AI賦能數(shù)學(xué)研究

作者：陳小楊

半個多世紀以來，數(shù)學(xué)家已能借助計算機進行輔助計算或驗證命題，但仍不滿足于此，如今的AI或許能更上層樓，挑戰(zhàn)那些人類長年未解的難題。這將對數(shù)學(xué)、科學(xué)乃至人類社會產(chǎn)生深遠的影響。本文回顧了歷史，闡述了當下的發(fā)展狀況，并對未來做出了激動人心的展望。

數(shù)學(xué)，這門探索宇宙真理的語言，正經(jīng)歷一場前所未有的變革。自20世紀中葉計算機誕生以來，人類就一直夢想讓機器參與數(shù)學(xué)研究。從早期的符號計算到今天的深度學(xué)習(xí)，人工智能（AI）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)從簡單的輔助工具發(fā)展為能夠發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、證明定理甚至挑戰(zhàn)猜想的“研究伙伴”。本文將帶您了解AI與數(shù)學(xué)交織的精彩歷程，探索當前最前沿的應(yīng)用，并展望這一領(lǐng)域令人振奮的未來。

從機器證明到深度學(xué)習(xí)

機器證明的發(fā)展歷程

機器證明的歷史可以追溯到17世紀萊布尼茨的“推理演算”構(gòu)想，但直到20世紀計算機技術(shù)發(fā)展后才真正實現(xiàn)突破。1950年代，人工智能先驅(qū)紐厄爾（A. Newell）等人首次嘗試用計算機程序證明數(shù)學(xué)定理。而1976年，數(shù)學(xué)家借助計算機完成了四色定理的證明，這一里程碑事件引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注。四色定理的證明需要的窮舉分析遠超人類手工處理的能力范圍，這一成功案例充分展示了計算機在解決超大規(guī)模數(shù)學(xué)問題中的獨特價值。

機器證明的發(fā)展經(jīng)歷了幾個重要階段：從早期的窮舉法證明，到吳文俊的代數(shù)化方法，再到后來的自動推理和交互式證明系統(tǒng)。隨著計算機性能的指數(shù)級提升，機器證明的能力也在不斷增強。現(xiàn)代證明輔助系統(tǒng)如Coq、Isabelle等，不僅能驗證一些數(shù)學(xué)猜想的正確性，還能幫助數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)證明思路。特別值得一提的是，這些系統(tǒng)采用形式化驗證方法，可以確保證明的絕對嚴謹性，避免了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)證明中可能存在的疏漏。

吳文俊先生與機器證明

機器證明的價值不僅體現(xiàn)在提高數(shù)學(xué)研究效率上，更深刻地改變了數(shù)學(xué)研究的思維方式。它突破了人類認知的局限性，能夠處理極其復(fù)雜的計算和推理過程；同時它也促進了數(shù)學(xué)的嚴格化發(fā)展，使數(shù)學(xué)證明變得更加可靠和可驗證。未來隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，機器證明必將在數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮更加重要的作用。

深度學(xué)習(xí)革命

在現(xiàn)代人工智能的發(fā)展中，深度學(xué)習(xí)十分耀眼。深度學(xué)習(xí)作為機器學(xué)習(xí)的重要分支，其發(fā)展歷程可追溯至1940年代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概念的提出，但真正迎來爆發(fā)式發(fā)展是在2010年后。這一技術(shù)革命的核心在于通過構(gòu)建多層非線性變換的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，使計算機獲得了前所未有的特征學(xué)習(xí)和模式識別能力。2012年AlexNet在ImageNet競賽中的突破性表現(xiàn)，標志著深度學(xué)習(xí)時代的正式來臨。隨后，隨著算力的提升、算法的優(yōu)化和大數(shù)據(jù)的積累，深度學(xué)習(xí)在計算機視覺、自然語言處理等領(lǐng)域取得了一系列令人矚目的成就。

在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，深度學(xué)習(xí)的價值主要體現(xiàn)在三個關(guān)鍵維度。在發(fā)現(xiàn)新數(shù)學(xué)規(guī)律方面，深度學(xué)習(xí)展現(xiàn)了驚人的潛力。2021年DeepMind團隊在《自然》發(fā)表的研究中，通過圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析紐結(jié)理論中的不變量，發(fā)現(xiàn)了人類數(shù)學(xué)家長期未能察覺的數(shù)學(xué)聯(lián)系。

在數(shù)學(xué)證明驗證方面，深度學(xué)習(xí)與形式化證明系統(tǒng)的結(jié)合開創(chuàng)了新局面。通過將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與符號推理相結(jié)合，AI系統(tǒng)能夠輔助完成復(fù)雜的證明過程。例如在多項式時間可解性問題的證明中，AI可以自動完成大量中間引理的證明工作，顯著提升了證明效率。這種“神經(jīng)-符號”系統(tǒng)既保留了嚴格的邏輯性，又具備了強大的模式識別能力。

在識別數(shù)學(xué)規(guī)律局限性方面，深度學(xué)習(xí)同樣表現(xiàn)出色。通過強化學(xué)習(xí)算法，AI系統(tǒng)能夠在巨大的組合空間中高效搜索潛在的反例結(jié)構(gòu)。在圖論領(lǐng)域，這種方法已經(jīng)成功構(gòu)造了多個著名猜想的反例。

深度學(xué)習(xí)的獨特價值在于它突破了人類思維的固有局限。它能夠處理人類難以駕馭的高維數(shù)據(jù)空間，發(fā)現(xiàn)非直觀的數(shù)學(xué)模式，并在證明和反例構(gòu)造中提供新的思路。隨著神經(jīng)符號系統(tǒng)等新技術(shù)的發(fā)展，深度學(xué)習(xí)正在推動數(shù)學(xué)研究進入人機協(xié)同的新時代。這項技術(shù)不僅提高了研究效率，更重要的是拓展了人類對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，為這一最古老學(xué)科注入了嶄新的活力。

深度學(xué)習(xí)（多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）

AI如何輔助數(shù)學(xué)研究？

數(shù)學(xué)研究作為一個系統(tǒng)性的認知活動，主要包括三個核心環(huán)節(jié)：發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)規(guī)律、驗證這些規(guī)律的正確性（證明），以及識別其局限性（構(gòu)造反例）。近年來，人工智能技術(shù)在這三個關(guān)鍵領(lǐng)域都展現(xiàn)出強大的輔助能力，正在深刻改變數(shù)學(xué)研究的范式。

AI發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

2021年，DeepMind團隊在《自然》雜志發(fā)表突破性成果，他們開發(fā)的AI系統(tǒng)能夠幫助數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)紐結(jié)不變量之間的新聯(lián)系。這項研究證明，AI可以引導(dǎo)數(shù)學(xué)家的直覺，發(fā)現(xiàn)人類可能忽略的數(shù)學(xué)聯(lián)系。

紐結(jié)（knot）是三維空間中的閉合曲線，數(shù)學(xué)家通常用瓊斯多項式（Jones polynomial）、雙曲體積（hyperbolic volume）等不變量來描述其性質(zhì)。DeepMind將紐結(jié)的代數(shù)不變量和幾何不變量編碼為高維向量，并利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN）學(xué)習(xí)它們之間的潛在關(guān)系，即學(xué)習(xí)如何從一種不變量（如瓊斯多項式）預(yù)測另一種不變量（如雙曲體積）。數(shù)學(xué)家基于AI的預(yù)測，進一步構(gòu)建了嚴格的數(shù)學(xué)證明，最終在紐結(jié)理論中發(fā)現(xiàn)了不變量之間的新聯(lián)系。

非平凡紐結(jié)

在另一項發(fā)表在《自然》的論文里，DeepMind利用深度強化學(xué)習(xí)（Deep Reinforcement Learning, DRL）發(fā)現(xiàn)了更高效的矩陣乘法算法，突破了人類數(shù)學(xué)家在該領(lǐng)域的最佳紀錄。這一成果展示了AI如何通過自主探索發(fā)現(xiàn)人類未曾想到的數(shù)學(xué)優(yōu)化策略。矩陣乘法是計算機科學(xué)和數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)運算，傳統(tǒng)算法（如Strassen算法）已經(jīng)優(yōu)化了數(shù)十年。對于兩個n×n矩陣相乘，標準方法需要O(n3)次標量乘法。DeepMind的目標是找到更少的乘法組合，從而降低計算復(fù)雜度。DeepMind采用AlphaTensor（基于AlphaZero的改進模型），其核心組件包括：

狀態(tài)表示（State Representation）

將矩陣乘法問題編碼為三維張量（Tensor），每個元素代表可能的乘法組合。

例如，（2×2）矩陣乘法可表示為（4×4×4）張量，其中每個維度對應(yīng)輸入/輸出矩陣的元素。

動作空間（Action Space）

每一步動作對應(yīng)一個基本乘法操作（如標量乘加）。

AI的目標是通過一系列動作分解張量，找到最少的乘法步驟。

獎勵函數(shù)（Reward Function）

主要優(yōu)化目標：減少乘法次數(shù)（即張量分解的秩）。

額外獎勵：發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化模式（如對稱性），以便推廣到更大矩陣。

通過將蒙特卡洛樹搜索（MCTS）與深度學(xué)習(xí)結(jié)合，DeepMind最終發(fā)現(xiàn)了更高效的矩陣乘法算法。

AI自動證明定理

現(xiàn)代人工智能系統(tǒng)在數(shù)學(xué)證明領(lǐng)域取得了顯著進展，其技術(shù)實現(xiàn)主要體現(xiàn)在兩個重要方向：奧林匹克級幾何題求解和形式化數(shù)學(xué)證明。這些突破性進展展示了AI在數(shù)學(xué)推理方面的強大能力。

在幾何證明方面，DeepMind開發(fā)的AlphaGeometry系統(tǒng)代表了當前最先進的技術(shù)水平。該系統(tǒng)采用神經(jīng)符號混合架構(gòu)，結(jié)合了神經(jīng)語言模型的模式識別能力和符號引擎的邏輯推理能力。具體而言，AlphaGeometry首先分析幾何圖形，生成潛在的輔助構(gòu)造點（如中點、垂足等）。然后，符號推理引擎會將這些構(gòu)造點納入演繹數(shù)據(jù)庫，應(yīng)用幾何公理和定理進行嚴格的邏輯推導(dǎo)。系統(tǒng)在訓(xùn)練過程中使用了超過1億個合成幾何問題，這些問題通過隨機定理生成算法創(chuàng)建，確保了訓(xùn)練數(shù)據(jù)的多樣性和復(fù)雜性。值得注意的是，AlphaGeometry完全不需要人類提供的示范證明，僅通過自主探索就能達到國際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌得主的水平。在2023年的測試中，該系統(tǒng)解決了30道選中的IMO幾何題中的25道，平均解題時間僅為10分鐘。

在形式化證明領(lǐng)域，以Lean證明助手為代表的AI系統(tǒng)展現(xiàn)了另一條技術(shù)路徑。這類系統(tǒng)基于依賴類型理論，將數(shù)學(xué)陳述轉(zhuǎn)化為形式化的代碼表述。AI組件通過以下方式提升證明效率：首先，使用預(yù)訓(xùn)練的語言模型（如GPT-f）理解數(shù)學(xué)命題的語義，生成可能的證明策略建議；其次，應(yīng)用強化學(xué)習(xí)算法優(yōu)化證明搜索過程，通過價值網(wǎng)絡(luò)評估不同證明路徑的成功概率；最后，集成自動化定理證明技術(shù)來填補證明細節(jié)。例如，在多項式時間可解性問題的證明中，AI輔助的Lean系統(tǒng)能夠自動完成約60%的中間引理證明，將原本需要數(shù)周的人工驗證工作縮短到幾天內(nèi)完成。

這些AI系統(tǒng)的核心技術(shù)突破在于：①將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的直覺能力與符號系統(tǒng)的嚴格推理相結(jié)合；②開發(fā)了高效的數(shù)學(xué)表示學(xué)習(xí)方法，使AI能夠理解抽象數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)關(guān)系；③構(gòu)建了大規(guī)模的數(shù)學(xué)問題數(shù)據(jù)集來訓(xùn)練和驗證系統(tǒng)性能。當前的研究重點正在向更復(fù)雜的數(shù)學(xué)領(lǐng)域拓展，預(yù)示著AI將成為數(shù)學(xué)研究不可或缺的智能助手。

AlphaGeometry解決IMO幾何題

AI構(gòu)造猜想反例

近年來，強化學(xué)習(xí)算法在圖論領(lǐng)域取得了突破性進展，特別是在構(gòu)造組合數(shù)學(xué)猜想反例方面展現(xiàn)出獨特優(yōu)勢。這種方法通過精心設(shè)計的算法框架，能夠在巨大的組合可能性空間中高效地搜索潛在的反例結(jié)構(gòu)，其核心技術(shù)主要包括：

問題建模與狀態(tài)表示

首先將圖論問題轉(zhuǎn)化為適合機器學(xué)習(xí)的形式。對于圖論猜想，狀態(tài)空間通常表示為圖的鄰接矩陣或特征向量。例如，在構(gòu)造反例時，系統(tǒng)會初始化一個n個頂點的圖，其中每個可能的邊都作為一個獨立的決策變量。

強化學(xué)習(xí)框架設(shè)計

采用強化學(xué)習(xí)算法，其中：

1.動作空間：包括添加/刪除邊、改變頂點屬性等圖修改操作。

2.獎勵函數(shù)：精心設(shè)計為多目標優(yōu)化形式，包含：

(1)主要獎勵：違反目標猜想的程度（如違反某個不等式的大小），

(2)輔助獎勵：保持圖的其他性質(zhì)（如連通性、正則性等）。

3.懲罰項：控制圖的復(fù)雜度（如邊數(shù)、頂點數(shù)）。

強化學(xué)習(xí)構(gòu)造圖論猜想反例

通過強化學(xué)習(xí)，AI成功構(gòu)造了多個著名猜想的反例，展示了AI在探索數(shù)學(xué)問題上的獨特優(yōu)勢。

大模型時代的數(shù)學(xué)革命

數(shù)學(xué)，這門探索宇宙真理的古老學(xué)科，正在經(jīng)歷一場由人工智能大模型帶來的深刻變革。從ChatGPT到AlphaGeometry，這些擁有數(shù)百億參數(shù)的人工智能系統(tǒng)不僅改變了數(shù)學(xué)研究的方式，更在重新定義數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)。這場變革的核心在于，人工智能正在突破人類認知的局限，以前所未有的方式整合數(shù)學(xué)知識、發(fā)現(xiàn)隱藏模式，并創(chuàng)造性地解決開放性問題。這種轉(zhuǎn)變不僅提高了數(shù)學(xué)研究的效率，更重要的是拓展了數(shù)學(xué)探索的疆界，為這門最嚴謹?shù)目茖W(xué)注入了新的活力。

在知識整合方面，人工智能大模型正在成為打破學(xué)科壁壘的“超級助手”。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究面臨的一個主要挑戰(zhàn)是學(xué)科的高度專業(yè)化。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，各個分支領(lǐng)域變得越來越精深，一個領(lǐng)域的專家可能對相鄰領(lǐng)域的進展知之甚少，而這種知識割裂常常阻礙重大突破的產(chǎn)生。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特曾指出：“數(shù)學(xué)是一個有機整體，它的生命力正來自各個部分之間意想不到的聯(lián)系。”然而，在實踐層面，發(fā)現(xiàn)這些聯(lián)系往往需要研究者具備罕見的廣博學(xué)識和非凡的洞察力。

大語言模型通過其海量的知識儲備和強大的關(guān)聯(lián)能力，正在改變這一局面。以GPT-4為代表的大模型可以即時調(diào)用數(shù)萬篇數(shù)學(xué)論文的知識，建立跨領(lǐng)域的知識圖譜，發(fā)現(xiàn)不同分支間的深層聯(lián)系。例如，當研究者研究代數(shù)幾何中的某個難題時，AI可能提示“這個結(jié)構(gòu)與拓撲學(xué)中的同調(diào)理論有驚人的相似性”；或者在研究數(shù)論問題時指出：“這個猜想與量子計算中的相位估計算法存在對應(yīng)關(guān)系。”這種跨學(xué)科的聯(lián)想能力，在過去需要數(shù)學(xué)家數(shù)十年的廣泛閱讀和深入思考才能獲得，現(xiàn)在則可以通過AI的輔助在短時間內(nèi)實現(xiàn)。

DeepMind開發(fā)的FunSearch系統(tǒng)生動展示了這種知識整合的威力。該系統(tǒng)通過巧妙結(jié)合大型語言模型的創(chuàng)造性思維和評估代碼的精確驗證，在組合數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)了新的上限構(gòu)造，解決了開放多年的帽集問題。這一突破性進展的關(guān)鍵在于，AI能夠自由地在離散數(shù)學(xué)、算法設(shè)計和信息理論等看似不相關(guān)的領(lǐng)域間建立連接，發(fā)現(xiàn)人類研究者可能忽略的關(guān)聯(lián)模式。正如該項目的首席研究員所說：“AI在這里扮演的不是計算器的角色，而更像是一個具有跨學(xué)科視野的合作者，它能夠從完全不同的角度審視問題。” 這種知識整合的價值不僅體現(xiàn)在具體問題的解決上，更重要的是它正在改變數(shù)學(xué)研究的范式。首先，AI輔助可以大大縮短數(shù)學(xué)家的“學(xué)習(xí)曲線”，使研究者能夠快速掌握相關(guān)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識；其次，它能夠揭示不同數(shù)學(xué)分支之間的“隱藏橋梁”，為新的研究方向提供線索；最后，這種跨領(lǐng)域的知識融合往往能催生全新的數(shù)學(xué)工具和方法，推動學(xué)科的創(chuàng)新發(fā)展。

展望未來，隨著多模態(tài)大模型的發(fā)展，AI在數(shù)學(xué)知識整合方面的能力還將持續(xù)增強。可以預(yù)見，下一代數(shù)學(xué)研究AI將不僅能處理文本形式的數(shù)學(xué)知識，還能理解圖表、公式、證明過程等多元信息，實現(xiàn)更深入的知識融合。這將進一步降低學(xué)科間的交流壁壘，加速數(shù)學(xué)的整體進步，或許會幫助我們解決那些長期懸而未決的數(shù)學(xué)難題，如黎曼猜想或納維-斯托克斯方程的存在性問題。在這個意義上，人工智能不僅是一個研究工具，更是一個拓展人類數(shù)學(xué)認知邊界的“思維伙伴”。

AI能夠創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)嗎？

創(chuàng)造性思維是人類智慧皇冠上最耀眼的明珠。從歐幾里得的公理化體系到高斯的微分幾何，從黎曼的復(fù)變函數(shù)到格羅滕迪克的概形理論，數(shù)學(xué)史上的每一次重大突破都閃耀著創(chuàng)造性思維的光芒。這種思維究竟包含哪些關(guān)鍵要素？當前的人工智能又為何難以企及？

真正的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維至少包含三個相互關(guān)聯(lián)的層面。

概念抽象能力是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基石。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家能從具體問題中抽離出本質(zhì)特征，形成新的數(shù)學(xué)概念。比如歐拉看到柯尼斯堡七橋問題時，沒有停留在具體的橋與河，而是抽象出拓撲的基本概念。這種從具體到抽象的飛躍，需要深刻的直覺洞察力。

類比遷移能力使數(shù)學(xué)思想在不同領(lǐng)域間流動。19世紀，黎曼將高斯曲面理論的思想遷移到復(fù)變函數(shù)研究，開創(chuàng)了黎曼曲面理論。這種跨領(lǐng)域的聯(lián)想能力，依賴于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻理解，而非表面特征的簡單對應(yīng)。

構(gòu)建全新的數(shù)學(xué)理論是最高級的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。格羅滕迪克在代數(shù)幾何中建立的概形理論，不僅解決具體問題，更構(gòu)建了全新的理論框架。這種體系化的創(chuàng)造需要宏觀的數(shù)學(xué)視野和嚴謹?shù)倪壿嬎季S相結(jié)合。

然而，當前的人工智能，尤其是基于深度學(xué)習(xí)的大模型，在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性方面存在結(jié)構(gòu)性缺陷：①缺乏真正的概念抽象，AI可以通過模式識別發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的規(guī)律，但無法自主形成具有數(shù)學(xué)意義的新概念，AI的“發(fā)現(xiàn)”停留在操作層面，無法上升為概念層面；②類比流于表面，大語言模型雖然能建立跨領(lǐng)域聯(lián)系，但這些聯(lián)系往往基于表面對應(yīng)而非深層結(jié)構(gòu)，當被要求將數(shù)論問題與拓撲學(xué)建立聯(lián)系時，AI可能給出形式上的類比，但難以把握兩者內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；③體系建構(gòu)能力缺失，現(xiàn)有的AI系統(tǒng)擅長解決定義明確的問題，但無法自主構(gòu)建新的數(shù)學(xué)理論體系，它們能證明特定定理，卻提不出類似范疇論這樣的全新數(shù)學(xué)框架，這種體系化創(chuàng)造需要整體性的數(shù)學(xué)觀，而這恰恰是AI最欠缺的。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的本質(zhì)，在于將直覺的飛躍與邏輯的嚴謹完美結(jié)合。當前AI還無法復(fù)制人類數(shù)學(xué)家那種“靈感乍現(xiàn)”的創(chuàng)造過程。研究數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維不僅關(guān)乎數(shù)學(xué)發(fā)展本身，也是推動人工智能向更高層次進化的重要途徑。

從吳文俊的機器證明到今天的AlphaGeometry，AI與數(shù)學(xué)的融合正在創(chuàng)造新的研究范式。雖然AI目前還無法完全替代數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造力和洞察力，但它已經(jīng)成為不可或缺的研究伙伴。未來，隨著技術(shù)的進步，我們或許將見證AI提出全新的數(shù)學(xué)理論，開啟數(shù)學(xué)研究的新紀元。在這個人機協(xié)作的新時代，數(shù)學(xué)的發(fā)展將不再受限于個人智慧，而是由人類與AI共同推動。這場變革不僅會改變數(shù)學(xué)研究的方式，更可能幫助我們揭開宇宙更深層的數(shù)學(xué)奧秘。

陳小楊：長聘副教授，同濟大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092。

Chen Xiaoyang: Tenured Associate Professor, School of Mathematical Sciences, Tongji University, Shanghai 200092.

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關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) AI DeepMind■

本文刊載于2025年第77卷第5期《科學(xué)》雜志（P35-P39）

本文轉(zhuǎn)載自《科學(xué)雜志1915》微信公眾號

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