一項跨越125年的數學難題，如何被他補上最后一環？

2025年，一項困擾數學界125年的難題——希爾伯特第六問題，取得了關鍵性突破。華人數學家、芝加哥大學教授鄧煜與其合作者，通過嚴格的數學推導，首次完成了從微觀粒子系統到玻爾茲曼方程之間長期懸而未決的關鍵證明。這一成果不僅貫通了物理學從微觀到宏觀間的邏輯鏈條，也為鄧煜贏得了2025年世界華人數學家大會金獎。

跨越125年的數學難題

要理解鄧煜的突破，首先要回到1900年。當時，數學大師大衛·希爾伯特提出了23個問題，其中第六問題尤為特殊。它并非像第八問題中哥德巴赫猜想那樣的具體猜想，而是一個為物理學建立公理化基礎的宏大方案。作為這個宏大方案的一個重要實例，希爾伯特提出了一個具體、清晰的數學問題：如何從微觀粒子運動遵循的牛頓定律，嚴格推導出描述流體宏觀運動的流體力學方程？

實現這一目標的關鍵，在于連接微觀與宏觀的“介觀”橋梁玻爾茲曼方程。在鄧煜之前，從介觀到宏觀的路徑已被嚴格建立。而鄧煜團隊的工作，正是攻克了長期缺失的微觀到介觀這一環。他們首次以完全嚴謹的數學方式，完成了從遵循牛頓定律的微觀粒子系統到介觀玻爾茲曼方程的推導。至此，從微觀到介觀再到宏觀的完整邏輯鏈條被徹底打通。

如何理解這項高度抽象的工作？鄧煜給出了一個通俗的比喻：想象數萬億個如“臺球”般永不停止、相互碰撞的微觀粒子，每個都精確遵循牛頓定律，其運動復雜程度近乎無窮。

由于追蹤每個“臺球”的軌跡既不可能也無必要，他們選擇不再追蹤每個粒子的軌跡，而是轉向分析粒子群體的整體統計行為。推導證明，當粒子數量趨于無窮時，這種集體行為會精確地收斂于玻爾茲曼方程所描述的規律。

“這一極限過程的關鍵在于，我們用一個相對簡單的pde（偏微分方程），去描述了一個自由度近乎無窮的復雜系統，”鄧煜解釋道，“這是一個化繁為簡的過程。”

突破是如何完成的

這項始于2023年春、最終匯集為200多頁論文的研究，其核心思路的關鍵突破早在2021年秋天就已萌芽。鄧煜回憶道：“當時我找到了一個大的遞歸框架，它能將復雜的長時間問題分解為一系列短時間問題。”令他沒想到的是，這個在散步中偶然獲得的靈感，成為了破題的重要起點。

然而，后續的探索之路并非一帆風順。“我們一開始甚至不知道這個框架的本質是什么，只是發現它有一種神奇的抵消性。”他坦言，最初的思路甚至是錯的。后來通過與動理學理論學者的深入交流，并基于自身在波動湍流領域的長期觀察，研究才得以轉向正確的路徑。

“當你對一些問題有足夠的了解，直覺和新的想法便會自然浮現，”鄧煜總結道。可以說，這項突破既源于偶然的靈感，也離不開長期積累的數學直覺與開放的學術合作，而這一過程也正是基礎研究的典型縮影。

對于這項基礎研究的實際價值，鄧煜表示，雖然這一難題屬于數學物理范疇，但“物理學家可能從不認為這是個‘問題’，而是早已在實踐中熟練運用流體力學的相關結論。”這項成果的本質在于，從理論層面，以數學的嚴謹性驗證了流體力學理論基礎的可信度，從而為物理學的應用與科技的進一步發展，提供更為堅實的邏輯起點。

當被問及下一個挑戰目標時，鄧煜表示，“我腦子里確實有特別多的問題，哪項最先突破還真不好說。”他習慣于在多個重要問題間并行思考，這一方式深受普林斯頓大學讀博時期一位前輩的啟發：“如果每天能有100個不同的想法，哪怕其中99個都是錯的，但只要有一個對，就能做出一些東西。”

在鄧煜看來，研究需要根據不同階段靈活調整策略，“專注是必要的，但當許多問題還沒有明確路徑時，多思考一些不同的東西是有益的。”這種理念也體現在他的學術經歷中。早在麻省理工學院求學時他便涉足pde隨機初值領域，中間經歷數年停滯，直至2018年重新拾起，才迎來了成果的持續涌現。轉向其他問題并非放棄，而是相信真正重要的問題終將在合適的時機獲得解決。

數學家的ab面

在數學研究的風格上，鄧煜形容自己是“硬核”派，這對應著數學中的“硬分析”路徑。“我喜歡徹底弄清一個東西的所有細節和精確結構，然后用它解決問題，”他說，“我的方法是從不同側面反復審視對象，把復雜問題約化、再約化，直到它變得像一道中學競賽題那樣簡潔明了。”

這種追求清晰與徹底的“硬核”思維方式，不僅體現在他用簡潔方程描述無限復雜系統的突破性工作中，也與他個性中感性的另一面形成了有趣對照。

除了鉆研數學，鄧煜也喜愛詩歌。一次在紐約開會期間，他曾引用蘇軾的詩句“往日崎嶇還記否，路長人困蹇驢嘶”，在朋友圈表達對學術的思考和感悟。在他看來，數學雖然具有一種他所崇尚的簡潔之美，“但實現這種簡潔的過程可能非常漫長復雜”，就像詩句中所蘊含的跋涉與頓悟。

不過，在漫長的跋涉、求索過程中，這位喜歡在水邊散步、偶爾寫詩的數學家，并不認為自己的研究是孤獨的。“我的很多工作都是合作完成的，”鄧煜強調，“不同的人擅長不同的側面，討論中經常能碰撞出一個人想不到的關鍵思路。”而這種開放與合作的精神，也與他此次來到上海參加世界華人數學家大會的感受形成了共鳴。他提到上海這座城市“讓人感覺舒服”，在這里，良好的基礎研究學術氛圍為思想的流動與碰撞提供了理想的土壤。而數學的進步，正是在這樣專注與合作的多重對話中，不斷向前延伸。

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作者：朱文瑩

上觀號作者：上海科技