弦理論喚醒一個沉寂半世紀的數學難題，引全球數學家關注

多年前，一位敢于冒險的菲爾茲獎得主馬克西姆·孔采維奇提出了一個廣泛的計劃——同調鏡像對稱，他聲稱可以用來解決代數幾何中的一個重大問題。但也有其他數學家持懷疑態度?，F在，他說已得到一個證明。

撰文 | Joseph Howlett

翻譯 | zzllrr小樂

圖源：Kristina Armitage / Quanta Magazine

今年8月，一個數學家團隊發表了一篇論文，聲稱用完全陌生的技術解決了代數幾何中的一個重大問題。它立刻吸引了整個領域的注意，一些數學家對此頗為興奮，但也有人持懷疑態度。

這項研究結果涉及多項式方程，即含有變量冪次組合的方程（如 y = x 或 x^2 ? 3xy = z^2）。這類方程是數學中最簡單且最普遍的，至今仍是許多研究領域的基礎。因此，數學家希望研究它們的解，而這些解可以用幾何形狀表示，比如曲線、曲面和被稱為流形（manifold）的高維對象。

數學家想要馴服的多項式方程類型有無數種。但它們都可以歸入兩大類——一類的解可以通過簡單公式直接計算，另一類則擁有更為豐富、復雜的結構。第二類正是數學精華所在——數學家希望集中注意力，以期取得重大進展。

然而，數學家們在將幾種多項式分類到“簡單”和“困難”之后，陷入了困境。在過去半個世紀里，即使是看起來相對簡單的多項式也難以分類。

就在今年夏天，新的證明出現了[1]。它聲稱結束了僵局，提出了一個令人著迷的愿景，有望對大量此前看似完全無法觸及的多項式進行分類。

問題在于，代數幾何界沒有人真正理解它。至少，現在還沒有。該證明依賴于從弦理論世界引入的思想，其技術對致力于多項式分類的數學家來說完全陌生。

一些研究者信任論文作者之一、菲爾茲獎得主馬克西姆·孔采維奇（Maxim Kontsevich，又譯馬克西姆·康采維奇）的聲譽。但孔采維奇以大膽斷言著稱，這讓另一些人感到猶豫。世界各地的數學系紛紛成立研讀小組，解讀這一開創性的成果，并緩解了緊張氣氛。

這項評審可能需要數年時間。但這也為一個曾經停滯的研究領域重新燃起了希望。同時，這也標志著孔采維奇數十年來倡導的更宏大的數學項目取得了早期勝利——他希望該項目能搭建代數、幾何與物理之間的橋梁。

米蘭大學數學家保羅·斯特拉里（Paolo Stellari，他未參與該工作）表示：“普遍的看法是，我們可能正在研究未來的數學作品?！?/p>

有理化處理

分類所有多項式的努力涉及最古老的數學形式：求解方程。例如，要求解簡單多項式 y = 2x，只需找到滿足該方程的 x 和 y 的值。該方程有無限多解，例如 x = 1，y = 2。當你在坐標平面上繪制所有解時，會得到一條直線。

其他多項式更難直接求解，其解會在空間刻畫出中更復雜、更高維的形狀。

但對于其中一些方程，實際上存在一種非常簡單的方法來找到所有可能的解。你不必分別給每個變量代入不同的數字，而是通過用新變量 t 來重寫變量，一次性得到所有解。

考慮多項式 x^2 + y^2 = 1，它定義了一個圓?，F在令 x = 2t/(1 + t^2)，y =(1 ? t^2)/(1 + t^2)。當你把這些新公式代入原來的方程時，得到 1 = 1，無論 t 是多少，這一命題都始終成立。這意味著選擇任意實數值，你就能立即得到原始多項式的解。例如，當 t = 1 時，得到 x = 2×1/(1 + 1^2） = 1，y = 0。 確實，x = 1， y = 0 是原始方程的解：1^2 + 0^2 = 1。

這種簡單地框住所有解的方法稱為有理參數化（rational parameterization）。它相當于將你原始多項式圖上的每個點——在這里是圓——映射到直線上的唯一一點。

選擇圓上的一個點（藍色）。你要把它映射到黃色直線上的唯一一點。為此，在圓頂的綠色點和你選定的藍色點之間畫一條虛線，然后將藍色點映射到虛線經過的黃色點。你可以對圓上的任意一點這樣做。（圓頂的綠色點映射到無窮遠處的一個特殊黃色點。）丨圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

任何次數為1的多項式方程，也就是各項冪次最多為1，都可以這樣參數化。方程有多少變量其實無關緊要：它可能有兩個變量，也可能有200個。一旦超過兩個變量，多項式方程的解將形成復雜的高維形狀。但由于多項式仍然可以參數化，所以有辦法將高維形狀中的每個點映射到一個維數相同、卻特別簡單的空間點（比如直線）。這反過來又提供了一種直接計算多項式解的方法。

類似地，任何次數為2的多項式（各項冪次最高為2）都可以有理參數化。

但如果方程的次數是3或更多，則不一定能被參數化。這取決于方程中有多少變量。

以典型的三次多項式為例：橢圓曲線，例如y^2=x^3+1，只有兩個變量?！皺E圓曲線很美妙，很精彩，但你根本無法參數化它們，”布朗大學的布倫丹·哈塞特（Brendan Hassett）說。沒有簡單的公式能給出橢圓曲線的所有解，所以無法將曲線映射到直線。“如果可以的話，它們就沒那么有趣了，”哈塞特說。

與之前的例子不同，虛線有時會將橢圓曲線上的兩個不同點（藍色）映射到下面黃色線上的同一點。你找不到能避免這種情況的映射，這意味著橢圓曲線的解集比圓或球面更復雜。

取而代之的是，橢圓曲線的解擁有更豐富的結構——這個結構幾個世紀以來都在數論中起到重要作用，密碼學家也利用它來編碼秘密信息。

那么，含有更多變量的三次方程呢？它們是否可以參數化，還是說它們的解結構更有趣，就像橢圓曲線那樣？

1866年，德國數學家阿爾弗雷德·克萊布施（Alfred Clebsch）證明了三變量的三次方程——其解形成二維曲面——通常是可參數化的。

一個多世紀后，赫伯特·克萊門斯（Herbert Clemens）和菲利普·格里菲斯（Phillip Griffiths）發表了一項里程碑式的證明，證明大多數四變量的三次方程情況相反——通常無法參數化。這些方程構成了所謂的三維流形（3-folds）[2]：它們的解無法映射到簡單的三維空間。

許多數學家因此猜測，下一個要分類的多項式——五變量的三次方程【形成所謂四維流形】——通常也不會是可參數化的。事實上，他們認為多項式在某個點之后就不應該是可參數化的。但克萊門斯和格里菲斯的技術并不適合四維流形。

因此，幾十年來，分類工作陷入沉寂。

皈依先知

2019年夏天，在莫斯科的一次會議上，當馬克西姆·孔采維奇發表關于4-流形分類的演講時，許多數學家都感到驚訝。

首先，孔采維奇以采用高層次數學方法著稱，喜歡提出雄心勃勃的猜想、勾勒宏大的研究綱領，而將更細微的細節和嚴格的證明寫作留給他人。他在最近的一個項目中，形容自己是介于先知和白日夢者之間的角色。

馬克西姆·孔采維奇更喜歡思考宏觀的數學視野而非個別問題。丨圖源：IHES / Flann Me?rer

在過去三十年里，他專注于發展一種名為同調鏡像對稱（homological mirror symmetry）的項目，其思想根源來自弦理論。在1980年代，弦理論學者希望通過計算高維流形上的曲線數量，以解答宇宙基本結構如何運作的問題。

為了針對給定流形上的曲線計數，他們考慮了其“鏡像”——另一個流形，雖然與原始流形非常不同，但性質上具有密切相關性。特別是，他們發現與鏡像相關聯的代數對象，稱為霍奇結構（Hodge structure），可以揭示原始流形上的曲線數量。反過來也成立：如果你數鏡像上的曲線，你會得到原始流形霍奇結構的信息。

1994年，孔采維奇提出了一個計劃，試圖解釋這種對應的根本原因。他的方案還預測，這種對應關系可以擴展到弦理論之外所有類型的流形。

迄今為止，沒有人知道如何證明孔采維奇的鏡像對稱性計劃?！斑@將是下世紀的數學，”他說。但多年來，他一直在向前邁進，同時也在探索該項目可能帶來的后果。

2002年，孔采維奇的一個朋友，邁阿密大學的盧德米爾·卡察爾科夫（Ludmil Katzarkov）提出了一個可能的結果：該計劃可能與多項式方程的分類相關。

卡察爾科夫十分熟悉克萊門斯和格里菲斯1972年對3-流形不可參數化的證明。在這項工作中，兩人直接研究了一個給定的3-流形的霍奇結構。然后他們用它證明了這個3-流形無法映射到簡單的三維空間。但與4-流形相關的霍奇結構過于復雜，無法用相同的工具進行分析。

卡察爾科夫的想法是，通過計算某一類型曲線在其鏡像上存在多少條曲線，間接地研究4-流形的霍奇結構。通常，研究4-流形霍奇結構的數學家不會像這樣思考曲線計數，因為它們只會出現在看似無關的數學領域，比如弦理論。但如果鏡像對稱性計劃成立，那么鏡像上的曲線數量應當能揭示原始4-流形霍奇結構的特征。

盧德米爾·卡察爾科夫幾十年來一直主張，鏡像對稱這一受物理學啟發的雄心勃勃的數學計劃，是解決代數幾何中一個重大未解問題的關鍵。丨圖源：Natalia Leal

具體而言，卡察爾科夫希望將鏡像的曲線計數拆解成多個部分，然后借助鏡像對稱計劃，證明四折體的霍奇結構也存在一種相應的分解方式。這樣一來，他就可以研究這些“局部”的霍奇結構成分，而非整個結構，從而證明4-流形結構無法參數化。只要其中任何一部門無法映射到簡單的四維空間，他就會得到證明。

但這種推理依賴于孔采維奇鏡像對稱計劃在4-流形成立的假設。卡察爾科夫說：“很明顯這應該是真的，但我沒有技術能力去看清如何實現?！?/p>

不過他認識一個確實有這種能力的人——孔采維奇本人。

然而他的朋友并不感興趣。

挖掘

多年來，卡察爾科夫試圖說服孔采維奇將他的鏡像對稱性研究應用于多項式分類，但未能成功?？撞删S奇想關注整個項目，而非這個具體的問題。直到 2018年，這對組合與賓夕法尼亞大學的托尼·潘德夫（Tony Pantev）一起，研究了另一個問題，涉及將霍奇結構和曲線計數拆解成多個部分。這讓孔采維奇愿意傾聽卡察爾科夫的設想。

卡察爾科夫再次向他講述了自己的想法?？撞删S奇立刻發現了卡察爾科夫長期尋求卻未找到的另一條道路：一種從鏡像對稱中汲取靈感的方法，而不必真正依賴它?！澳慊硕嗄陼r間思考這個問題，答案卻在幾秒鐘內出現，”卡察爾科夫說?！澳钦媸莻€壯觀的時刻?！?/p>

托尼·潘德夫通過將流形置于“數學鏡子”前來研究它們的結構。丨圖源：Felice Macera

孔采維奇認為，應該可以用4-流形自身的曲線計數，而不是其鏡像的計數來拆解霍奇結構。關鍵在于找出一種方式，將這兩者聯系起來，從而得到所需的分解成分。這樣他們就能分別關注霍奇結構的每一部分（或他們所稱之的“原子”）。

這正是孔采維奇在2019年莫斯科會議上向聽眾展示的計劃。對一些數學家來說，這聽起來仿佛嚴謹的證明就在眼前。數學家是一群保守派，通常等待絕對確定性后才提出新觀點。但孔采維奇一直更大膽一些?！八麑ψ约旱挠^點非常開放，非常具有前瞻性，”馬薩諸塞大學波士頓分校的數學家丹尼爾·波梅雷亞諾（ Daniel Pomerleano）說，他研究鏡像對稱性。

但孔采維奇也明確指出，有一個重要因素他們至今仍不知道如何解決：一個公式，用來說明當數學家們試圖將4-流形映射到新空間時，每個原子將如何變化。只有掌握這樣的公式，他們才能證明某個原子永遠不會達到對應于一個恰當“簡化”的4-流形。這意味著4-流形不可參數化，其解豐富且復雜?！暗恢獮楹?，人們覺得他好像已經宣布問題解決了，”波梅雷亞諾說，因此人們期待很快有一個完整證明。

當預期中的證明遲遲沒有出現時，一些數學家開始懷疑他是否真的掌握了解決方案。與此同時，當時在法國國家科學研究中心的余越（Tony Yue Yu）加入了團隊?？撞删S奇表示，余越的新見解和嚴謹的證明風格對該項目至關重要。

據他的同事們說，余越對細節的嚴謹關注以及他提出的新穎見解，在解決有關多項式方程的一個重要問題方面發揮了至關重要的作用。丨圖源：Julia

新冠疫情期間，余越拜訪了法國附近高等科學研究所的孔采維奇。余越回憶，他們享受著荒廢學院的寧靜，常常在講堂里待上幾個小時，那里的黑板更多。

他們定期通過Zoom與潘德夫和卡察爾科夫會面，迅速完成了證明的第一部分，精確地弄明白如何利用給定4-流形上的曲線數量將其霍奇結構分解為原子。但他們很難找到一個公式來描述原子如何變換。

他們不知道的是，一位曾在莫斯科聽過孔采維奇講座的數學家——京都大學的入谷寬（Hiroshi Iritani）——也開始追求這樣的公式?！八晃业牟聹y深深吸引，”孔采維奇說?！拔耶敃r并不知道，但他開始著手工作了?！?/p>

2023年7月，入谷寬證明了一個公式，即“原子”在4-流形映射到新空間時的變化[3]。該公式所提供的信息尚不足以直接滿足孔采維奇及其合作者的需求，但在接下來的兩年里，他們找到了如何完善這些信息的方法。最終，他們用新公式證明，4-流形總會至少有一個“原子”無法變換到簡單的四維空間。4-流形無法參數化。

仍在進行中

當團隊在今年8月發布證明時，許多數學家都感到興奮。這是分類項目數十年來最大的進展，也暗示了一種超越4-流形的多項式方程分類的新方法。

但其他數學家并不那么確定。自莫斯科那場講座已經過去六年?？撞删S奇這一次是否終于兌現了當年的承諾？抑或仍有關鍵細節尚待補全？

當證明的技術如此陌生——是弦理論的領域，而非多項式分類時，他們又如何能消除疑慮？“他們說，'這是黑魔法，這里的機制究竟是什么？'”孔采維奇這樣說道。

“他們突然帶來了全新的方法，使用了之前被廣泛認為與該主題無關的工具，”麻省理工學院的白少云說，“真正了解這個問題的人，并不了解這些工具?！?/p>

白少云是目前幾位試圖彌合這一理解鴻溝的數學家之一。過去幾個月，他共同組織了一場由研究生、博士后研究員和教授組成的“閱讀研討會”，希望能理解這篇新論文。每周，一位不同的數學家會深入探討證明的某個方面，并向整個小組進行講解。

但即使到了現在，經過11次90分鐘的會議，參與者在證明的關鍵細節上仍然感到迷茫。白少云說：“這篇論文包含了精彩的原創思想，需要大量時間來消化。”

類似的研讀小組也在巴黎、北京、韓國等地聚集。“全世界的人們現在都在研究同一篇論文，”斯特拉里說?！斑@本身就是一件很特別的事情。”

哈塞特將其比作格里高利·佩雷爾曼（Grigori Perelman）2003年對龐加萊猜想的證明，后者同樣采用了全新的技術來解決一個著名問題。直到其他數學家用更傳統的工具復現佩雷爾曼的證明后，數學界才真正接受了它。

“會有阻力，”卡察爾科夫說，“但我們做了工作，我相信這是正確的?！彼涂撞删S奇也認為這是鏡像對稱性計劃的一大勝利：盡管距離真正證明該計劃仍有相當距離，但這一結果為其正確性提供了新的、有力的證據。

“我年紀大了，也很累，”卡察爾科夫說?！暗灰疫€活著，我就愿意發展這個理論?！?/p>

參考資料

[1] https://arxiv.org/abs/2508.05105

[2] https://www.jstor.org/stable/1970801

[3] https://arxiv.org/abs/2307.13555

本文經授權轉載自微信公眾號“zzllrr小樂”，原標題“弦理論激發了一個精彩且令人費解的新數學證明（同調鏡像對稱）——量子雜志”有修訂。原文譯自：
https://www.quantamagazine.org/string-theory-inspires-a-brilliant-baffling-new-math-proof-20251212/

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