

格羅斯曼沒有讓愛因斯坦失望。格羅斯曼對愛因斯坦的問題做了一番思考之后，認識到愛因斯坦需要的數學是黎曼幾何。

從1912年夏天開始，愛因斯坦與格羅斯曼一起合作向著建立新的引力理論的目標前進。

為實現這個目標，愛因斯坦雙管齊下。一方面是“物理方案”，即根據物理學直覺提出要求，并由此找到正確的方程；另一方面是“數學方案”，即運用格羅斯曼建議的張量分析、黎曼幾何等數學方法，試圖根據更加形式化的數學要求導出正確的方程。

愛因斯坦基于數學方案在1912年年底就已經得到了近乎正確的答案，可惜被他錯誤地放棄了，而且一放就是兩年多。

二人基于物理方案提出一種初步的理論，發表于

Zeitschrift für Mathematik und Physik

愛因斯坦和格羅斯曼Entwurf論文單行本封面，署名方式很獨特。

SAIXIANSHENG

1914—1915年：柏林糟糕的新生活

1913年7月11日，德國物理學家普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck）和化學家瓦爾特·能斯特（Walther Hermann Nernst）來到愛因斯坦的辦公室，邀請愛因斯坦去德國任職。二人開出的條件是：增選愛因斯坦為普魯士科學院院士；新建一個物理研究所，愛因斯坦任所長，但不需要處理行政事務；愛因斯坦還會獲得柏林大學教授頭銜，但沒有硬性教學任務。

盡管愛因斯坦非常厭惡德國的社會文化，但這條件太優厚了，無法拒絕。柏林更吸引愛因斯坦的一點是，那里有他的情人愛爾莎·愛因斯坦，他的表姐兼堂姐。

從左至右依次為瓦爾特·赫爾曼·能斯特（1864年6月25日—1941年11月18日，1920年度的諾貝爾化學獎得主）、愛因斯坦、馬克斯·卡爾·恩斯特·路德維希·普朗克（1858年4月23日—1947年10月4日，量子物理創始人之一，1918年度的諾貝爾物理學獎得主），照片拍攝于1931年。

1914年4月，愛因斯坦住進了柏林新居所。

新生活卻陷入混亂的漩渦——他的婚姻危機終于爆發了。

處理離婚讓愛因斯坦筋疲力盡。

1914年7月底8月初，第一次世界大戰爆發。德國陷入對戰爭的狂熱情緒，包括科學家在內的知識分子也普遍支持戰爭，而愛因斯坦激烈地反對戰爭，積極參與反戰運動，發表文章和演講，宣揚和平主義、國際主義、世界聯邦制。

在柏林的學術會議上，德國教授們不太談學術了，都在表達“為什么我們德國人在世界上遭人憎恨”的憤憤情緒。而愛因斯坦卻公然宣稱，德國已經無可救藥，希望被協約國粉碎。

愛因斯坦的政治活動和觀點讓自己在柏林沒有朋友。

他住在公寓里，餓了就吃，困了就睡，有了興致就伏案做自己的研究工作。

SAIXIANSHENG

1915年：雙英競賽

1915年的春天和夏天，愛因斯坦繼續對1913年發表的Entwurf論文做深入思考。

Entwurf論文非常有希望取得成功，因為這篇論文得到的方程滿足能量和動量守恒定律，能夠在靜態弱引力場的情況下轉化為牛頓理論，可惜有著致命的缺點：不滿足等效原理。

到了1915年夏天，愛因斯坦認為自己解決了這一致命問題。

大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862年1月23日—1943年2月14日），德國數學家，是19世紀末和20世紀前期最具影響力的數學家之一，被譽為“現代數學之父”，他將哥廷根大學建設為世界數學和物理研究中心。

1915年6月28日至7月5日，愛因斯坦應希爾伯特的邀請訪問哥廷根大學，作“哥廷根周”學術講座。愛因斯坦做了六次報告，每次兩小時，介紹他的Entwurf論文的結果[11]。愛因斯坦自認為已經說服包括希爾伯特在內的一眾數學家信服了自己的廣義相對論[12]。

希爾伯特聽了愛因斯坦的講座后，被愛因斯坦的理論深深吸引，他決定自己也上手做一做。

三個月后，愛因斯坦的喜悅就消失了，他發現Entwurf論文是錯誤的，自己并沒有解決不滿足等效原理的問題。

愛因斯坦果斷將Entwurf論文拋棄，重新撿起1912年放下的數學方案。

1915年11月，愛因斯坦開始了四個星期不知疲倦的瘋狂工作。他在普魯士科學院11月份的“周四講座（Donnerstags-sitzungen）”上報告自己的新進展。11月4日，愛因斯坦做第一場報告，講自己過去四年的失敗探索，即Entwurf論文。

愛因斯坦風聞希爾伯特也看出來了Entwurf論文的問題，便將11月4日的論文寄給了希爾伯特一份，以宣示自己的優先權。

11月11日，愛因斯坦講自己的新思路，依然進展不大。愛因斯坦同樣將論文寄給希爾伯特一份。

11月13日，愛因斯坦收到了希爾伯特的回信，上面說對于愛因斯坦的“大問題”，自己已經有了解決方案，將在哥廷根做個相關報告，請愛因斯坦于到哥廷根一起聽一聽。信中還說自己的方案與愛因斯坦的做法完全不同。愛因斯坦閱后，非常不安。

11月15日，愛因斯坦給希爾伯特回信說自己胃疼和疲憊無法去哥廷根，請寄給自己一份論文。

11月18日，愛因斯坦給出牛頓物理無法解釋的水星在近日點的反常運動的新解釋，以及太陽彎曲光線的定量計算。

同日，愛因斯坦收到希爾伯特寄來的論文。愛因斯坦給希爾伯特回信，稱非常驚訝希爾伯特所得方程與自己的方程完全一致（注：希爾伯特寄給愛因斯坦的信和論文已遺失，這里所說的方程具體是什么方程尚未被科學史家考證清楚）。愛因斯坦在信中明確自己的優先權。希爾伯特回信，表示承認愛因斯坦的優先權。

11月20日，希爾伯特在哥廷根宣講了他的引力理論。

11月25日，愛因斯坦在柏林宣講他的引力理論。愛因斯坦得到了正確的引力場方程。

是不是希爾伯特比愛因斯坦早五天得到了廣義相對論？

這個問題一度成了物理學史的重要問題，這個問題現在已經梳理地很清楚了。請參閱旅美科學作家盧昌海的分析[13]。

盧昌海的著作《小樓與大師》有一章細致分析了希爾伯特與愛因斯坦在廣義相對論方面的競爭。

希爾伯特的論文給出了引力理論的作用量，并沒有給出引力場方程。以現在的觀點看，從作用量得出引力場方程是一件很簡單的事，一個物理系的普通研究生就能做到，但對于當時的探索者而言，絕非如此簡單。希爾伯特給出的作用量現在稱為愛因斯坦-希爾伯特作用量[14]。建立廣義相對論的榮譽只屬于愛因斯坦，這一點希爾伯特本人也是承認的。

希爾伯特與愛因斯坦激烈競爭的日子里，愛因斯坦表現出對優先權的敏感，導致二人心生芥蒂，但二人很快冰釋前嫌。

1915年12月，希爾伯特提名愛因斯坦為哥廷根數學會通訊會士，愛因斯坦給希爾伯特的致謝信中說：

“我覺得有必要跟您說一件對我來說比這更重要的事情。我們之間近來有著某種我不愿分析其原因的不良感覺。我一直在努力抵御這種感覺帶來的苦澀，并取得了完全的成功。我已在心中恢復了與您的往日友誼，并希望您也這樣待我。兩個已在一定程度上將自己從這個骯臟世界中解脫出來的真正的研究者若不能彼此欣賞，那將是一種真正的恥辱。”

SAIXIANSHENG

結語

1915年，36歲的愛因斯坦創立了廣義相對論，繼26歲創立狹義相對論后，再一次徹底改變了我們對宇宙的認知。時空不再僅僅是物體和事件的容器，時空是有結構的，是彈性的，是動態的，其性質既受物質運動的影響，又反過來影響物質的運動——就像蹦床會隨著人的跳動而變形，而蹦床的變形又會決定人的運動。

愛因斯坦創立廣義相對論的關鍵時期，他的婚姻和家庭破裂了，戰火肆虐歐洲，與最卓越的數學家展開競爭。當最終抵達目的地，他感到無比的快樂。1915年12月10日，他給一位朋友的信中說：“最宏大的夢想如今已得以實現。……”[15]

信的最后署名為：

“來自心滿意足但筋疲力盡的阿爾伯特”。

正文參考資料：（上下滑動可瀏覽）

[1] https://www.mpg.de/9695595/einstein-in-berlin

[2] https://einstein-annalen.mpiwg-berlin.mpg.de/annalen/chronological/1906

[3] https://einstein-annalen.mpiwg-berlin.mpg.de/annalen/chronological/1907

[4]https://assets.press.princeton.edu/books/einstein11/chronology.pdf

[5]Weinstein, G. (2015). Einstein's pathway to the special theory of relativity. Cambridge Scholars Publishing. https://physics.sharif.edu/~gr/ref/Einstein%20Pathway%20to%20EP-1208.5137.pdf

[6] https://www.uniaktuell.unibe.ch/2016/die_einstein_faelschung/index_eng.html

[7] https://erenow.org/biographies/einsteinhislifeanduniverse/8.php

[8] [美]菲利普·弗蘭克：《愛因斯坦傳》，譯者：武璐娜，臺海出版社，2022年版.

[9] Einstein, A. (1911). über den Einflu? der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. Annalen der Physik, 35(10), 898-908.https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.19113401005

[10] Einstein, A., & Grossmann, M. (1913). Outline of a generalized theory of relativity and of a theory of gravitation. I. Physical part by A. Einstein II. Mathematical part by M. Grossmann. Z. Math. Phys, 62, 225-245.英文版：https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teaching/GR&Grav_2007/pdf/Einstein_Entwurf_1913.pdf

[11] 盧昌海：《小樓與大師》，清華大學出版社，2014年出版。

[12]https://erenow.org/biographies/einsteinhislifeanduniverse/10.php

[13] 盧昌海（2019年8月26日）.希爾伯特與廣義相對論場方程. 鏈接：https://www.changhai.org/articles/science/physics/Hilbert_and_GR.php（2025年11月26日檢索）

[14] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%88%B1%E5%9B%A0%E6%96%AF%E5%9D%A6-%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E4%BD%9C%E7%94%A8%E9%87%8F

[15] Meeriam, A. (2024).The Bond that Shaped Einstein — The Influence of Besso. https://medium.com/@Merrysci/the-bond-that-shaped-einstein-the-influence-of-besso-215ac226ab99

其他參考資料：（上下滑動可瀏覽）

1.愛因斯坦建立廣義相對論的原始論文與解讀：M. Janssen, J. Renn, How Einstein Found His Field Equations: Sources and Interpretation, Springer, 2022

2. 愛因斯坦傳，沃爾特·艾薩克森著，張卜天譯，湖南科學技術出版社，2015.

3. 上帝難以捉摸：愛因斯坦的科學與生平，亞伯拉罕·派斯著，方在慶, 李勇譯，商務印書館，2017.

4. 愛因斯坦如何建立廣義相對論的更技術性討論，可參考：Physics Today, 2015, 68, 30

5. 希爾伯特與愛因斯坦關于廣義相對論的優先權爭議分析，可參考：盧昌海，小樓與大師，清華大學出版社，2014.

6. Todorov, I. T., arXiv preprint: physics/0504179

本文轉載自《賽先生》微信公眾號

《物理》50年精選文章